Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. - Машинные методы математических вычислений (1040536), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если и(0) — о(0)== 1, та решением будет . и =-- 4е-' — Зе-'»»»» 2е-» 3е-»а»»ь она показано на рис. 8.7. После очень небольшого промежутка времени решение весьма близко к вектор-функции и =- 4е-', о= — 2е '. Предположим теперь, что мы должны решать эту систему посредством метода Эйлера. Дискретное решение можно записать 5 5 ЖЕСТКИЕ УРАВНЕНИЯ !4! формулами и„, = и„+ и (998и„+. 1998о„), о„,, == он 4-!т( — 999и„— 1999о„), где и,= — о,.=!. Если выбрать !5=.0.01, то и, =: 1+ 0.01 (998+!998) — 30.96, о, =- 1 --; О. 01 ( — 999 — 1999) = - — 28. 98. Попробуйте выполнить еще несколько шагов интегрирования; вы увидите, какой катастрофический характер примут результаты.
Положение дел может быть поправлено, по крайней мере временно, использованием меньшего значения л. Однако посте- Рис. 6.7 Решение жесткого ураиненнн. пенно ошибки округления и дискретизации накопятся в достаточной степени для того, чтобы снова вызвать неустойчивость. Это явление можно представить себе визуально, рассматривая семейство решений, ассоциированных с и(!), показанное на рис. 6.8.
Переходная часть решения, которая, казалось бь!, давно уже практически исчезла, тем не менее мешает увеличить длину шага и ограничивает область значений независимого переменного, для которой можно вычислить решение. Зто особенно досадно потому, чта на данном этапе вычислений решение очень гладко, и хотелось бы увеличить длину шага. Большинство стандартных методов не приспособлено для решения жестких уравнений. Очень часто, прежде чем программа квалифицирует уравнение как жесткое, происходит многократное автоматическое уменьшение величины й, стоящее больших денег.
К счастью, были изобретены спец.альные методы, а,в кгхевыз злдлчи оказавшиеся весьма эффективными. Вероятно простейшим из них является так называемый обратный метод Эйлера, выражаемый неявной формулой: у +~=у +л7(ую-~ь (а+~). Работа обратного метода Эйлера иллюстрируется рис. 6.9. Конструирование эффективных методов для жестких уравнений является областью активных исследований. Обсуждение имеющихся в настоящее время методов выходит за рамки этой книги; кроме того, всякое такое обсуждение очень быстро устарело бы. Мы отсылаем читателя к книге Гир (1968) и текущей литературе по численному анализу и математическому обеспечению.
6.6. Краевые задачм До сих пор мы обсуждали лишь задачи с начальными условиями, в которых значения зависимых переменных задаются для одного и того же значения независимой переменной 1. В некоторых случаях приходится решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии условий на значения зависимых переменных, задаваемых для различных значений Г. Подобная задача называется краевой задачей. Методы решения краевых задач, вообще говоря, очень отличаются от методов решения задач Коши; см. Келлер (1968). Однако мы кратко осветим популярный метод для решения краевой задачи, который сводит ее к последовательности задач Коши.
Предположим, что нужно решить систему У'=1(У, 1), где при наличии услввий у,(0)=а и У,(6)=р, йФО. Можно применить следующий итерационный метод; 1. Выбрать значение 5, аппроксимируюшее у,(0). 2. Решить задачу Коши: У' =- 7 (У Г) У (0) = ~ 3. Если !у,(Ь) — р! мало, положить у(1)жу(Г); в противном случае изменить $ тем или иным образом (см.
гл. 7) и вернуться к шагу 2. Этот метод решения краевых задач называется молодом стрельбы — вполне подходяшее название! 6. ЗлдАчл кОши 144 6.7. Выбор подпрограммы Трудно сконструировать такую программу, которая бы эффективно решала любую задачу Коши для обыкновенных дифферен-,, циальных уравнений. Помимо прочего, нужно принимать во внимание специальные свойства конкретных задач, жесткость, сложность и стоимость вычисления правых частей, ожидаемую точность, желаемый вид выходной информации, легкость, с которои пользователь может читать, использовать и, если необ-.
ходимо, модифицировать программу. Из многих имеющихся подпрограмм мы решили включить в книгу фортран-подпрограмму. РКГ45, авторы Уотс и Шампань.р Зто был нелегкий выбор, и в действительности два предваритель-, ных варианта книги содержали две другие подпрограммы. В этом параграфе будет объяснен данный выбор, а также то, почему. в. других ситуациях можно предпочесть иное решение. Несколько недавяих исследований сравнивают различные методы и программы для решения задач Коши.
Читатель, желающий больше информации относительно выбора подпрограммы, должен обратиться к статьям: Хал и др. (1972), Крог (1973), Шампань и др. (1976), Знрайт, Хал (1976). Важно различать метод и подпрограмму. Метод обычно может быть описан несколькими очень простыми формулами. В самом деле, в предыдущем параграфе было описано несколько методов. Программа, полностью решающая задачу, является, с другой стороны, гораздо более сложным обьектом. Оиа должна предусматривать множество деталей, таких, как выбор величины шага, контроль ошибки, управление временной памятью, взаимодействие с другими программами, выявление ошибок в вызывающей последовательности и возможных разрывов и особенностей.
Две различные программы, реализующие один и тот же основной метод, могут поэтому существенно различаться своими характеристиками. Пользователь, возможно, знает точность, требуемую в реше. нии, но он может не иметь представления о величине шага, необходимой, чтобы достигнуть ее, Более того, требования к величине шага обычно меняются в процессе решения. Поэтому мы считаем существенным, чтобы подпрограмма общего назначения включала автоматический выбор длины шага и контроль ошибки дискретизации. Мы рассматриваем главным образом нежесткие задачи. Качественная подпрограмма с автоматическим контролем ошибки обычно работает и для жестких задач, но она может быть очень неэффективной в этом случае.
Некоторые недавно разработанные подпрограммы пытаются выявить чрезмерную жесткость н пре- Б.Б ВЫБОР ПОДПРОГРЛММЪ| цупредить пользователя, что другой подход может оказаться ленее-дорогим. Методы рядов Тейлора приложимы лишь к специальным задачам, в которых 1(у, () может быть задана в символической, .1егко дифференцируемой форме, Поскольку нам нужны методы, в которых от пользователя требуется лишь подготовить подпрограмму вычисления ((у, 1), то будем рассматривать только методы Рунге — Кутта, многошаговые и экстраполяционные. Конкретный метод Рунге — Кутта обязательно имеет фиксированный порядок. Например, классический метод имеет порядок 4.
Для различных порядков нужны методы с различными коэффициентами. Кроме того, одинокий метод не имеет средств ля поддержания на заданном уровне ошибки дискретизации и, ледовательно, не может выбирать величину шага. Для того чтобы достигнуть автоматического контроля длины шага, необходимо кбмбинировать два различных метода. Методы Рунге — Кутта, которые эффективно добиваются этого, были построены лишь недавно. Зги комбинированные методы имеют все же фиксированный порядок и потому эффективны только в ограниченном диапазоне требований к точности.
Хорошо написанную подпрограмму, основанную на методах Рунге — Кутта, можно довольно легко читать, понимать, использовать и модифицировать. Это главные причины, по которым мы выбрали подобную подпрограмму для данной книги. Подпрограмма РКЕ45, описываемая в следующем параграфе, является наилучшей универсальной реализацией методов Рунге — Кутта, которая пам известна. Методы Адамса — это семейство многошаговых методов различных порядков. Хорошо составленная подпрограмма Адамса с переменным порядком и переменным шагом обычно более эффективна в широком диапазоне требований к точности, чем подпрограмма Рунге — Кутта фиксированного порядка с переменным шагом. Среди примеров таких подпрограмм отметим 1ЗЧРЯ и РЧОА (Егер КгодЬ), Р1РЯ)В (Гир (!971)), 5ТЕР и ЭЕ (Шампань, Гордон (1975)), УОА5 (Седгвик (1973)).
Из-за переменного порядка все эти подпрограммы более сложны. Поэтому оии требуют большей памяти и более трудны для чтения и понимания, чем кКГ45. Кроме того, при скромных запросах к точности (локальная ошибка мсньше чем 1О-' или 10-') Р,КЕ45 столь же эффективна, как и более сложные методы Адамса.
Имеющиеся в настоящее время подпрограммы, использующие экстраполяционпые методы, несколько менее гибки, чем подпрограммы, основанные на других методах. К тому же они по-видимому менее эффективны, особенно при высоких требованиях к точности или если выходные результаты нужны по всему интервалу интегрирования, а не только в его конце. Работа по реали- 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
