Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 69
Текст из файла (страница 69)
пря полной коннвацвн для всех элементов р блкако к двум, только лля водорода /в = 0,3 к для гелия р = 1,33, где р — плотность, п — радиальная скорость частиц газа, г— расстояние до центра симметрии и / — времн. При равновесии— покое — это уравнение удовлетворяется тождественно. При огромных линейных и скоростных масштабах движений газовых масс пренебрежение вязкостью газа вполне законно, поэтому уравнение импульсов с учетом гравитационных сил мы напишем в предположении, что газ не вязкий — идеальный: дв ди 1 др /„// — +и — + — — + — '=О, дг дг р дг гт (2.2) где / = 6,670 10 з смв/г сея' — гравитационная постоянная, р— полное давление, равное сумме молекулярного и светового давлений, М (г, /) — масса газа внутри сферы рассматриваемого радиуса г.
Как известно, при наличии сферической симметрии действие всех масс на точечную массу на расстоянии г от центра симметрии равно силе притяжения материальной точки, помещенной в центре симметрии и имеющей массу, равную М (г, /). Для определения // (г, /) имеем уравнение 390 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ [гл. чг Световое давление сравнимо с молекулярным только при очень больших температурах или только при чрезвычайно малых плотностях. Поэтому при изучении строения и внутренних движений газа в звездах световым давлением обычно можно пренебречь по сравнению с молекулярным давлением, что равносильно замене уравнения (2.4) уравнением Клапейрона Крт р = )е Вместо уравнения сохранения энергии воспользуемся следствием этого уравнения и теоремы тггивых сил — уравнением притока топла, которое в общем случае имеет вид оо о.4О) 49 "~ (2.5) где Š— внутренняя энергия частицы без внутренней потен- циальной гравитационной энергии, г(Ась — работа в единицу времени сил внутренних напряжений (сюда не входит работа внутренних гравитационных сил ')), еф'Чегг — внешпггй приток тепла в единицу времени.
В силу предположопий, сделанных выше, уравнение притока тепла можно написать в виде 4т с,— +р — — =. е, "'4Е ж р (2.5') где с„— теплоемкость единицы массы газа прп постоянном объеме, зависящая от химического состава вещества, е — полная энергия, выделяющаяся в единице массы газа в единицу времени. Величина е может бевть отличной от нуля за счет излучения, поглощения, за счет ядерных или химических реакций и за счет теплопроводности. Если звезда-газ находится в равновесии, то общий баланс энергии сводится к уравнению е=- О. Так как звезда излучает энергию в окружающее пространство, то при равновесии внутри звезды должны быть источники энергии.
Исследование равновесия звезд при разлнш~ых законах распределен%я источников энергии показывает, что распределение давления и плотности внутри звезды и, в частности, пх значения в центре звезды зависят слабо от закона распределения источников энергии. Расчеты показывагот, что если принять распределение источников равномерным по всей массе звезды или принять, что то же количество энергии выделяется в одной точке — н центре звезды, то характеристики состояния получаются близкими. К этому можно еще добавить, что количество выделенной энергии т) Работа внутрепннх гравптацнонных снл н прнращенне внутренней гравптацнонной энергии сокращаются в левой часта уравнения (2.5).
ОВ УРАВНЕНИЯХ РАВНОВЕСИЯ П ДВИЖЕНИЯ 29! за счет физико-химических процессов очень чувствительно зависит от температуры. В центре звезды температура наибольшая, поэтому в ряде случаев можно принимать, что основная часть энергии выделяется вблизи центра звезды. Как показывают расчеты, это положение должно хорошо оиравдываться в действительности '). Поэтому в дальнейшем иногда мы будем пользоваться схемами, в которых принято, что энергия может выделяться только в центре звезды. В настоящее время общепринята и научно обоснована точка зрения, согласно которой продолжительное расходование звездами энергии на излучение происходит либо за счет гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии звезды (см.
стр. 205, уравнение (3.13)), либо за счет ядерных реакций внутри звезды. Р>озможные типы ядерных реакций чувствительным образом зависят от температур и от наличия «горючего». На основании физических соображений и данных о химическом составе звезд установлено, что основным типом ядерных реакций является превращение ядер водорода в ядра гелия. Расчеты показывают, что для звезд типа Солнца можно объяснить баланс притока и расхода энергии за время существования звезды за счет ядерных реаиций, обусловленных сгоранием водорода. При этой реакции масса звезды изменяется очень мало, всего на 0,007 первоначальной массы, хотя каяи1ую секунду Солнце излучает энергию, которая по формуле 7» — — тс» (с — скорость света) равна 4 миллионам тонн, и этот процесс продолжается уже по крайней мере 5 — 6 миллиардов лет.
Энергия ыоясет передаваться излучением от центра к периферии звезды; в этом процессе благодаря поглощению и собственному излучению может меняться распределение энергии по спектру частот, но при равновесниизлучаемая, поглощаемая и передаваемая теплопроводпостью ') энергия дает общий баланс, равный нулю. Дальше мы в качестве прнбли>кенного условия примем, что и при нестационарных процессах такое положение сохраняется, иначе говоря, мы будем рассматривать адиабатические движения газа а) (з =- О), т)См.
АмбарцумянВ,А., МустеяьЭ.Р., Северный А. Б., С о б о а с а В. Б., Теоретическая астрофизика. М., Ростехиадат, 1952; см, также С Ь а в б г а в е Ь Ь а г 8., Аи !всгойесцов о! 1Ье 8!в>)у о1 Все!!ег 81гвссяге. СЬ!сазе, !'и!т. СЬ!садо Ргеав, 1939 (русский перевод: Ч а яд р а с с к а р С., Введоиис в учение о строении звезд.
М., ИЛ, 1950). а) Эиерш>я, передаваемая тепяопроводиостью, мала по сравиеиию с аиергией, передаваемой иалучеяием. е) С другой стороны, для некоторых бурных процессов с наличием больпшх выделений энергии и очень больших температур можно примепять постановки задач, в которых имеется интенсивный лучистый и другой теплообмеи, и вследствие атого в возмущенном соле скоростей можно посчитать температуру одинаковой, ио оиа может изменяться во времеви (см. постановки задач о взрыве иа стр 268 — 269), 992 приложения к пРОБлемАм АстРОФизики [га. тт Нетрудно показать,что общая энергия, излучаемая цефеидами за периоды изменения их блеска, мала по сравнению с общим запасом гравитационной и внутренней тепловой энергий всей звезды. Этим можно объяснить также слабое влияние законов распределения источников звездной энергии на распределение плотности и давления в звездных недрах для обычных звезд и для цефеид.
Поэтому мы можем допустить, что в неустановившихся движениях звезды в целом энергия, выделяемая в центре и излучаемая во внешнее пространство за время периода колебания, не играет существенной роли. При рассмотрепви неустановвв|пихся движений в качестве последнего допущения мы примем, что молекулярный вес )г и коэффициент теплопроводности с„постоянны во всей массе звезды. Из сделанных выше предположений следует, что для описания неустановившихся движений газовых моделей звезд мы можем пользоваться следующей системой уравнений: — + — + — =О, др дри 2ри д~ дг г дг дг $ др, 1Я вЂ” г-и — + — — — , '— ', =О, д1 ' дг р дг ' гз д.Я вЂ” — 4пг'р =- О дг д— Р д— р рт рт — +Р дг дг =О, где у = ср/с, — постоянная Пуассона, Последнее из уравнений (1) следует непосредственно из уравнений (2.4') и (2.5'), когда е = О.
Система (1) состоит из четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями р, и, р, .И. Если у ~= ср/с„и у = сопз1, то уравнения (1) определяют движение газа при политропическом процессе. В случае равновесия уравнения (1) упрощаются и сводятся к одному уравнению — — + —,1 гэра = О, др Ал( г р дг г' о содержащему две неизвестные функции р и р.
Для отыскания распределения температур необходимо опереться на данные о распределении внутри звезды источников энергии и на уравне- ния теории переноса лучистой энергии. При наличии сферической симметрии и термодинамической обратимости явления система уравнений, описыва|ощих распреде- ление характеристик состояния внутри звезды прк равновесии, о М ов уРАВнениях РАВноВесия и ДВижения 393 мояоет быть взята в следующем виде '): — — + — '.
= О, .Ф = бя~,торг(г, ар )..гг г р е'г го г Кот Я,рр яво р = — + —.Т, Врт и 3 — =- бяг ре 2 о аг к, =-— ое гр 3 Олго ' где и — коэффициент поглощения, с — скорость света, е* — интенсивность источников энергии, выделяемой единицей массы звездного вещества в единицу времени, 2 (г) — поток энергии через сферу радиуса г, Для получения решений уравнений равновесия (11) можно взять в качестве независимой переменной массу оо и воспользоваться следующими краевыми условиями: в центре звезды при оо = О Е = Ео, (2.6) на поверхности звезды при,оо = % р = О и Т = О, (2.6') р= Р(р, Т),к,= — м,(р, Т)ие* =э*(р, Т), (2.7) то система уравнений (11) и краевые условия (2.6) и (2.6') пол- ностью определяют решение, которое имеет вид Р = Р (он бй -"о ао аю )»'= Т('~~,бй, Оо, аг ао. ) ) (26) где ан ао...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
