Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 27
Текст из файла (страница 27)
К!)МОŠ— К!)ТТА ГОЙМ!Л.АБ %1ТН БТЕР512Е СОМТКОЦ ХАБА ТК К-315 СТИЛЬ РАБОТЫ ПРОГРЛММЫ ККГ45 ИЛЛЮСТРИРУЕТСЯ В СЛЕДУЮЩИХ Г! УБЛИКЛЦ|1ЯХ: Ц Г. БНЛМР!МГ, Н, А. %ЛТТ5, Б.ОАУЕМ|РОКТ, БОГУ!Хб МОМ-БТ|ГГ Ойо!М(АКУ 01ГГЕКЕМТ|ЛЕ ЕЯ1|ЛТ!ОХБ — ТНЕ 5ТЛТЕ ОГ ТНЕ ЛКТ, БАМ01А ЕЛВОКАТОК1Е5 КЕРОКТ БЛМР75-0182, 51АМ КЕУ|Е%', 18(1976), М3, 376 — 411. б б. ПОДПРОГРбММА 8864б 153 С ПЕРВОЕ ОБРАЩЕНИЕ К РКР45 С с с С С с С С С с с с с С с С С с с с с с с с С с с с с С С С С С С С С С С С С С С С С С С С С Г С С С С С ПАРАМЕТРЫ ПРОГРАММЫ: Р— ПОДПРОГРАММА Р(Т, У, УР) ДЛЯ ВЬ|ЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ УР(1) =- 0У(1)(ОТ МЕОК вЂ” ЧИСЛО ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ Т(') — РЕШЕНИЕ В ТОЧКЕ Т Т вЂ” НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ТОСТ вЂ” ТОЧКА ВЫХОДА, В КОТОРОЙ НУЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ КЕ1.ЕКК, АВЗЕКК вЂ” ГРАНИЦЫ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕ1БНОСТИ ДЛЯ ТЕСТА ЛОКАЛЬНОЙ ОШИБКИ.
НА КАЖДОМ ШАГЕ ПРОГРАММА ТРЕБУЕТ' ВЫПОЛНЕНИЯ УСЛОВИЯ АВ5 (ЕОСАЕ ЕРРОР). 1 Е. КЕЕЕРК~АВ5(У)+АВЗЕРК ДЛЯ КАЖДОЙ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРОВ ЛОКАЛЬНОИ' ОШ1ЛБКИ И РЕШЕНИЯ 1РЕАΠ— УКАЗАТЕЛЬ РЕЖИМА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ТУОКК (*) — МАСС!ЛВ, СОДЕРЖАЩИЙ ИНФОРМАЦИЮ, ВНУТРЕННЮЮ ДЛЯ ККГ45, КОТОРАЯ НЕОБХОДИМА ПРИ ПОСЛЕДУЮШИХ ВЫЗОВАХ. ЕГО РАЗМЕРНОСТЬ ДОЛЖНА БЫТЬ НЕ МЕНЬШЕ 34-6'МЕО)4 1)РОКК(") — ЦЕЛЫЙ МАССИВ, СОДЕРЖАЩИЙ 1ЛНФОРМАЦИЮ, ВНУТРЕННЮЮ ДЛЯ РКР45, КОТОРАЯ НЕОБХОДИМА ПРИ ПОСТ!ЕДУЮЩИХ ВЫЗОВАХ. ЕГО РАЗМЕРНОСТЬ ДОЛЖНА БЫТЬ НЕ МЕНЬШЕ 5. ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ ДОЛЖЕН ПРЕДУСМОТРЕТЬ В СВОЕЙ ВЫЗЫВАЮЩЕЙ ПРОГРАММЕ ПАМЯТЬ ДЛЯ СЛЕДУЮЩИХ МАССИВОВ, ФИГУРИ1бУЮЩИХ В СПИСКЕ ВЫЗОВА— У(НЕ(314), (УОКК(3-(-6" НЕОН), 1)УОКК(5); КРОМЕ ТОГО, ОН ДОЛЖЕН ОБЪЯВИТЬ Г В ОПЕРАТОРЕ ЕХТЕКЯАЫ ПОДГОТОВИТЬ ПОДПРОГРАММУ Г(Т, У, УР) И ПРИСВОИТЬ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРАМ— НЕС!б) — ЧИСЛО ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ (КЕОМ.
ОЕ. !) У()-ВЕКТОР НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Т вЂ” НАЧАЛЬНАЯ ТОЧКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ, Т ДОЛЖНО БЫТЬ ПЕРЕМЕННОЙ ТООТ вЂ” ТОЧКА ВЫХОДА, В КОТОРОЙ НУЖНО НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ. Т =ТООТ ВОЗМОЖНО ЛИШЬ ПРИ ПЕРВОМ ОБРАЩЕНИИ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ВЫХОД ИЗ ККГ45 ПРОИСХОДИТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРА 1ЕЕАО=-2, ЕСЛИ МОЖНО ПРОДОЛЖАТЬ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. КЕЕЕКР, АВЗЕКК вЂ” ГРАНИЦЫ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ И АБСОЛЮТНОЙ ЛОКАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ЭТИ ГРАНИЦЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫ.
К Е1.ЕР К ДОЛЖНА БЫТЬ ПЕРЕМЕННОЙ, А АВЗЕКК МОЖЕТ БЫТЬ И КОНСТАНТОГ1. ПРОГРАММЕ, ВООБЩЕ ГОВОРЯ. НЕ С)ТЕДУЕТ ЗАДАВАТЬ ГРАНИЦУ ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКИ, МЕНЬБ!УЮ, ЧЕМ ПРИМЕРНО 1. Š— 8. ДАБЫ ИЗБЕЖАТЬ ТРУДНОСТЕЙ, СВЯЗАННЫХ С б. ЗАДАЧА КОШИ 160 с с с с с ПРОВЕРКА, НАСКОЛЬКО СЕРЬЕЗНО ВЛИЯНИЕ НА РКР45 СЛИШКОМ БОЛЬШОГО ЗАТРЕБОВАННОГО ЧИСЛА ВЫХОД- НЫХ ТОЧЕК 1Р(АВ5(Н) .ОЕ, 2.0*АВЗ(ОТ)) КОР=-КОР+1 ! Г(КОР 09Е.
!ОО) 60 ТО 85 ЧРЕЗМЕРНАЯ ЧАСТОТА ВЫХОДОВ КОР =. О 1Г!.Абс 7 КЕТИЯН 1Р(АВ5(РТ) .6Т. Н26'АВ5(Т)) 60 ТО 95 ЕСЛИ ОЧЕНЬ БЛИЗКО К ТОЧКЕ ВЫХОДА, ПРОЭКСТРАПО- ЛИРОВАТЬ И ВЕРНУТЬСЯ ПО МЕСТУ ВЫЗОВА 00 90 К =-1, НЕОН У(К) = У(К)+ ВТ'ТР(К) А = ТООТ САП. Р(А, У, ТР) КРЕ = НЕЕ+ 1 60 ТО 300 85 90 ПРИСВОИТЬ НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНДИКАТОРУ ТОЧКИ ВЫХОДА 95 С С С С С С С ПОШАГОВОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 100 НРА!ЬО=.РАЬЗЕ. УСТАНОВИТЬ НАИМЕНЬШУЮ ДОПУСТИМУЮ ВЕЛИЧИНУ ШАГА НМ! Н = О(26) *А В 5( Т) ИСПРАВИТЬ ПРИ НЕОБХОДИМОСТИ ВЕЛИЧИНУ ШАГА, ЧТОБЫ ДОСТИГНУТЬ ТОЧКИ ВЪ|ХОДА. РАССЧИТАТЬ НА ДВА ШАГА ВПЕРЕД, ЧТОБЫ ИЗЬЕЖАТЬ СЛИШКОМ РЕЗКИХ ИЗМЕНЕНИЙ В ВЕЛИЧИНЕ ШАГА И ТЕМ САМЫМ УМЕНЬ- ШИТЬ ВЛИЯНИЕ ВЫХОДНЫХ ТОЧЕК НА ПРОГРАММУ. ОТ = Т01)Т вЂ” Т 1Р(АВЗ(ОТ) .6Е. 2.0"АВ5(Н]) 60 ТО 200 !Р(АВ5(ОТ) .ОТ. АВ5(Н)) 60 ТО !50 О() ТРИ Т =.
РАБ ЗЕ, ЧТОБЫ ИЗБЕЖАТЬ НЕОПРАВДАННОГО МА!ВИННОГО НУЛЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИИ ОТ ГРАНИЦ ПОГРЕШНО- СТГЙ, ПРОМАСШТАБИРОВАТЬ ЭТИ ГРАНИЦЫ 5СА1Е = 2.0бК Е) ЕК К АЕ =5САЬЕ~АВЗЕКК !бб УПРАЖНЕНИЯ ио она может быть определена и как решение дифференциального уравнения 2 $ у' (х) = = е-", )lя у (О) = О. (Почему?) Напишите программу, которая, используя (1КЕ45, печатает таблицу функции ег1 (х) для х=0.0, 0.1, 0.2,..., 1.9, 2.0. Сравните эту таблицу с той, что бьща получена в упр.
5.1. Если вы мажете установить точное время выполнения программы на вашей машине, сравните время, необходимое этим двум методам для генерирования одной и той же таблицы. 6.2. Автомобиль массы М, поддерживаемый пружиной с демпфером, показанными на рисунке, перемещается с постоянной горизонтальной скоростью.
В момент времени 1=0 пестр тяжести автомобиля находится на расстоянии йе от земли, и при этом вертикальная скорость отсутствует. В дальнейшем вертикальное смещение дороги от основного уровня описывается функцией хе(!), )4аеса М Напройдеиме дйияения арон Время Предположим, что пружина — линейная с коэффициентом упругости й, а коэффициент демпфирования г является нелинейной функцией относительной скорости двух концов демпфера! «=ге (1+с ~ — „— — ~ ).
Легко показать, что смещение х(!) центра тяжести автомобиля есть решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка аех / бх ахай й(х «а) — г ( — — — ) Ы!э ~ й! й! / З. ЗАДАЧА КОШИ 166 с начальными условиями х (0)=0, Напишите фортран-программу, вычисляющую х(/), 0~1</мез, для контура дороги, описываемого функцией хе(1) А (1 созга/), где 2А — максимальное смещение дороги относительно основного уровня. Заметим, что для линейного случая (с=0) докритическому, критическому н закритическому демпфированию отвечают значения козффициента Исследовать значения С 1/сее/дюам) т/З) НО /фумт.ееч/дюйм/ 80 160 240 ! 1О 6.3. Основное уравнение теории балок имеет еид вчу М бхз= Е/ ' где х — горизонтальное расстояние вдоль балки, у — вертикальный прогиб, М вЂ” изгибающий момент, Š— модуль Юнга, наконец, / — момент площади (иногда называемый моментом инерции) поперечного сечения относительно нейтральной оси.
Момент площади ! не обязан быть постоянным, поскольку форма поперечного сечения балки может изменяться вдоль ее измереаия х. Легко показать, что где у — усилие сдвига, а где ю(х) — нагрузка на балку. ссчпветственно меньшие, равные и большие единицы. Ваша программа должна вводить значения параметров М, ЕО, С, К, А, %, ТМАХ н РЕЕМ; параметр % соответствуетаь Параметр Г)тЕЯ управляет частотой печатания, именно значения 1, хз, х, ох/ог, оех/б1' и я (1) печатаются каждые ГЕН секунд. Предлагаемые тестовые данные: М=10 фунт сене/дюйм, А 2 дюйм; Тт'= 7 рад/сек, ТМАХ =5 сек, К=640 фунт/дюйм. УПРАЖНЕНИЯ (67 Дифференцируя дважды основное уравнение и делая подстановку, получаем дчу — 2 Ю очу ! Дэ) бэу ю бх4 / дх дха ( дхэ Ыхэ+Е!' Большинство приложений этого уравнения приводят к краевым задачам, Однако, практический интерес представляет и следующая задача Коши, Рассмотрим консольную балку с переменным поперечным сечением, по.
казанную на рисунке. Длина балки равна (; в ее конце приложена нагрузка Р. Для этой балки У (х) = Р н М (х) = — Р (! — х). Пусть ! (х) =5()+ 4е "«П) дюйма, Е=ЗОХ !О" фунт/шойм э, (= )00 дюйм, Р=500 4 унт, Вычислите у [!), предполагая, что балка не подвергается необратимым до)юрмациям и не разрушается. Указание: «фиксированный» конец консоля при х=О означает, что у(0)=-0 и У'(0)=0. Другие два начальных значения при х=О можно найти из уравнений для У(0) и М (0). 0.4.
Рассмотрим простую экосистему, состоящую яз кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охо. тятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая а. зАдлчл кОши Вольтерра, списывает зту систему двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка: Ш вЂ” =2г — аг?, г(0)=ге г(! — = — )+ Д 1(О)=)„ л/ и'( где 1 — время, г=г(!', — число кроликов, )=1(1) — число лис и а — поло.
жительная константа. При х=О дае популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При а.лО лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате танях встреч число кроликов убывает, а число лис (по менее очевидным причинам) возрастает. Исследуйте поведение этой системы длн а=О.О! и различных значений г, и )а, простярз!ощихся от 2 или 3 до нескольких тысяч.
Начертнте графики интересных решений илн от руки, нлн используя любой доступный нзм графопостроитель. Начертите также график с осями г и 1. (Поскольку мы умалчиваем о единицах измерении, нет причин ограничназть г и ) целыми зна. чениями.) (а) Вычислите решение для гр=300 и )э=!50. Вы должны обнаружить нз результата, что поведение системы периодично с периодом, очень близким к пята единицам времени.
Другими словами г (5) близко к г(0), а ) (5) близко к Г(0), (б) Вычислите решение для г,=)5 и ?а=22. Вы должны получить, что число кроликов в конечном счете становится меньше 1. Это можно интерпретировать так, что кролики вымкрают. Найдите начальные условия, которые обрекают на аымнРание лис. Найдите начальные УсловиЯ с га=(з, пРн котоРых вымирают оба вида. (в) Может ли какая. либо компонента точного решения стать отрицательной? Может ли стать отрицательным численное решение? Что произойдет в этом случае? (На практике ответы на последние даа вопроса могут зависеть от заданных вами границ погрешностей.) (г) Было предложено много модификаций этой простой модели, чтобы более точно отразить то, что происходит в природе. Например, можно воспрепятствовать неограниченному возрастанию чнслз кроликов, изменив первое уравнение аа г(г I г — =2 ! 1- — ) г — аг).
бг '( )? ) Теперь даже прн а=О число кроликов никогда не может превысить )?. Выберите какое-либо разумное значение для Й и ановь рассмотрите некоторые из поставленных выше вопросов. В частности, что произойдет с периодичностью решений? Данную модель подробно изучали и математики, и биологи. Основные матечагические свойства описаны в книге Дэвис (1962). Сравнение с реальными наблюдениями популяций рысей и зайцев а области, прилегзюшей к Гудзо. нову заливу, приведено в книге Лотка (1956), стр 88 — 94.
Обсуждение модификаций этой модели и дальнейшие ссылки можно найти в статьях Мзй (!972) н Гилпин (1972). 6.5. Знаменитой задачей нелинейной механики являезся задача о лгреаер. нутом маятнике. Маятнин — это жесткий стержень длины 5, поддерживаемый на одном конце шарниром без трения. Посредстиом электромотора аынуждаются быстрые колебания поддержинающего шарнира в вертикальном направлении: а А юлю!. УПРАЖНЕНИЯ 169 Простое применение второго закона Ньютона дает уравнение движения 3 8 = — (5 — Ааз Щп м() згп О, 2(. где 5 — ускорение силы тяжести. Лля малых значений 0 справедливо Мп 0 ш 8, н зто уравнение превращается в хорошо известное уравнение Матье; для неко- тормх значений А и ю н начальных условий уравнение Матье, как известно, устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
