Вычислительная математика и математическая физика (1037614), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ДИСЦИПЛИНА 3. Дифференциальная геометрия и основы теизориого исчислении Алгебра тензарав в 3-х мернам еаиидовам щюстранстве Криволинейные системы координат в области евклидова пространства. Примеры. Локальные векторы базиса. Якобиевы и метрические матрицы. Правили расстановки индексов. Векторные поля, алгебраические операции с векторными полями.
Векторное произведение и его свойства, Смешанное произведение и двойное векторное произведение. Геометрическое определение тензора 2-го ранга. Операции с тензо1~ми. Компоненты тензора. Базисные тензоры. Скалярное умножение теизоров. Диады. Поле тензора 2-го ранга. Алгебраические операции с тензорамн. Собственные значения тензора. Разложение тензоров по собственному базису. Определение тензора и-го ранга. Правила преобразования компонент тензора при переходе к новой системе координат.
Алгебра тензорав на линейных пространствах Тензорное произведение линейных простГхзнств, Определение тензора 2-го ранга на линейном пространстве. Диадный базис, Тензоры высших рангов. Тензоры на сопряженном пространстве, Изменение компонент тензоров прн замене базиса. Операции с тензорамн. Независимые компоненты тензоров. Тензорный анализ а 3-х мерном еииидовам пространстве. Символы Кристоффеля, их свойства.
Определение ковариантной производной скаляра и вектора. Набла-оператор. Ротор вектора, дивергенция вектора. Ковариантные производные тензора 2-го ранга. Дивергенция и ротор тензора, Теорема Риччи. Коварнантные производные 2-го порядка. Геометрия риманоамх пространств и щюстранств аффиной связности. Элементарное многообразие. Касательное пространство. Рнманово пространство. Тензоры на злементарном многообразии, Коэффициенты связности в римановом пространстве. Ковариантное дифференцирование в рнмановом пространстве, Абсолютная производная тензора.
Параллельный перенос. Определение пространств аффн иной связности. Конариантное дифференцирование в пространстве афф инной связности. Тензоры кручения, кривизны Римана-Кристоффеля. Риманово просгранство аффинной связности. Тензорное описание кривых в 3-х мерном еаилидоаом пространстве. Способы задания кривых. Длина луги. Векторные характеристики кривых. Кручение и кривизна кривой. Сопровождающпй трехгранник. Формулы Френе, их механический смысл.
Уравнение касательной, нормали и бинормали. Теории иоаерхностей а 3-х мерном еанлидовом пространстве, Способы задания поверхностей. Локальные векторы базиса и метрическая матрица на поверхности. Тензоры на поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. ГГервая квадратичная форма поверхности. Элементарная площадка поверхности, Вторая квадратичная форма. Кривые на поверхности. Векторы нормальной и геодезической кривизны. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье.
Главные кривизны поверхности. Гауссова и средняя кривизны. Классификация точек поверхности. Индикатриса Дюпена. Ли~и~ кривизны. Геодезические липин, зкстремальное ~~ой~~во ~еодези~еских. Аснмптотические линии. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь поверхности. Перечень аопросоа Дать определение локальных векторов базиса Госновных и взаимных). Как связаны локальные векторы базиса с метрической матрицей? Дать определение векторного произведения, используя символы Леви-Чивиты. Сформулировать и доказать свойства символов Леви-Чивиты 27.
Доказать,что: 7х (а-Т) = (7х Т~).а — (Тт х7).а 28. доказать, что: 7 х (Т х а) = «7 х Т) х а — (Тз х 7) х а 29. Доказать, что: 7 х (а х Т) = — «7 . а) Т + (7 Я а) . Т вЂ” а 7 ® Т + а®7 . Т ю 1б. 11, 12. 14. 15. 17. 15, 17. о.
21. 26, Алгебраические операции с тензорами (сложение, умножение на скаляр). Компоненты тензоров. Теорема о разложении тензора по базисным теиэорам. Единичный тензор, скалярное умножение тензоров. Дать определение т1инспоннрованного, симметричного, кососимметрнчного тензоров. Вывестн выражения для их компонент, Геометрическое представление этих тензоров. Дать определение обратного, ортогонального тензоров. Вывести выражения для их компонент. Геоме~рическое представление этих тензоров.
Собственные значения тензора второго ранга. Разложение тензора по собственному базису. Сформулировать теорему о собственных значениях ортогонального тензора второго ранга Сформулировать н доказать теорему о связи кососимметричного тензора и аксиального вектора. Определение тензора 2-го ранга на линейном пространстве с использованием классов эквивалентности.
Ди щный базис. Тензоры высших рангов. Пример тензора третьего ранга, Набла-оператор, ковариантная производная компоне1гг вектора и тензора второго ранга . Символы Кристоффеля, нх классификация. Связь символов Кристоффеля с метрической матрицей. Определение ливергенцин тензора и ротора тензора. Сформулировать теорему о градиенте тензора. Сформулировать н доказать теорему Риччи.
Дифференцирование произведения тензоров, Свойства коварнантных производных. Ковариантное дифференцирование сумм. Дифференцирование произведений вектора н тензора на скаляр. Доказать, что: 7«а. Ь) = (7 (9 а) Ь + «7 ф Ь) . а Доказать, что: 7 19 (а х Ь) =- (7 ~3 а) х Ь вЂ” «7 13 Ь) х и Доказать,что: 7.
(ах Ь) = (7х а). Ь вЂ” (7х Ь).а Доказать, что: 7. (а ® Ь) = (7 . а) ® Ь + а . 7 Э Ь Доказать, чтос 7 х (а х Ь) = Ь ° 7 181 а + а(7. Ь) — Ь(7 ° а) — а - 7 ® Ь Доказать, что: 7 х (а ® Ь) = (7 х а) Ь51 Ь вЂ” а х(7(9 Ь) Доказать, что: 7 19 (Т ° а) = (7 ® Т) а+ «7 ® а) Т' Доказать,что: 719(а.Т) =(713и) Т+(719Т').а Доказать, чтгс 7- (Т - а) = (7 Т) ° а + Т вЂ” (7 Э а)' Доказать, что: 7- (а. Т) = (7.
Т~) а + Т - 7 ф а Доказать, что: 7 (Т х а) = (7 Т) х а + СТ~ -7) х а Доказать, что: 7х «а-Т) = (7х а)-Т вЂ” а-(7Х7), Доказать, что: 7х (Т а) = «7х Т) а — (Т х7)' а 30. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве. Способы задания кривых. Длина дуги кривой. 31. Векторные характеристики кривой: касательный вектор, нормальный вектор, бинормаль, кривизна, радиус кривизны 32. Вьшод формул Френе. 33. Сопровождшоцгий трехгранник, кривизна, кручение 34, Дать определение 1-й квадратичной формы поверхности.
Вывести связь 1-ой квадратичной формы с длиной кривой на поверхности. Вычисление площади поверхности. 35, Дать определение 2-ой квадратичной формы поверхности. 36. Ортогональные траектории для заданного семейства кривых на поверхности. 37. Деривационные формулы, 38. Главные направления и главные кривизны. Средняя и Гауссова кривизны, Типы точек поверхности. 39.
Геодезические линии, экстремальное свойство геодезических. 40. Нормальная кривизна. Асимптотнческие линии. Основная литература 1. Днмитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. - М.:Высшая школа, 2004, 575 с, 2. Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ~' Механика сплоптной среды.Т.1,-Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана.-2011.-463 с. 3. Мак-Конел А.Дж. Введение в тензорный анализ. СПБ.: Лань, 2006, 412 с. 4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: СПБ: Лань, 2005, 376 с. 5.
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во.МГУ, 2004, 286 с. 6. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. — М.: Физматлнт, 2005.— 176 с. 7. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т, Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии.— М.:Изд-во МГУ, 2004. — 184 с. 8. А.Н. Щетинин, Е.А.
Губарева Введение в тензорный анализ. Учебное пособие. Изд-во МГТУ нм,Н.Э, Баумана.-2012.40 с. Доиолнительнал учебная литература 1. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965, 2. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.М.; Наука, 1978, 296 с. 3.
Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорпого анализа и механика сплошной среды. М,: Наука,2000. 4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1979. — 760 с. 5. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 412 с.
6. Петров А.З. Пространства Эйншгейна. М.: Физматгиз. 1961,464 с. 10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 11: Линейная алгебра. М.: Наука, 1986, 400 с. 11. Грин А.„Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965, 455 с. 12. Сиротин Ю.И., Шаскольская Н.П. Основы крнсталлофизнкн. М.: Наука, 1979, 640 с. 13. Най Дж. Физические свойства кристаллов. М.: ИЛ, 1960, 386 с. ДИСЦИПЛИНА 4. Численные методы Численные методы алгейры Элементы теории погрешностей и погрешности численных методов решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): метод Жордана-Гаусса с выбором ведущего элемента, метод прогонки. Чебьппйвская и евклидова нормы матрицы, изменение погрешностей под действием матричных операторов, число обусловленности квадратной матрицы и вычисление относительной погрешности прн численном решении СЛАУ, матричные аналитические функции.
Метод наименьших квадратов (МНК) и оценка параметров в моделях полиномиальной регрессии. Принцип сжимающих отображений и метод простой итерации для решения алгебраических уравнений и систем, методы простой итерации и Зейде<п< для решения СЛАУ, метод (касательных) Ньютона и его модификации для численного решения алгебраических уравнений. Итерационные методы решения спектральной матричной задачи: вычисление наибольшего по модулю собственного значения (н отвечающего ему собственного вектора), метод Якоби лля полного решения спектральной матричной задачи, Инн<ерноллцил сеточных функций. Аннроксимацин функций и линейных оиераторое е функцнональнык пространствах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
