Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 70
Текст из файла (страница 70)
— фвзн:ескке постоянные, входящие в систему (П) и функциональные связи (2.7). г) См. Амбарцумян В. А., Мустель Э.Р., Северный А. Б., С о б о л е е В. В., Теоретическая естрефнонка, М., Гестехнодат, 1952, стр. 5. Если источники энергии распределены внутри звезды непрерывно, то величину йо надо положить равной нулю. При наличии в центре звезды концентрированного источника энергии имеем Ео+ О. Так как температура внутри звезды намного больше, чем на поверхности, то многие астрофизики принимают обычно, что на поверхности звезды можно ваять Т = О. При заданных н, к и ее решение системы (11) зависит от трех произвольных постоянных, для которых имеются одно краевое условие (2.6) в центре и два условия (2.6') на поверхности звезды.
Если молекулярный вес )о, коэффициент поглощения хг и интенсивность источников энергии ео заданы в функции р и Т 394 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ [гл. чг Если Ее = — О, то из (2.3)' для светимости и радиуса звезды следуют формулы вида Ез =- Е (%,%, а„аз,...), Зь = г(%,%, а„а„...). (2.
9) Ое О ж = 7 (%~ Ее аг (2.10) Итак, для модели с точечным источником энергии нельзя установить в результате решения системы уравнений (11) два соотношения вида Ез (%) и ж (%). Эти связи можно установить в том случае, если задать дополнительно зависимость Ее (ре, Те), где ре и Те — плотность и температура в центре звезды. 9 3. Теоретические формулы для закономерностей светпяость — масса и радиус — масса' ) Для постановки задачи, сформулированной в предыдущем параграфе, представляет болыпой интерес фактическое определе- ') Многие ии наследующих теоретических выводов о равновесии в нестацпопарных явлениях прн движении газов со сферической симметрией с учетом гравитационных сил были получены в работах Л. И.
Седова и И. Ы. Яворской 15 — 20 лет тому назад. Впоследствии зти результаты уже применялись и теперь все больпге и больв~е проникают в практику для понпмания и истолкования наблюдаемых астрофизических явлений применительно к различным конкретным событиям и объектам. Дальнейшее непосредственное использование и раавитие этих теорий содержится в канте: Д и б а й Э.
А., В а и л а я С. А., Размерности и подобие астрофизических величин. М., еИаукаа, 1976 (см. также, наприлгер, работы: Во!!нбегА., Варророг18., Во!11., 1вогЬегша1В1авг граче Мойе! о1 8нрегпоча Вешпапсв. АвлгорЬув. 7., ч. 201, .'Е 2, рю 1, 1975. р.381 — 386; Савгог 1., МсСгау В., т)геалчег В.. 1псегвге!!аг ВнЬЫез. АЗ1горЬув. 1., ч. 200, ьсг 2, рп 2, 1975, р. В!07 — С!10). Таким образом, в результате решения поставленной задачи лгожно определить связь между светимостыо звезды и ее массой, радиусом звезды и ее массой и, следовательно, получить воза!Оп!- ность теоретического осмысливания эмпирических результатов, описанных в 3 1 настоящей главы.
Соотношения (2.9) зависят параметрически от постоянных а„а„..., значения которых могут быть разными у различных звезд. Для тех групп звезд, у которых эти постоянные одинаковы, соотношения (2.9) определяют единую зависимость светпмости от массы звезд. Если Еа ч — О и задается независимо от %, то функции (2.9) завнсят от Ез как от дополнительного параметра. Если все источники энергии сконцентрированы в центре — модель с точечным источником энергии, то вместо (2.9) получим формулы вида ние закономерностей (2.9). Эту задачу рассматривал Стремгрен ') при следующих предположениях: 1'. В уравнении состояния отбрасывается член аТ«73, соответствующий давлению излучения. 2'.
Молекулярный вес р постоянен везде внутри звезды. 3'. Для коэффициента поглощения и для источников энергии верны формулы ., = Вр(ВТ)-— е* =- езр" (ВТ)а, где В, з, е„а, (1 — постоянные. Опираясь на зги допущения, Стремгрен установил формулу 9)7»«» (3.1) где постоянная Д7 зависит только от 7', з, а, Однако оказывается '), что с помощью соображений теории размерности при сохранении предположения 1' и при более общих допущениях, чем 2' и 3', заключенных и формулах и рр «(ВТ) кг = Вр (ВТ) е*.=- еер'(КТ)з, (3.2) где $, т), »л, и, а, )) — постоянные, можно указать вместо одного соотношения (3.1) два простых соотношения вида (2.9).
Введет» новые переменные ВТ т= (7' )'" Рг = — 1 и обозначения Ве, (Ерз) ' = о». ') Я 1 г о ю 6 г е п В., НапдЬ. д. АЗ1горЬуз., «з 7, р. 159, 1936; Егд. Ехас1. Ха«пгн(зз., т. 16, р. 465, 1937. Изложение многих результатов но теории звездных гааовых моделей можно найти в книге: С Ь а п 6 г а з е Ь Ь а г 9.. Ап 1пзгодпссгоп оЕ «Ье 8«пйу оЕ (Ье 31е1!аг Б(гпсспге. СЫсазо, ((п(т. СЫсазо Ргезз, 1939 (русский перевод: Ч а н д р а с е к а р С., Введение в учение о строении звезд, М., ИЛ, 1950). з) См. С е д о в Л.
И., О теоретических формулах для звездных аакономерностей «светимость — масса» и «радиус — масса». ДАН СССР, т. 94, № 4, 1954, стр. 643 — 646. $ 31 зАНОнОмеРнОсти сеетимость — мАссА и РАдиус — мАссА 395 зев приложения к пРОБлемАм АстРОФизики [гл. Рт Нетрудно проверить, что система уравнений (11) и краевое. условие (2.6) при Ве = О эквивалентны системе уравнений р))з, з ( лх Нх Алга ' 4я 1 Р (3.3) р, = рзте+ 1)т', тз — "' = — .'„, рхт" г) р«ТНх )Зяе ' е и формуле для вычисления светимости В = еев)) (ре!)'" ) р~те )х. (3.4) Таким образом, задача сводится к разрешению системы (З.З) при следующих краевых условиях ') (см.
условия (2.6')): на поверхности звезды при х = 1 имеем р=О и Т=О. (3.5) Отсюда следует, что если решение поставленной математической задачи существует и имеет физический смысл, то искомыв функции 3 — з зс — 4 Мз г, р, г, р,((рз) - — „., ° (Т) - М ° 1 " определяются величинами х,и,ю, и, причем имеют место следующие формулы размерности: (6)))=М (ю)=Мз1.* ф)=-М "Ь ( л ) (36~ где (4 — и — р) (2 — 1) )с,= — 2 — ю — и+ ч (3,7) Р)(З.
- 4) з) з) Краевые условия(3.5) моясио видоизменять. Если в видоизмеиеииых условиях ве появляются новые размерные фивичесиие постоянные, то все последующие выводы сохраяяют овою силу. Дальше мы примем, что )сз ~= О. Если допустить, что (с = О (предположение 1'), или если $ = з) = 1 (предположение 2'), то в случае )сз = О среди определяющих величин нет величин, зависящих от линейных размеров, тогда как искомые величины т, р, г, р„связаны с линейными размерами. В этом случае указанная выше постановка задачи нуждается в уточнениях. $3) ЗАкономеРности светимость — мАссА и РАдиус — ИАссА Зе( Из определяющих параметров можно составить только две независимые отвлеченные комбинации 44+4(за 41 и 6 от Н+зх+зо)о+(4 — о — Ж(зх-4> 4))( 6))з* где 443 = — ['24) -[- 4(6 — 2)— 1 Ч [4()+4(З~ — 48 [(2 + к+а) т) — (4 — и 6) (2 — ()[ ~ (4+ йи+;)а) Ч+ (4 — о — 6) (Зй — 4) Очевидно, что при р = сова(, т.
е. $ = т[ = 1, имеем йз= — — 2 и 6=14%3. При йз = О получим, что отвлеченный параметр 6 не зависит от массы %. Из общих соображений теории размерности вытекает, что искомое решение имеет вид ( — ) ' г, (х, 6), йй( — "„) ""'Р,(.,6), ЗХ вЂ” 4 З+(;)' т,(.,6), 3( (о т — 4'З~ т о чйз ( — ) (Р,т, -[- бт,). (~з ) (3.8) Рт= Подстановка ([)ормул (3.8) в систему уравнений (3.3) и краевые условия (3.5) приводит к уравнениям о' Хо 4 х — (РТ +бтт)= —— отх йтго 1 х 3 З ('отх Гт = — ~ —, 4я З рт о (3.9) 3 4(Т1 3 х о р о а Тт — = — — Р( Тт '~ Р,тт((х 16язто о Если равенства а = 1 и т[ = 1 не выполняются одновременно, то при некоторых значениях показателей $, т[, а, 3 то, и можно удовлетворить равенству )(3 — О 898 пРиложения к пРОБлемАм АстРОРиэитп1 (гз.
чг и краевым условиям приз=-1 р1 —— — 0 и т,=О. (ЗЛО) Уравнения (3.9) и условия (3.10) не содержат размерных постоянных %, з> и определяют безразмерные функции т, (х, 6), р, (х, 6) и г, (з, 6), Параметр 6 не войдет, если припять предположение 1*. В последнем случае функции >1 (е), р, (е) и т, (е) являются универсальными числовыми функциями, зависящими только от значения показателей $, т), >а, Р, а, Р. На основании формул (3.8) и (3.4), учитывая, что а> = »14 — 1 = Ве, ()144) ' и формулы (3.7) для радиуса и и светимости звезды 2* получим: И =- НВез)'(Фз) ' ' ~: 1 %44»а»а>з — 44-»-З>>з — »>)44+за+за>з+>4 — а — Впз» О (1 6) Г> 1 >з»-4>а-за» 2а = ЕЗ (ВЕ,) >4+За+За>З+(4 — — а>>ЗŠ— 4> а»+э-4 1 ОИ вЂ” 4> 1 — з໠— + — 1 >с ()р ) з 4 !ы >.за+за>з+(4 — » — 11>кц — 4>1 х 1->-а.>- — 11+ цз->.
' а>» — ы — » — ахз — юцка — Оз — заз> х % ° ц>+з»+за>з+м — - злзз — э>з ° ~ ратэс(х. а Если пренебречь световым давлением в уравнении состояния (предположение 1'), то надо положить 6 = О, после чего формулы (ЗЛ1) определяют полностью зависимость И и 2* от ез, 7)зз, В и от массы звезды %. Если 6 Ф= О, но 1сз =- О, то 6 не зависит от массы звезды, и поэтому в этом случае формулы (3.11) также полностью определят зависимость И и 2* от массы звезды %.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
