Стентон Гланц - Медико-биологическая статистика (1034784), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Числа в них заметнобольше чисел в других клетках таблицы. Это наводит на мысль освязи между приемом аспирина и риском тромбоза.Теперь взглянем на табл. 5.2. Это таблица ожидаемых чисел,которые мы получили бы, если бы аспирин не влиял на риск тромбоза. Как рассчитать ожидаемые числа, мы разберем чуть ниже, апока обратим внимание на внешние особенности таблицы. Кроме немного пугающих дробных чисел в клетках можно заметитьеще одно отличие от табл. 5.1 — это суммарные данные по группам в правом столбце и по тромбозам — в нижней строке. В правом нижнем углу — общее число больных в испытании.
Об-140ГЛАВА 5Таблица 5.1. Тромбозы шунта при приеме плацебо и аспиринаТромбоз естьТромбоза нетПлацебо187Аспирин613ратите внимание, что, хотя числа в клетках на рис. 5.1 и 5.2 разные, суммы по строкам и по столбцам одинаковы.Как же рассчитать ожидаемые числа? Плацебо получали 25человек, аспирин — 19. Тромбоз шунта произошел у 24 из 44обследованных, то есть в 54,55% случаев не произошел — у 20из 44, то есть в 45,45% случаев. Примем нулевую гипотезу отом, что аспирин не влияет на риск тромбоза.
Тогда тромбоздолжен с равной частотой 54,55% наблюдаться в группах плацебо и аспирина. Рассчитав, сколько составляет 54,55% от 25 и19, получим соответственно 13,64 и 10,36. Это и есть ожидаемые числа больных с тромбозом в группах плацебо и аспирина.Таким же образом можно получить ожидаемые числа больныхбез тромбоза в группе плацебо — 45,45% от 25, то есть 11,36 вгруппе аспирина — 45,45% от 19, то есть 8,64. Обратите внимание, что ожидаемые числа рассчитываются до второго знакапосле запятой — такая точность понадобится при дальнейшихвычислениях.Сравним табл.
5.1 и 5.2. Числа в клетках довольно сильноразличаются. Следовательно, реальная картина отличается оттой, которая наблюдалась бы, если бы аспирин не оказывал влияния на риск тромбоза. Теперь осталось построить критерий,который бы характеризовал эти различия одним числом, и затем найти его критическое значение, — то есть поступить, таккак в случае критериев F, t или z.Однако сначала вспомним еще один уже знакомый нам приТаблица 5.2. Тромбозы шунта при приеме плацебо и аспирина:ожидаемые числаТромбоз естьТромбоза нетВсегоПлацебо13,6411,3625Аспирин 10,368,6419Всего242044АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ141Таблица 5.3.
Операционная летальность при галотановой и морфиновой анестезииЖивыУмерлиВсегоГалотан53861Морфин571067Всего11018128мер — работу Конахана по сравнению галотана и морфина, аименно ту часть, где сравнивалась операционная летальность.Соответствующие данные приведены в табл. 5.3. Форма таблицы такая же, что и табл.
5.1. В свою очередь табл. 5.4 подобнотабл. 5.2 содержит ожидаемые числа, то есть числа, вычисленные исходя из предположения, что летальность не зависит отанестетика. Из всех 128 оперированных в живых осталось 110,то есть 85,94%. Если бы выбор анестезии не оказывал влиянияна летальность то в обеих группах доля выживших была бы такой же и число выживших составило бы в группе галотана —85,94% от 61, то есть 52,42 в группе морфина — 85,94% от 67,то есть 57,58. Таким же образом можно получить и ожидаемыечисла умерших.
Сравним таблицы 5.3 и 5.4. В отличие от предыдущего примера, различия между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями очень малы. Как мы выяснили раньше, различий в летальности нет. Похоже мы на правильном пути.Критерии χ2 для таблицы 2×2Критерий χ2 (читается «хи-квадрат») не требует никаких предположений относительно параметров совокупности, из которойизвлечены выборки, — это первый из непараметрических критериев, с которым мы знакомимся. Займемся его построением.Во-первых, как и всегда, критерий должен давать одно число,Таблица. 5.4. Операционная летальность при галотановой иморфиновой анестезии: ожидаемые числаГалотанМорфинВсегоЖивы52,4257,58110Умерли8,589,4218Всего6167128142ГЛАВА 5которое служило бы мерой отличия наблюдаемых данных отожидаемых, то есть в данном случае различия между таблицейнаблюдаемых и ожидаемых чисел. Во-вторых критерий долженучитывать, что различие, скажем, в одного больного имеет большее значение при малом ожидаемом числе, чем при большом.Определим критерий χ2 следующим образом:χ2 =∑(O − E )2E,где О — наблюдаемое число в клетке таблицы сопряженности,Е — ожидаемое число в той же клетке.
Суммирование проводится по всем клеткам таблицы. Как видно из формулы, чембольше разница наблюдаемого и ожидаемого числа, тем больший вклад вносит клетка в величину χ2. При этом клетки с малым ожидаемым числом вносят больший вклад. Таким образом, критерий удовлетворяет обоим требованиям — во-первых,измеряет различия и, во-вторых, учитывает их величину относительно ожидаемых чисел.Применим критерии χ2 к данным по тромбозам шунта. В табл.5.1 приведены наблюдаемые числа, а в табл.
5.2 — ожидаемые.χ =∑2(O − E)2=E(18 − 13, 64)2 (7 − 11, 36)2 (6 − 10, 36)2 (13 − 8, 64)2=+++= 7,10.13, 6411, 3610, 368, 64Много это или мало? Испытаем наш новый критерий на данных по галотановой и морфиновой анестезии (табл. 5.3 и 5.4):χ2 =(53 − 52, 42)2 (8 − 8, 58)2 (57 − 57, 58)2 (10 − 9, 42)252, 42+8, 58+57, 58+9, 42= 0, 09.Разница найденных значений χ2 довольно велика: 7,10 в первом случае и 0,09 во втором, что соответствует тем впечатлениям, которые мы получили, сравнивая табл. 5.1 с 5.2 и 5.3 с 5.4. Впервом случае мы получили «большое» значение χ2, «большим» бы-АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ143Рис.
5.7. Распределение χ2 с 1 степенью свободы. Заштрихованная зона — это 5% наибольших значений.ло и значение z, полученное по тем же данным. Можно показать, что для таблиц сопряженности размером 2×2 выполняется равенство χ2 = z2.Критическое значение χ2 можно найти хорошо знакомымнам способом.
На рис. 5.7 показано распределение возможныхзначений χ2 для таблиц сопряженности размером 2×2 для случая, когда между изучаемыми признаками нет никакой связи.Величина χ2 превышает 3,84 только в 5% случаев. Таким образом, 3,84 — критическое значение для 5% уровня значимости.В примере с тромбозом шунта мы получили значение 7,10, поэтому мы отклоняем гипотезу об отсутствии связи между приемом аспирина и образованием тромбов. Напротив, данные изтабл.
5.3 хорошо согласуются с гипотезой об одинаковом влиянии галотана и морфина на послеоперационный уровень смертности.144ГЛАВА 5Разумеется, как и все критерии значимости, χ2 даёт вероятностную оценку истинности той или иной гипотезы. На самомделе аспирин может и не оказывать влияния на риск тромбоза.На самом деле галотан и морфин могут по-разному влиять наоперационную летальность.
Но, как показал критерий, и то идругое маловероятно.Применение критерия χ2 правомерно, если ожидаемое число в любой из клеток больше или равно 5*. Это условие аналогично условию применимости критерия z.Критическое значение χ2 зависит от размеров таблицы сопряженности, то есть от числа сравниваемых методов лечения(строк таблицы) и числа возможных исходов (столбцов таблицы). Размер таблицы выражается числом степеней свободы ν:ν = (r – 1)(c – 1),где r — число строк, а с — число столбцов. Для таблиц размером 2×2 имеем ν = (2 – l)(2 – l) = l. Критические значения χ2 дляразных ν приведены в табл.
5.7.Приведенная ранее формула для χ2 в случае таблицы 2×2 (тоесть при 1 степени свободы) дает несколько завышенные значения (сходная ситуация была с критерием z). Это вызвано тем,что теоретическое распределение χ2 непрерывно, тогда как набор вычисленных значений χ2 дискретен. На практике это приведет к тому, что нулевая гипотеза будет отвергаться слишкомчасто. Чтобы компенсировать этот эффект, в формулу вводятпоправку Йеитса: O − E − 12χ2 = ∑ .EЗаметим, поправка Йеитса применяется только при ν = 1, тоесть для таблиц 2×2.Применим поправку Йеитса к изучению связи между приемом аспирина и тромбозами шунта (табл.
5.1 и 5.2):* В противном случае мы вынуждены использовать точный критерийФишера.АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ145 18 − 13, 64 − 1 7 − 11, 36 − 1 2 + 2 +χ2 = 13, 6411, 36 6 − 10, 36 − 1 13 − 8, 64 − 1 2 2 5 57+= , .10, 368, 64Как вы помните, без поправки Йеитса значение χ2 равнялось7,10. Исправленное значение χ2 оказалось меньше 6,635 — критического значения для 1% уровня значимости, но по-прежнему превосходит 5,024 — критическое значение для 2,5% уровнязначимости.Критерий χ2 для произвольной таблицы сопряженностиТеперь рассмотрим случай, когда таблица сопряженности имеет число строк или столбцов, большее двух.
Обратите внимание, что критерий z в таких случаях неприменим.В гл. 3 мы показали, что занятия бегом уменьшают числоменструаций*. Побуждают ли эти изменения обращаться к врачу? В табл. 5.5 приведены результаты опроса участниц исследования. Подтверждают ли эти данные гипотезу о том, что занятия бегом не влияют на вероятность обращения к врачу поповоду нерегулярности менструации?Из 165 обследованных женщин 69 (то есть 42%) обратилиськ врачу, остальные 96 (то есть 58%) к врачу не обращались.
ЕслиТаблица 5.5. Частота обращения к врачу по поводу менструацийГруппаОбращалисьКонтрольная14Физкультурницы9Спортсменки46Всего69*Не обращались Всего40541423424896165При этом мы для простоты вычислений размеры всех трех групп — контрольной, физкультурниц и спортсменок — полагали одинаковыми. Теперьмы воспользуемся настоящими данными.146ГЛАВА 5Таблица 5.6. Частота обращения к врачу по поводу менструаций:ожидаемые числаГруппаОбращалисьНе обращались ВсегоКонтрольная22,5831,4854Физкультурницы 9,6213,3823Спортсменки36,8051,2088Всего6996165занятия бегом не влияют на вероятность обращения к врачу, тов каждой из групп к врачу должно было обратиться 42% женщин.
В табл. 5.6 приведены соответствующие ожидаемые значения. Сильно ли отличаются от них реальные данные?Для ответа на этот вопрос вычислим χ2:χ2 ==(14 − 22, 58 )222, 58(14 − 13, 38 )213, 38++( 40 − 31, 42 )231, 42( 46 − 36, 80 )236, 80++(9 − 9, 62 )29, 62+( 42 − 51, 20 )251, 20= 9, 63.Число строк таблицы сопряженности равно трем, столбцов —двум, поэтому число степеней свободы ν = (3 – 1)(2 – 1) = 2. Еслигипотеза об отсутствии межгрупповых различий верна, то, каквидно из табл. 5.7 значение χ2 превзойдет 9,21 не более чем в1% случаев. Полученное значение больше. Тем самым, при уровне значимости 0,01 можно отклонить гипотезу об отсутствиисвязи между бегом и обращениями к врачу по поводу менструации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
