Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Еще одно важное соображение — трудность и трудоемкость вычисления матрицы Якоби. В одномерном случае можно не без оснований предполагать„ что стоимость вычисления 7'(х) примерно та же, что и для )(х), хотя есть, конечно, задачи, для которых это неверно. При п измерениях 1(х) становится вектором, а Р (х) превращается в матрицу Якоби. Поэтому вычисление 1'(х) зачастую во много раз более трудоемко, чем вычисление 1(х).
Попытки избежать явного использования якобианов претворились в методы многих различных типов. Прямое обобщение метода секущих неудовлетворительно, поскольку приближения к l(х), получаемые из п-мерных аналогов секущей, часто оказываются вырожденными. См.
статью Грэг, Стьюарт (1976). Более удачны методы, называемые квазиньютоиовыми. Они генерируют приближения к У'(х), очень грубь|ев начале итераций; однако их точность по мере продолжения итераций все время возрастает. )ва т. Решение нелинейнъ|х уРАВнениЙ Обычно зти методы описывают в применении к задачам многомерной оптимизации, которую мы рассмотрим в 3 8.3.
Обсуждение процесса Ньютона содержится в цитированной выше статье Трауба (Рзлстон, Уилф (!967)). Тщательная формулировка и доказательство теоремы сходимости даны в книге Островский (1966). Книгу Ортега, Рейнболдт (1970) можно считать полным справочником по большинству теоретических результатов.
УпРАжнения 7.1. С помощью подпрограммы ЕЕй01)4 найдите значение х, такое, что ег) (х) — 0.5 =. 0.0. Для вычисления ег1(х) используйте любую доступную подпрограмму или же см. упр, 5.!. 7 2. С помощью подпрограммы ЕЕВ01М найдите десять наименьших положительных значений х, для ноторых прямая у=.. х пересекает график кривой у=!йх. 73.
Пусть )(х).. х(х — 1)', и пусть А= — '0.50 и В=003. Примените ЕЕй01)4 и выведите на печать значения А, В и С для каждой итерации. Выведите также для каждого шага указание, выполнялся ли этот шаг бисекцией, методом секущих или обратной квадратичной интерполяцией. 7эй Используйте метод Ньютона для вычисления комплексного корня вашего исторического примера хз — 2х — 5 =-О. 7.5.
Существует классический метод Кардапо для решения кубичесннк уравнений. Кубическое уравнение хз-ь.ах' — , 'Ьх-'с=О преобразуют к приведенной форме у тру+У=0 подстановкой,х=у — аГЗ. Коэффициенты приведенной формы: дз р =- Ь вЂ” —, 3 О =-с — —,+2 ( —,) .
Одни действительный корень приведенной формы можно найти по формулам: УПР АХ< Н Е Н Н Я 189 после чего действительный корень исходного уравнения вычисляется как л хг =ус — —. з' Можно найти аналогичные формулы для других двух корней или же разделить исходное уравнение на х — х, и решить полученное квадратное уравнение. (а) Примените метод Кардано к нахождению действительных корней уравнения х' + Зхз+ азх+ Зх' = 0 для различных значений а. Исследуйте потерю точности вследствие ошибок округлений при больших а, например а, имеющих порядок величины, обратной к машинному эпсилон. (б) Примените к тому же уравнению для тех же значений а метод Ньютона.
Исследуйте влияние ошибок округлений, а также выбора вачального приближения. 7.6. Какой результат будет получен следующей программой? Объясните, почему. РОХСПОХ Р(Х) 1Р (Х .ЕО. О.) Ъ' = -1. 1Р(Х.ОТ. О.) У 9. %К1ТЕ(6,1) Х,Х 1 РОКМАТ(Р15.10, Р5.0) Р = Тг КЕТАХ ЕХО ЕХТЕКХАЬ Р А=О. В =1. ТОЬ = 1.Е-б Е ЕЕКО1Х(А, В, Р, ТОЬ) ВТОР ЕХО 7.7. В этой задаче речь идет о распространении волн в среде с переменной скоростью распространенна. Конкретная постановка связаяа с подводным распространением звука, но используемые методы применимы н н других ситуациях. Здесь комбинируются выравнивание данных, решение обыкновенного дифференпиального уравнения и вычисление нулей.
Используются подпрограммы БРЬ(ХБ, (сКГ45 и 7Бк01Х. Задача извлечена нз статьи Моулер, Со. помон (!970). Скорость звука в океанской воде зависит от давления, температуры и солености; все эти параметры меняются довольно сложно при изменении глубины, Пусть з — глубина и футах под поверхностью океана (так что ось г направлена вниз), и пусть с(а) — скврвсть звука на глубине з. Будем пренебрегать изменениями скорвсти звука, наблюдаемыми в горизонтальных направлениях.
Можно измерить с(з) для дискретных значений з; вот типичная саблина, полученная этим путем: 7. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРЗИНЕНИЙ г «~рум) с(г) (фую/свя) Чтобы получить значения с(г) между заданными точками, можно применить кубическую салаки-интерполяцию. Нужно также вычислять с'(г)=л(с(г) г«г, поэтому первый этап этой задачи будет такой: (а) Используя подпрограмму ЯРЕ)3«Е, найдите коэффициенты кубического сплайна, ннтерполируюшего указавные в таблице точки.
Модифицируйте подпрограмму БЕ)7АЕ таким образом, чтобы она выдавала в заданной точке значения как сплайна, так и его производной. Поскольку скорость звука изменяется с глубиной, звуковые лучи '! будут распространяться по криволинейным путям.
Этот эффект есть непрерывный аналог хороша известного явления — преломления световых лучей на границе раздела воздух — вода. Основное уравнение — это непрерывный вариант закона Снелла. Пусть х обозначает горизонтальное (радиальное) расстояние от источнина звука, измеряемое в футах, а г(х) — глубину данного луча на расстоянии х. Через О=О(х) обозначилл угол между горизонтальной примой и касательвой к лучу и точке х; тогда г«г «80.= бх е — =постоянная. с (г) Эти два уравнения совместно дают обыкновенное дифференциальное уравнение, которое, по-видимому, определяет г как функцию ат х, Однако оказывается, что у этого уравнения нарушается единственность решений в тех точках, где луч становится горизонтальным.
Чтобы исключить ненужные решевия, продифференцируем оба уравнения по х; комбинируя результаты, получим '! Распространение звука рассматриваетсн здесь с позиций геометрической акустики.— Прим. перев. О 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 ООО 3 500 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 1! 000 12 000 Закон Снелла люжно записать соотношением 5 042 4 995 4 948 4 887 4 868 4 863 4 865 4 869 4 875 4 875 4 887 4 905 4 918 4 933 4 949 4 973 4 991 УПРЛЖНЕННЯ 191 уравнение второго порядка 3»г с' (г) бх«А»с (г)« где А — константа, входящая в закон Снелла. Эту константу н вачальные условия удобно выразить через глубину г«источника и утоп Ов выхода луча из источийка.
Получаем г (0) = г«, «(г — (О) =- ! ц 0 ь «(х Это приводит пас ко второй части задачи. (б) Используя подпрограмму ЙКГ45, найдите луч с начальными условиями г«=2000 фут и 6,=5.4'. Проследите траекторию луча на протяжении 24 морских миль, выводя нз печать значения глубины с интервалом в 1 милю. Считайте, что в одной морской ынле содержится 6076 футов; не забудьте, что тригонометрические функции ФОРТРАНа предполагают, что аргумент за.
дан в радианах. Вы должны обнаружить, что глубина на расстоянии 24 миль близка к 3000 футов. Предположим теперь, что источник звука с глубины 2000 футов «вещает» на преемник, находящийся на расстоянии 24 миль Г! и на глубине 3000 футов, Проведенные выше вычисления показывают, что один из лучей ат источника к приемнику выходит из источника под углам, близким к 5.4'. Сколько иыеегся других лучей с теми же концами? Пусть х)=24 морские мили. При изменении 0«меняется н г(х)). Нас интересуют значения О«, для которых г(ху)=3000. (в) Напишите подпрограмму-функцию Р(ТНЕТА), которая прослеживает траекторию луча с начальным углом ТНЕТА и выдает значение г(хг) — 3000. Выведите на печать таблицу значений этой функции для ТНЕТА, меняющегося н интервале от — ! 0' до ! 0'. Так как вычисление этой функции очень дорогостоящее, то шаг, принятый в таблице, будет зависеть ат количества машинного времени, которым вы располагаете, и эффективности вашей программы.
(г) Используя ЕЕ)(01(4 с начальными значениями, полученными из задания в), найдите лучи, которые проходят через приемник (нли на минимальвом возможном расстоянии от него). (д) Предположим, что дно океана находится на глубине 12000 футов, а понерхности соответствует уровень 0 футов. Что произойдет, если 0«больше !О'? А что если 6«меньше — 10'? Существуют ли лучи с начальныл«и углами в этих областях? (е) Обсудите влияние выбора границ для погрешностей в (1 КР45 и 7ЕРОНл( на точность и цену полученных решений. Рассмотрите вазможность использования других границ в заданиях в) и г). 7.8.
Предположим, что имеется «непокрытый» ваган, показанный на сопровождающем рисунке, и вы должны соорудить покрытие для него. Задача заключается в том, чтобы выбрать длину тонких деренянных реек (ребер), на которые натягивается брезент. На местном складе имеются в нзличии рейки следующих длин: 14, 16, 18, 20, 22 и 24 фута. Вы хотели бы максимально увеличить вагон; однако начальник товарного состава предупредил взс, что вагоны, превышающие по высоте 11 футов, случалось, опрокидывались. Какую из указанных выше длин вы выбрали бы, чтобы добиться максиыальной'высоты лл Имеется в виду — по горизонтали.— Прим. лврвв. т. нншнннн нвлинннных твлвннний 192 летворяет нелинейному диффференциальному уравнению бзи 1 — ,.з Лзз 2 где з — длина кривой, измеряемая вдоль зластики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
