Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Определить максимальную высоту о, которой достигает теперь рельс по отношевию к своему прежнему положению. Указания: На диаграмме х — неизвестная высота, Р— неизвестный ра- диус окружности и 8 — угол в раднанах, стягвваемый половиной удлиненно- го рельса. Установите следующие соотношения, поторые в дальнейшем нужно использовать для вычисления !с, 0 и х: Я з!и 0 =- 2640, !с0=2640.5, 4т соз 0 =- !! — х, 0а тай=0 — — +..., б 0' со50= ! — — +..., 2 2. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧНОЙ В этой главе мы введем некоторые основные понятия, относящиеся к вычислениям с плавающей точкой. Вначале обсудим обычный способ аппроксимации системы действительных' чисел в вычислительной машине, т. е. числа с плавающей точкой. Остальная часть главы посвящена источникам ошибок в вычислениях с плавающей точкой.
2Л. Числа с плавающей точкой Система действительных чисел с ее неудачным названием столь прочно утвердилась в Фундаменте математического анализа, что легко позабыть, что все действительные числа невозможно представить в действительном мире конечных вычислительных машин, Однако, как бы ни упрощала анализ система действительных чисел, практические вычисления вынуждены обходиться без нее.
Много разных методов было предложено для аппроксимации действительных чисел посредством конечных машинных представлений. Метод, принятый в настоящее время почти на всех машинах,— это числа с плавающей точкой. Множество Р чисел с плавающей точкой характеризуется четырьмя параметрами: основанием р, точностью г и интервалом показателей [1., 1т!. Каждое число х с плавающей точкой, принадлежащее Р, имеет значение х= ~ ~ — + — + ° + — (4', Лт Ла Лт е ~ р ра ''' рт(' где целые числа й„..., й, удовлетворяют неравенствам 0<йс(Р— 1 (1=1, ..., т[ и Ее-е(У. Если для каждого ненулевого х из Р справедливо й,~0, то плавающая система ') Р называется нормализованной. т) Начиная отсюда, мы позволяем себе переводить словосочетания типа Ноацпя-ро|п1 аукав, Поацпя.ро!пЕ союрп1ацоп и т.
д. как плавающая система, плавающее вычисление и т. д.— турки. перев. вг, числа с плавающей точнов Целое число е называется псказапгелелг, а число 7"=!г)г/)5+. ...+йг!рг) — дробной чашпью. Обычно целое число )5'1 хранится по той или иной схеме представления, принятой для целых чисел, вооде величины со знаком, дополнения до единицы или дополнения до двух. Действительная машинная реализация плавающих представлений может отличаться в деталях от идеальной, обсуждаемой здесь, однако различия несущественны, н их почти всегда можно игнорировать, говоря об основных проблемах ошибок округления. Следующая таблица дает некоторые примеры систем с плавающей точкой. Величина ))г ' является оценкой относительной точности арифметики. Мы не приводим точного значения машинного эпсилон '), поскольку оно зависит от некоторых товких деталей, таких, как способ округления. Если число ! не является целым, это означает, что !)==2е и для двоичного представления дробной части отводится и.! бит.
Вычислимельнае ма!нина ,8 Ь гг !7г -г На некоторых вычислительных машинах используется несколько систем чисел с плавающей точкой. Например, 1ВМ 360 имеет две системы с основанием 16, указанные в таблице. Эти две разные системы называются обычной и!очностью н удвоенной точностью. Множество г" не является континуумом илн даже бесконечным множеством. В нем ровно 2!р — 1))Зг-'(У вЂ” 1+1)+1 чисел. Они расположены неравномерно; равномерность расположения ') Сы.
определение а 2.2.— Прил!. перев, Оп!вас !108 Нопеувгег! 6000 Р13Р-! ! Сои!го! 13ага 6600 Сгау-1 Ииас-1У Сепгинь Воггопаггв В5500 Нем!еи Расггагб НР-45 техав !пмгигпепи ЯК-5х 1ВМ 360 и 370 !ВМ 360 и 370 Гегейпкеп ТК440 Мангас 11 2 27 2 27 2 24 2 48 2 48 2 48 3 !8 8 !3 10 10 10 12 16 б 16 14 16 91 65536 2Ц вЂ” 128 — 128 — 128 — 976 -16 384 -!б 384 -!2! — 51 -98 — 98 -64 — 64 -127 -7 127 127 127 1 О?О 8 19! 16 383 12! 77 100 100 63 63 127 7 1.49 х 10-в 1.49 х 10-в !Л9 Х Ю г 7Л1 х 10-гв 7.11 х 10 'в 7.!1 х 107гв 7.74 х 10-9 1,46 х 1О-ге 1.00 х 10-в !.00 х 10 'г 9.54 х 1О-г 2,22 х 10-гв 5.84 х 10 г г 7.25 х 10 в и вычисления с плавающей точкой имеет место лишь прн фиксированном показателе. На рис.
2.1 показано ЗЗ-точечное множество Е для небольшой иллюстра-,, тивной системы с параметрами =2, 1=-3, т'.= — 1, 0=2. Поскольку Š— конечное множество, невозможно сколько- ' нибудь детально отобразить континуум действительных чисел. Более того, действительные числа с модулем, большим максимального элемента из Р, не могут быть отображены вообще. По ряду причин то же самое верно в отношении ненулевых -4 -3 -2 -1 -з-то т з 1 а х а а 2 2 с Рис.
2.1. Система чисел с плавающей точкой для 9=-2, 1=3, с=.— 1, 0=-2 действительных чисел, меньших по абсолютной величине по сравнению с наименьшим положительным числом из Е. Наконец, каждое число из Е должно представлять целый интервал действительных чисел. Если х — действительное число, не выходящее за границы множества Е, то будем обозначать через )1(х) элемент из Е, ближайший к х. [Заметим, что если х равноудалено от двух чисел из Е, то 11(х) может принимать любое из двух соседних с х значений.) Легко доказать, что для числа х, находящегося в границах множества Е, справедливо неравенство ~ /! (х) — х ~ ! 3, Поучительный пример дает десятичное число 0.1, которое часто берется в качестве величины шага во многих алгоритмах, обсуждаемых в дальнейшем.
Составят ли десять шагов длины 0,1 то же самое, что один шаг длины 1.О? Нет, это не так в плавающей системе, у которой !3 является степенью 2, поскольку 1/1О не имеет конечного разложения по степеням 1/2. В самом деле, 1 0 О 0 ! 1, 0 0 — = — + — + —:+ — + — + — + — + 10 = 2т 2а 2а 2а 2а ов 2т Используя индексы для обозначения основания системы, можем написать (0.1)„ = (0.000110011001100 ...), = (0.012121212 ...), = (0.063146314 . )а = (0,199999999 ..)не КЬ ЧИСЛА С ПЛАВАЮШЕй ТОЧКОЙ 25 В дробях правой части нужно ограничиться г разрядами.
Когда ~кладывается десять таких дробей, результат не будет точной единицей. На множестве Р, являющемся моделью системы действи- 1ельных чисел, определены арифметические операции в соот- ветствии с тем, как онн выполняются цифровой вычислитель- ной машиной. Предположим, что х и у — числа с плавающей точкой. Тогда обычная сумма х+у зачастую уже не принадле- жит Р.
К примеру, возьмем ЗЗ-точечную систему, изображен- 5 3 иую на рис. 2.(, иположимх= — и у= —. Таким образом, опе- 4 8 ' рация сложения, например, сама должна моделироваться в ма- шине посредством приближения, называемого плаваюи4им сло- хсением. Если х, у Е Г и число х+у не выходит за границы мно- жества Р, то идеалом было бы выполнение равенства х ® у = )( (х+у), где С+1 обозначает плавающее сложение.
В большинстве вычис- лительных машин этот идеал достигается или почти дости- гается для всех таких х и у. Поэтому в нашем игрушечном 5 3 33-точечном множестве Р следует ожидать, что — Я вЂ” равно 8 — либо —. Разность между А(~~у и х+у (для х, у из Р) есть ошибка 3 7 2 4 ' округления, совершенная при плавающем сложении.
Анало- гичные свойства верны для плавающих операций вычитания, умножения и деления. 5 3 Причина, по которой число — + — не принадлежит 33-то- 4 8 чечному множеству Г, связана с расположением элементов Р. 7 7 С другой стороны, сумма типа — + — не принадлежит Р потому, что 7 больше максимального элемента из Р. Попытка образо- вать такую сумму вызовет на большинстве машин сигнал пере- полнения, после чего вычисления, как правило, прерываются, поскольку невозможно дать разумное приближение для чисел, выходящих за границы множества Р. В то время как многие суммы х+у (для х, у из Р) сами на- ходятся в Р, очень редко обычное произведение х у принад- лежит Р, поскольку, как правило, оно записывается посредст- вом 27 либо 2г — ! значащих цифр.
Кроме того, переполнение гораздо более вероятно при умножении. Наконец, при пла- вающем умножении возможна возникновение машинного нуля, когда два ненулевых числа х и у имеют ненулевое произведение, меньшее по абсолютной величине наименьшего ненулевого элемента из Р. (Возникновение машинного нуля возможно и при сложении, хотя это бывает очень редко).
Таким образом, вычи смоделированная оп ние еще более часто Операции плаваю но не ассоциативны, и днстрибутивныи закон для них также не» выполняется. Поскольку эти алгебраические законы имеют: фундаментальное значение для математического анализа, анализ плавающих вычислений сложен. Существуют методы анализа ошибок округления, которые обходят некоторые из этих основных трудностей, и посредством таких методов был проанализирован ряд численных алгоритмов, однако этот вопрос выходит за рамки данной книги. 2.2.
Вычисление машинного эпсилон Точность плавающей арифметики можно характеризовать посредством машинного эпсилон, т. е, наименьшего числа с плавающей точкой е, такого, что 1®г ) 1. Хотя это определение выделяет в качестве машинного эпсилон единственное число плавающей системы, не так уж важно использовать его точное значение. Оно используется обычно в программах таким образом, что может отличаться от своего точного определения несколькими степенями 2, и это не вызывает серьезных затруднений.
Существует несколько методов для вычисления значения (или приближенного значения) в. Таким образом, программа может определить точность машины, на которой она выполняется, во время своего исполнения. Метод, которым мы вычисляем приближение, отличающееся от е самое большое множителем 2, иллюстрируется следующим сегментом фортранной программы: ЕРБ = 1. 1О ЕРБ = ОД»ЕРБ ЕРБР! = ЕРБ+ !. !Р (ЕРБР),бт.!.) 60 ТО !О 2.3. Пример ошибок округления Важной функцией анализа является показательная функция е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
