Сварка в машиностроении.Том 4 (1041441), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Эти числовые характеристики могут быть двух родов: теоретические и эмпирические. Первые иногда называют параметрами распределений случайныя величин, а вторые — выборочными или статистическими оценками этих параметров. Параметры распределений (обозначаемые крупными буквами) обычно детерминированные величины, в то время как выборочные оценки — величины случайные. Разница между параметром распределении и его оценкой тем меньше, чем больше число наблюдений и. Эмпирические значения обозначены малыми буквами (х, у) или отмечены звездочкой (*).
Если нужно оттенить ту или иную величину, как оценку какого-либо параметра, то над ней ставят знак волны ( ). Характеристикой центра распределения служит математическое ожидание М (х). Его оценивают, определяя среднее значение Х или эмпирическое среднее арифметическое значение х. По результатам и измерений, в которых т, — число одинакоьых ''-х результатов, имеем 1~1 т) «с — ° и 1 Как центр хм упорядоченного вариационного ряда значений величины х находят медиану х~ .
Она делит площадь под кривой плотности распределения 15 под рад. )о. «), Зорина 451 450 - ~.С Й !! ха з х о х» х х хх о х в "а х я х 5 !! !! «!а х (4) х х в х х » х хх о„ о х ! Д х Ф !! ! » ~- !! х !! х ч!х' ! Й ю ч о,< х х Й !! х х ч о х х Я » хх а о х , Ч~ ой х Ф х ъчх х х !! чих х » х х»'«»" хх :ВхЧ о о»«»х" хЪ»»х » 3 х х х~ х х ахх Ф х »о ххо хху хххчххх хй»»» ч ах хо ЖЗ хо » „$ х хххх х"омх ах»хая хпххю» хххххх «» "х х х з а.
х »«,В,х хх х хвяч Ф~х х мх й в м о х а„ха х ах'е~'В х х х»» »х хах о Хх Х х х я ххххх оДх а о я х х ххх3 х хя о. Ь х х хан азх Вер ! Х вЂ” а! (6= 2Ф ~ — ) . е 6« ~о) Статистические методы управления качеством Элементы прикладной математической статистики пополам. Кроме х и хм иногда используют моду хмь, которая соответствует на. ибольшей вероятности значений х. Отклонение (рассеяние) единичных значений случайной величины относительно центра распределения характеризуют дисперсией Р (Х) или средним квадратичным отклонением а= у Р. Для выборочного среднеквадратичного отклонения э при п (~ 30 в знаменателе вместо и подставляют (и — 1).
Характеристику о (или в) называют иногда стандартным отклонением или «стандартом». В приближенных расчетах (особенно при и Я 12) вместо о и э используют легко вычислимую меру рассеяния — размах ьу как разность между крайними значениями варнационного ряда, Как относительную меру рассеяния применяют коэффициент вариации о — отношение квадратичного отклонения к средней арифметической. Дисперсия Р- среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых и случайных величин в а раз ме ьше дисперсии каждой из этим величин.
Квадратичное отклонение о„- соответственно в у и рзз меньше, чем а. Нормальное распределение. Распределение Гаусса занимает среди другня распределений особое положение. Оно чаще встречается на практике н является предельным законом, к которому приближаются другие распределения. По теории вероятностей (теорема Ляпунова) сумма достаточно большого числа независимых нли слабо зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону.
Нормальное распределение может быть общим и нормированным. Интегральная функция общего нормального распределения Р (х) с произвольными параметрами — математическим ожиданием т„ = х и дисперсией о» имеет вид, указанный в табл. 1. Нормированное. и центрированное нормальное распределение Р„(х) спараметрами т, = 0 и о = 1 получают при подстановке, т. е. при замене переменных х — тх . Тогда о 1 Р (х)= "<р(х)ах= — ~ е ' дг, ь Для функции Р„, обозначаемой так же, как Ф', и для других форм интеграла вероятностей в литературе (1, 2„7) имеются таблицы (см. также табл.
2). Вероятность попадания в заданный интервал А, В нормальной случайной величины Х определяют из выражения В " '"" - 1 "" -'(' "')-'(' "). л Вероятность заданного отклонения, т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа 6 равносильна осуществлению неравенства (Х вЂ” а! (6 илн — б( (Х вЂ” а) (б. Пользуясь формулой (5), получим Эмпирическое распределение случайных величин представляют обычно в виде полигона, гистограммы или кумулятивной диаграммы интервального рида частот, Аппроксимирующая их кривая есть соответственно либо плотность вероятностей 15» 453 452 Статистические методы управления качеспиюл) Влел!енты (грикладной математической статистики 2.
Таблица значений функции Лапласса нормального распределения х = (х) ~ Ф (х) + 0,5 1 2~1 Ф (х) Ф (х) С,ОО 0,10 0,20 0,30 0.40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 ),ОО 1,1О 1,20 0,0000 О, 0398 О, 0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 1,30 1,4О 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 О,4ОЗ2 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 О,4938 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,20 З,4О 3,6О З,8О 4,00 4,50 5,00 О, 495З 0,4965 0,4974 0,4981 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,49о997 0.499997 ) (х), либо, для кумулятивной диаграммы накопленных частот, функция вероятностей Р (х).
Г!ри построении диаграмм число интервалов ряда частот не должно быть слишком большим. Кроме того, частоты в мелких интервалах могут вызывать незакономерные значительные колебания (пилу). При завышенной величине интервалов свойства распределения отобража)отся слишком грубо. При большом числе наблюдений обычно принимают !Π— 20 интервалов.
Для неодинаковой длины интервалов, которые удобно делать более узкими в области наибольшей плотности распределения, вместо абсолютных частот т; применяют относительные частоты нли частости ч = — ' . т( и Близость эмпирической кривой к тому или иному теоретическому закону распРеделения проверяют критериями согласия, а приближенно — также с помощью вероятностных бумаг.
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону наиболее часто применяют критерий Пирсона или как его иначе называют хи — квадрат ()(2). Его имеет смысл применять, когда число интервалов л н опытов в пих т, достаточно велико, например т; )~ 5 — 10 [2). Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных дисперсий прн нормальном распределении используют критерий Фии)ера.
Он равен отношешно двух независимых оценок дисперсий з'", и 52, имеющих степени свободы т', -и»,. Критерий Кохрена используют для проверки гипотезы о равенстве нескольких выборочных дисперсий при одинаковом объеме выборок. Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, используют критерий Стьюдента, Во всех случаях, если гипотеза о согласии не подтверждается, то следует либо повторить (уточнить) эксперимент, либо искать закон распределения, более подходящий для описания данных эксперимента.
Подробнее о критериях согласия см. [1, 2, 7 и др.[, Вероятностные бумаги (или сетки) позволяют существенно упростить обра. ботку статистических данных. Например, изменив соответствующим образом масштаб по оси ординат, можно получить из 8-образной интегральной кривой — а Х вЂ” М (х) = а; о (х ) = =. и При оценке необходимо, чтобы выполнялось соотношение Еер ( [ х — а [ с, б) = у. (7) Вероятность осуществления неравенства (7) выражают согласно формуле (6) через табличную функцию Лапласа (1) (х): (н~ ~ у = Вер ( [ х — а [ < б) = 2Ф (г) = 2Ф ~ — [, (8) где г = г — квантиль функции (Р (г) при заданном у.
у Тогда точность оценки а б= г.„— ', 'е' п окончательно имеем а а Вер ~х — 2 = < а < х+ з=) = 2Ф (3) = )г. ~.) (10) прямую линию. Такие графики можно использовать для распределений нормального, экспоненциального, Вейбулла и др Откладывая накопленные относительные частоты па оси ординат, а значения х( признака по интервалам — на оси абсцисс, получают серию точек. Если эти точки оказываются примерно на одной прямой, то подтверждается совпадение эксперимента с выбранным теоретическим законом его описания.
В работе [5[ даны примеры расчета средних значений х и квадратичных отклонений з по вероят* постным бумагам нормального закона и распределения Вейбулла. Порядок подобных вычислений излсжен в соответству(ощих ГОСТах по приклздной статистике (ГОСТ 1!.001 †, ГОСТ 11.002 †, ГОСТ 11.003 †, 11.004 †, ГОСТ !1.005 — 74, ГОСТ 11.006 — 74, ГОСТ 11.007 — 75, ГОСТ 1!.008 — 75). Доверительные вероятности, При контроле процессов или при оценке качества продукции выводы относительно генеральной совокупности принимают на основе выборочного метода. Выборочные характеристики по которым дела)от статистические вьшоды, называют оценками генсральных характеристик, Если контролируемый )шраметр имеет нормальное распределение, то иногда бывает достаточно анализировать только две характеристики выборки: х и 3, которые 2 являются оценками генеральных параметров М (Х) и а», Эти оценки называют точечными. Они в значительной мере случайны и при малых выборках могут привести к существенным ошибкам.
Инп)ереальной называют оценку, которая определяется двумя числами— концами интервала, Это позволяет установить точность и доверительную вероятность оценок, т. с. их достоверность, Точность оценки по количественному признаку харзктеризуют величиной интервала б, который »покрывает» неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью у (которую иногда называют надежностью). Практически можно принять, что количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратичное отклонение а этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание М (Х) = а по выборочной средней х, Если случайная величина Х рзспределена нормально, то выборочная средняя х, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально [1, 2[ с параметрами 455 Статистические методы упранления качеством 454 3. Значения Г распределенин Стьюдента г т !Ъ л) у (!2) 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,!4 4,07 4,02 3,97 3,92 2О 25 30 35 40 45 бо ОО ?О 80 90 !00 120 зр у = у (х) =- а + Ьх = а+ г — х, 8» П р и м е ч а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
