Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Прн А=О получаем знакомое уравнение маятника 0= — щи О, 35 26 которое можно лннеариэозать для значений О, близких к и. .6 Л «в д(0) д(0) 1О 1О 10 РО 1О 0.5 1О 10 2 0.5 5.3 100 100 100 200 3.1 0 3,1 0 О.1 0 0.1 0 0.05 0 Интерпретируйте физически ваши решения. 6.6. Приводимые ниже дифференциальные уравнения описывают движение тела по орбите около двух много более тяжелых тел. Примером может быть капсула «Аполлона» ка орбите около Земли и Луны. Координатная вистема Самый интересный аспент этой задачи состоит в том, что существуют областн, в которых уравнение движения устойчиво для начальных значений, соответствующих перевернутой конфигурации, и такие случаи были физически реализованы. Напишите фортран-программу, которая, используя ККг45, рассчитывает движение 0(Г) для различных значений параметров (., А, ы и начальных значений 0(0) и 0(0).
Отлаживайте вашу программу для случая 6=10 дюйм, А=О дюйм, м=О рад!сек, 0(0)=3.! рад н 0(0)=0 рад/сек; для й возьмите значение 386.09 дюйм/сек. Сравните вычисленное вами решение с аналитическим решением линеарнзованиого уравнения, Вам потребуется аналитическое решение и для того, чтобы определить разумные значения различных параметров подпрограммы ИКГ45.
Напечатайте 0 и 0 по крайней мере зля двух колебаний маятника. Когда ваша программа будет работать удовлетворительно, попробуйте более интересные случаи: ПО э. злддчл коши здесь несколько необычная. Три тела определяют в пространстве плоскость и двумерную декартову систему координат в этой плоскости.
Начало находится в центре масс двух тяжелых тел, за ось х берется прямая, проходящая через эти два тела, а рзсстояние между ними принимается за единицу. Таким образом, если р — отношение массы Луны к массе Земли, то Луна и Земля локализуются в точках с координатами (! — р, 0) и (р, 0) соответственно; координатная система перемещается при вращении Луны вокруг Земли.
По предположению масса третьего тела, «Аполлона», пренебрежимо мала в сравнении с двумя другими, положение его иак функция времени есть (х(!), у(!)). Уравнения выводятся нз ньютонова закона движения и гравитационного закона обратных квадратов. Проичводвыс первого порядка в уравнениях возвикают вследствие вращенив системы координат: р'(х + р) р ( — )«*) з «1 гз р у )ьу у" = — 2х'+у — — — —, з з гз ! 2И 82И5 ' ° =Пх+р)«л-из)*" ° =((х — рч)'+и«)"' Хотя об этих уравнениях известно очень »~ногае, не удается найти их решения в замкнутом виде.
Один интересный нруг вопросов связав с изучением периодических решений. Известно, что начальные условия х (0) = 1.2, к' (0) = О, у (0) = О, у' (0) = — 1.04935751 приводят к периодическому решению с периодом Т=6.19216933. Зто означает, !то «Аполлон» стартует с указанной начальной скоростью, находясь за дальней стороной Луны на высоте, примерно равной 0.2 от расстояния Земля— Луна. Получающаяся орбита приводит «Аполлон» очень близко к Земле, затем далеко за протквоположную от Луны сторону Земли, потом снова близко к Земле и, наконец, обратно за дальнюю сторону Луны в исходное положение и с исходной скоростью. (а) Используя ЕКГ45, вычислите решение с указанными начальными условиями.
Проверьте, что решение — периодическое с приведенным выше периодом. (б) Насколько близко подходит «Аполлон» на этой орбите к поверхности Земли? В уравнениях расстоянвя измеряются от центров Земли и Лупы. Считайте, что Луна находится на расстоянии 238 000 миль от Земли, а Земля представляет собой шар с радиусом в 4 000 чиль. Заметьте, что начало координатной системы находится внутри этого шара, но не совпадает с его центром.
(в) Модиф!«пируйте подпрограмму РЕНЕ, используемую в ЕКГ45, так, чтобы оиа печатала положение «Аполлона» в начале каждого шага. Рассчитайте полностью орбиту и обратите внимание на изменения длины шага. Вы должны обнаружить, что делаются очень малые шаги, когда «Аполлон» находится вблизи Земли и его орбита быстро изменяется, и, напротив, делаются довольно большие шаги, когда «Аполлон» удаляется в глубокий космос. Испытайте несколько различных значений для границ погрешностей, Оцените, насколько больше работы потребовалось бы, чтобы получить ту же точность методом с фиксированной длиной шага. Если вы имеете доступ к графопостроителю, постройте что.нибудь вроде рис.
5.1, который показывает изменения длины шага. УПРАЖНЕНИЯ 171 6,7. Напишите программу, вычисляющую полные производные функции Г(у, т). Зтв производные определяются формулами ие> б) А1 д~~~) /И+1] — . /+ ду о( (а) Используйте арифметический язык типа ФОРТРАНа или АЛГОЛа. Считайте, что 7(у, Г) — полинам от днух переменных, задаваемый двумерным массивом своих козффициентов. (б) Используйте язык обработки символьной информации типа СНОБОЛа. Какой класс функций 7(у, Г) можно обрабатывать, н как они могут быть представлены? (в) Если имеется возможность, воспользуйтесь какой-либо системой силе волнческой алгебры, вроде Роппас, АНгап, Кедпсе, Бега(с)зрак или Масзуша. 7 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть ( — полипом или трансцендентная функция одного переменного, действительного или комплексного.
Задача состоит в том, чтобы найти один или более нулей (, т. е. решений уравнения )'(х)=0. Нахождение формул для нулей полиномов было одним из важнейших разделов итальянской математики эпохи Ренессанса. Для полиномов 2-й, 3-й и 4-й степеней еще несколько столетий назад были найдены алгоритмы, выражающие корни посредством конечного числа квадратичных или кубичных радикалов ') и рациональных операций. Но только в тридцатых годах прошлого века Галуа доказал невозможность подобных алгоритмов для полиномов 5-й или более высокой степени, даже если допустить в формулах радикалы с показателем и. Конечно, располагая вычислительной машиной, мы едва ли станем заботиться, разрешима ли задача в смысле Ренессанса.
Используемые алгоритмы являются итерационными, и важны здесь такие вопросы: много ли требуется вычислений функции ((х), нужны ли вычисления производных Г (х) и Г'(х) и т. д. В т 7.! и 7.2 мы обсудим методы вычисления действительных нулей функций ( общего вида. В 4 7.3 речь пойдет о вычислении комплексных нулей. Специальные методы для нахождения нулей полииомов вкратце описываются в 4 7.4. Обобщение этой задачи приводит к вычислению некоторых или всех решений системы из п нелинейных алгебраических или .
трансцендентных уравнений с и неизвестными. Этому вопросу посвящен небольшой т 7.5. У.1. Трансцендентные уравнения— действительные корни Пусть |(х) — функция одного действительного переменного х. Чтобы начать поиск нуля )(х), предположим, что можно найти ') Имеется в виду — от коэффициентов полииомв.— Прим. яврея, гл действительные корни !тз интервал 1а, Ь), на котором 1(х) меняет знак. Однако если мы ничего не знаем относительно 1, то мы не можем быть уверены, что она имеет нуль на этом интервале. Даже если магпемагпическая функция непрерывна н изменяет знак в 1а, в), вычисеяемая функция переменного с плавающей точкой, значения которой также являются числами с плавающей точкой, принимает лишь дискретное множество значений, среди которых, возможно, нет нуля. Поэтому в конечном счете более практично искать не нуль ), а малый интервал (а, ()), в котором 1 меняет знак.
Такой интервал всегда можно найти, и можно сузить его настолько, насколько позволяет система чисел с плавающей точкой, т. е. так, чтобы концевыми точками были два соседних числа этой системы. Если о функции 1 ничего не известно, то наиболее надежным алгоритмом является метод бисекции '). При заданной точности и метод состоит из таких шагов: 1.
Положить ог=п и ()=Ь. Вычислить 1(а) и 1(()). 2. Положить у=(а+6)/2. Вычислить 7'(7). 3. Если з(дп(~(у))=з)йп(~(гх)),'то заменить а на у; в противном случае заменить )! на у. 4. Если !) — се)е, то перейти к шагу 2; в противном случае— останов. Ясно, что в каждой итерации алгоритма бисекции приобретается один бит точности.
Таким образом, при критерии р — а( =2-'(Ь вЂ” а) нужно 1 итераций. На машинах серий !ВМ 3607370 в арифметике с удвоенной точностью требуется приблизительно 66 итераций, чтобы сократить исходный интервал [1, !6) до двух последовательных чисел с плавающей точкой. Алгоритм бисекции довольно медлителен, но зато абсолютно застрахован от неудачи.
Если каждое вычисление 1(х) несложно, то обычно нет серьезных причин, чтобы отвергнуть этот метод. Единственная причина, почему мы не используем его,— это то, что имеется другой алгоритм, ЕЕВ01Х, который гарантированно ,не может быть много медленней бисекции и быстрей ее, когда )— гладкая функция. Добавочная скорость очень полезна, если вычисление !'(х) требует много времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
