Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Если из формул (3.11) исключить з, то получим соотношение ' ° 4- Зà — 4 3 В2а = аь(1(40) " И %, (3.12) — 4ЬЗ»»+(4 — »> —" — 1-41+<4 — »> где 4Π— отвлеченная постоянная, которая при 6 =- 0 может зависеть только от $, ть сз, 6, и, Р.
Д>обопытно отметить, что в формуле (3.12) от закона выделения энергии может зависеть только постоянная 4>. Формула (3.1) получается как частный случай из формулы (3.12). Нетрудно убедиться непосредственно, что формула (ЗЛ2) сохраняет свою силу для модели звезды с точечным источником энергии в центре звезды, когда мощность точечного источника энергии 2* задается произвольно. Решения системы РРАвнении РАВнОВесия 3Везд дед Формулы (3.12) и (3.11) можно использовать для обработки наблюдений.
При сопоставлении этих формул с эмпирическими данными можно получить некоторые основания для суждения о законах (3.2), а также о правильности принятой постановки задачи. 4. Некоторые простые решения системы уравнепнй равновесия звезд В теории вспьппек новых звезд при исследовании неустановившихся движений газовых масс звезды необходимо использовать в начальных условиях данные о распределении характеристик состояния газа внутри звезды при равновесии. Для этой цели использование решении системы уравнений (11) с краевыми условиями (2.6) и (2.7) из-за сложности этих решений неудобно и исключает возможность получения эффективных решеннй о не- установившихся движениях.
Кроме этого, для более глубокого уяснении роли различных физических факторов полезно рассмотреть решения системы (11), не подчиненные краевым условиям на поверхности звезды. о[ы рассмотрим точные решения уравнений равновесия (11) (в которых мы пренебрегаем световым давлением), при этом вместо краевых условий на поверхности звезды будем опираться на некоторые дополнительные гипотезы. Исходя из соображений размерности, рассмотрим простейшую гипотезу о том, что распределение характеристик состояния, помимо сил гравитации, связанных со значением гравитационной постоянной 1, зависит существенно еще от какого-либо физического закона, влияние которого может осуществляться посредством только одной характерной физической постоянной, котору|о мы обозначим через а.
Более определенно рассмотрим равновесно газа, для которого распределение плотности и давленпя зависит только от следующих трех размерных параметров: [г) =- 1., [Д = —, [а)=М1 'Г'. (4.1) Размерность параметра а (значения постоянных й и з) фиксируется указанной выше гипотезой, которую мы не будем пока конкретизировать. Мы рассмотрим случай, когда размерность дополнительной физической постоянной а содержит символ массы.
Очевидно, не ограничивая общности, можно принять, что в формуле размерности постоянной а символ массы входит в первой степени '). ') Если дополнительная заданная постоянная оь есть кинсматичоская величина, то в качестве а можно взять постоянную, равную а*lд (гя. Рг пРилОжения к пРОБлемАм АОТРОс5изики 400 Легко проверить, что из гипотезы (4.1) вытекают следующие формулы: 5 22+25 =а а 'у г 2 2 5 2 5 'ув и 22.ьв г 2 — 5 (4.2) 5 2+ и 2 5 у 2 — 5 2+2.+22 г 2 — 5 2 2 кт = г 2 5 21 +.; 2 — 5 (4.3) Формулы (4.2) показывают, что центр симметрии является особой точкой, в которой плотность, давление и температура, вообще говоря, бесконечны.
С одной стороны, это обстоятельство в известном смысле может отражать действительное положение вещей, так как в центре звезды плотность, давление и температура имеют максимум и достигают весьма больших значений. С другой стороньт, из физических сообравкенпй следует, что давление, плотность и температура в центре звезды существенно конечны.
Отсюда следует, что непосредственно вблизи центра звезды в тех случаях, когда получаются бесконечные значения характеристик состояния, принятая гипотеза о существовании только двух физических постоянных у и а является неприемлемой. Это служит также указанием на то, что вблизи центра звезды, помимо у и а, становятся существенными еще дополнительные физические факторы. Однако, если допустить, что такие уточнения необходимы только непосредственно вблизи центра звезды, то формулы (4.2) можно истсользовать для моделирования действительного равновесия вне окрестности центра звезды '). 2 ) Заметим попутно, что вблизи центра звезды гравитационная постоянная, по-вцдимому, в явной форме несущественна, так как вблизи центре звевды равнодействующая сила льютонианского тяготения близка к нулю.
Однако мы не будем касаться здесь более глубоко явлений вбливи центра звезды. В $ б, стр. 410 — 411, показано, что для решений (4.2) полная энергия 55" (г) конечна при ы ( 255 22 55' (г) -5 0 при г -5 О. где а,5 а„аз, ав — отвлеченные постоянные и з чА 2. Ксли г = = 2 и Ус Ф= — 3, то нельзя установить зависимости от г так как в этом случае имеется отвлеченная комбинация ау/г "з; если з = 2 и Ус = — 3, то размерности У и а зависимы, и поэтому в этом случае система (4.1) неполна и не может определять р и р. По своему физическому смыслу масса 44(г) — положительная монотонная величина, не убывающая с возрастаниемг; поэтому должно быть $ л! Решения системы уРАВнениЙ РАВнОВРсия ВВезд 46! Очевидно, что в этом случае, если р ~ О, уравнение в М = 4ля)Гвр ИГ в не удовлетворяется, поэтому этот случай не может привести к точному решению системы (!!).
Нетрудно усмотреть, что мы удовлетворим первым трем уравнениям системы (11) — — -г =. = О, НУ = 4н~гвРЛ)г, Р = — (4.5) Лр, ьтг Г, рлт р лг г гв 1 ' " ~ ~ р при постоянном р, если определим постоянные а„ав и а через постоянную а, согласно формулам 2 в а = — 4л, '. а, 2Л+ 2 (4.6) в ав = — 2л !2Л зв)(4+ в в-2Ц ' (4.7) Нетрудно видеть, что показатель в формуле для давления Л + в -~- 2Л должен быть отличным от нуля, так как в противном случае давлепио получается постоянным по радиусу, что исключает возможность удовлетворить уравнению равновесия.
Обратимся теперь к вопросу о построении решения искомого типа, удовлетворяющего последним двум уравнениям системы '! Мы полагаем,М = .АЛр, и следовательно, а, = !. 1/в! А л. и. седов Если се = — (3, то при г-в. О имеем .Ат — О. 2Л+ 6 2 — в Формулы (4.2) показывают также, что давление н плотность могут обратиться в нуль только в бесконечности и что масса 2Л+зв стремится к бесконечности вместе с г, если — ' ' > О. Это 2 — в обстоятельство показывает, что рассматриваемая гипотеза также требует корректировки на далекнх расстояниях от центра звезды. 2Л' -г Зв 2 Если, 2 — — О, то )с = — — ' з; в этом случае комбинация в з а~ — вг.—. Н ИМЕЕтраэпвриаетЬ МаССЫ. Эту ПОСтОяННуЮ МОЖНО в взять вместо а, и поэтому формулы (4.2) приобретают вид ') Л„.Ю,Мв р= а,—.,", ля=.яв, р=-ав —,, ЛТ=ав' " 1, (4.4г 1Ги, Уг 402 ПРНЛОНП'НИЯ К ПРОБЛРМАМ АСТРОФИЗИКИ (! () — уравнениям теории излучения: Зл,2 Р 39 — В Т = — —, н — = 4лг'1ж*.
Нг 4лги Ыг (4. 9) Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью решенвя видя (4.2), если источники энергии концентрируются в центре зисзды: е* =- О при г) О, н если для коэффициента поглощения верна фориула вида л, = Вр" (ВТ)", (4Л 0) юю о, ш н  — постояннь1е. Легко проверить, что размерность ш~ги 1яииой В дается формулой )В) = М'аию(.("'ию ии1чи '. 11з уравнений (4.9) получаем 9 = 1), = сопзь и л, = — —,,"", — ', — (ВТ)', (4.11) Сравнение (4.10) и (4.11) при использовании формул (4.2) дает, что уравнения излучения удовлетворяются, если будут выполнены СОО П4ОШЕИИЯ й (2и + 2Р— 6) + з (2п — 9) + бш + 2Р = 0 (4.12) и 32л а~ и + А + 1 пд.
ыю 2 г (4,13 а, 14, 3) — и.-г Уравнение (4.12) дает связь между )г, и, ш и ш На основании (4.6), (4.7), (г4г8), (4,12) н (4.13) коэффициенты а, а,, аз и а, выражаются через В, 2р, р, а, (, и~ и ш 1(осле подстановки этих выражений в (4.2) найдем точное решение полной системы урав- непгийг равновесия газа (11), представляемое формулами ! (3 — ю — и) ((Зи + и)(и — ю — 6114 ~ ~ВЗи ) з — ю 16л(2ю+ 3) ( (3 — ю — и)изл)4! ) ги-зи — '1"' ')' М=4л, ' ',, х ю+и — 313 — ю — и Зю + и )16л (2ю + 3) Х (Зю + и) (г — ю — 6] (3 — ю — и)4 2ла) (4.14) (3 — ю — и) 14~ 4 ~ (Зю + и) (и — ю — 6) Р -Г 16л (2ю + 3) (3 — ю — и)и 2гп ВТ = (3 — ю — Ю ( (Зю+ и)(и — ю — 6))юы ъи'ги (7х:й: гъгГ~ Зяби ) з — ю — и июги 5ж г — и и ЗЯЗ„~ 3 — ю — и г игю-и 1 ЗВ2„) .
—— „З~аи ( 5 43 Решения систвмы РРлзт!вниИ РАВновксия чввзп 4бз В построенном таким образом точном решении задачи о равновесии гравитирующей по закону Ньютона массы газа законы изменения р, р и ВТ по радиусу определены полностью через показатели го и о в формуле для коэффициента поглощения и через произведение постоянной У), входящей в закон для коэффициента поглощения, и мощности источника излучения 2с, находящегося в центре симметрии. В полученном решении (4.14) не фигурирует постоянная а; это объясняется тем, что постоянные ат и а входят только з комбинации т - — 3 ага которая в силу уравнений равновесия в рассматриваемой задаче выражается через произведение ЛВо. Степенная зависимость от ВВо получена в явном ниде через показатели гв и ш Репшние (4Л4) позволяет оценить влияние законов для коэффициента поглощения я на равновесие газов с источником излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
