Вычислительная математика и математическая физика (1037614), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Теоремы Стеклова. Энергия колебаний струны 1стержня). Теореме единственности, Одномерные уравнении параболического типа Вывод уравнения теплопроводностн и диффузии. Уравнение теплопроводности на бесконечном отрезке. Функция Грина и ее свойства. Уравнение теплопроводн ости на полу бесконечном отрезке. Метод отражений. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводностн на ограниченном отрезке. Неоднородное уравнение теплопроводности и функция Грина краевой задачи. Принцип максимума для уравнения теплопроводностн и теорема единственности. Задачи без начальных условий и задача о промерзании земли.
Уравнение Лапласа уравнения ныории колебаний в нростпранстве Физические задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. Постановки краевых задач в области. Гармонические функции. Формулы Грина. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Теорема о среднем значении. Принцип максимума для функций гармонических в области.
Теорема единственности. Теоремы единственности решения внепших краевых задач для уравнения Лалласа на плоскости и в пространстве. Метод статических изображений построения функции Грина для краевых задач в круге и в полуплоскости. Метод конформных отображений построения функций Грина плоских задач для уравнения Лапласа в ограниченных и неограниченных областях. Метод статических изображений для построения функции Грина для уравнения Лапласа в шаре. Формулы Пуассона для репгення краевой задачи в круге н в шаре. Введение в теорикз гармонических потенциалов.
Потенциалы простого и двойного слоя. Простейшие интегральные уравнения теории потенциалов. Уравнение колебаний в неограниченном трехмерном пространстве. Формула Пуассона, Следствия из формулы Пуассона. Метод спуска. Особенности распространения воли в двумерном и трехмерном случае. Случай чисто периодического возмущения. Уравнение Гельмгольца. Фундаменнзальные решения уравнений с линейным дифференциальным операзпором и обобщенная задача йотии„просгнейитие нвазилинейные ДУ в частных производных Основные свойства обобщенных функций.
Преобразования Фурье н Лалласа обобщенных функций. Фундаментальное решение линейного дифференциального уравнения с обыкновенными произ води ымн. Фундаментальное решение одномерного волнового уравнения. Фундаментальное решение уравнения теплопроводиости. Понятие обобщенного решения линейного дифференциального уравнения.
Обобщенное решение задачи Коши для ОДУ, Обобщенное решение задачи Коши для волнового уравнения, Обобщенное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Уравнение Бюргерса. Уравнение Картевега- де Фриза Перечень вопросов. 1. Общий вид ДУ в частных производных. Уравнения, линейные относительно старших производных, Приведение к каноническому виду.
Характеристики. Классификация линейных н квазилинейных уравнений второго порядка. 2. Уравнения гиперболического типа. Уравнение малых поперечных колебаний струны и малых продольных колебаний упругого стержня, Начальные н краевые условия. Редукция общей задачи к задаче с однородными краевыми условнямн. Вынужденные колебания. 3. Уравнение колебаний бесконечной струны ~стержня).
Задача Коши с начальнымн условиями. Решение Даламбера. Характерно~и~и. Распространение начального отклонения и начального импульса. 4. Уравнение колебаний полу бесконечной струны (стержня). Метод отражений. Графическая иллюстрация. 5. Энергия колебаний ограниченной струны. Теорема единственности краевой задачи.
б, Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны в случае краевых условий первого н второго рода. 7. Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны в случае краевых условий третьего рода. 8. Краевая задача для уравнения колебаний ограниченной струны с нулевыми начальными условиями и неоднородностью в уравнении.
Функция Грина. 9. Общая схема разделения переменных в уравнении колебаний ограниченной струны с переменными козффнциентами Теоремы Стеклова. 10. Метод разделения переменных для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым краевым условием. Функция Грина 11. Метод разделения переменных для однородного уравнения теплопроводности с однородными краевымн условиями. 12. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой. Функция Грина. 13. Задача без начального условия для уравнения теплопроводностн с заданным тепловым режимом иа границе полу бесконечного интервала.
Промерзанне земли. 14. Уравнение Гельмгольца. Его часгные решении в декартовых, полярных и сферических координатах. 15. Функция Грина первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике, полосе, и бесконечном цилиндре прямоугольного сечения. 16. Физические задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Функции. гармонические в области. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа. 17. Гармонические функции. Связь с аналитическими функциями комплексного переменного. Уравнение Лапласа в комплексной форме и его общее решение.
18. Уравнение Лапласа в криволинейных ортогональных координатах (Полярные координаты, сферические координаты). Частные решения методом разделения переменных. 19. Функция Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в полуплоскостн, полупространстве, и внутри окружности. Построение методом отражений, 20.
Построение функции Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в ограниченной области с гладкой аналитической границей методом конформных отображений. 21. Построение функции Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в неограниченной области с гладкой аналитической границей методом конформных отображений. 22. Первая и вторая формулы Грина в ограниченной области для дважды непрерывно дифференцнруемых функций, Третья формула Грина.
Интегральное представление для функции гармонической в области. Случаи краевых задач Днрихле и Неймана. 23. Теорема о среднем значении на плоскости и в пространстве для гармонических функций. Принцип максимального значения. 24. Теоремы единственности решений внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости и и пространстве. 25. Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне круга методом разделения переменных, Интеграл Пуассона. 26. Метод отражений для решения первой краевой задачи в случае сферы и интеграл Пуассона. 27. Гармонический потенциал двойного слоя. Формулы предельных значений для потенциала двойного слоя . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода для задачи Дирихле в ограниченной области. 2В.
Гармонический потенциал простого слоя. Формулы предельных значений для потенциала простого слоя и его нормальной производной . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода для задачи Неймана в ограниченной области, 29. Применение поверхностных интегралов к решению краевых задач. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений второго рода краевых задач Днрнхле и Неймана в случае уравнения Лапласа. 30. Обобщенная задача Коши для Уравнения теплопроводности в неограниченном пространстве с ~~~альными условиями.
Функция Грина уравнения теплопроводности как обобщенное решение. Вывод ее явного вида для одномерного случая 31. Обобщенная задача Коши для уравнения колебаний в неограниченном пространстве с начальными условиями. Функция Грина уравнения как обобщенное решение. Вывод ее явного вида для одномерного случая. 32. Формула Пуассона дл решения задачи о распространении колебаний в неограниченной двумерной области с начальными условиями. 33, Формула Пуассона дл решения задачи о распространении колебаний в неограниченной трехмерной области с начальными условиями, 34.
Нелинейное уравнение Кортевега-де Фриза. 35. Нелинейное уравнение переноса. Ударная волна. Уравнение Бюргерса. 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М.: Изд-во МГУ, 2004 2. Будак Б.Н., Самарский А.А., Тихонов А.Н., Сборник задач по математической физике.
М.: Физматлит, 2004 3. Эльсгольц Л, Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. «Наука»; 2008, Яаналнительная учебнаа литература. 1. Владимиров В,С., Уравнения математической физики, М.: Наука, 198! 2. Мартинсон Л.К., Малов 1О.И., Дифференциальные уравнения математической физики, М.: Изд-во МГТУ, 2006 3. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Сборник задач по уравнениям математической физики, М.: Физматлит, 2003 4, Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Изд,4-е, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, - 240 стр. 5. Димитриенко 1О.И. Тензорный анализ/ Механика сплошной среды.Т.1.-Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана,-2011.-4б3 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
