Стентон Гланц - Медико-биологическая статистика (1034784), страница 15
Текст из файла (страница 15)
6.t=КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА*Хотя критерий Стьюдента является просто вариантом дисперсионного анализа, этот факт осознается очень немногими. Покажем, что в случае двух групп справедливо равенство F = t2.Рассмотрим две выборки равного объема n и со средними X 1и X 2 и стандартными отклонениями s1 и s2.Как вы помните, отношение F есть отношение двух оценокдисперсии. Первая, внутригрупповая оценка есть среднее выборочных дисперсий:*Этот раздел посвящен сугубо математической стороне дела, и его можнопропустить без ущерба для понимания дальнейшего изложения.100ГЛАВА 41 2s1 + s22 ).(2Вторая межгрупповая оценка вычисляется по выборочнымсредним:2sвну=sX =(X− X ) + (X2 − X )2122 −1,следовательно,s X2 = ( X 1 − X ) + ( X 2 − X ) ,22где X — среднее двух выборочных средних:1X = ( X 1 + X 2 ).2Исключим X из формулы для s X2 :2211 s X2 = X 1 − ( X 1 + X 2 ) + X 2 − ( X 1 + X 2 ) =22 2211 1 1= X1 − X 2 + X 2 − X1 .2 22 2Если разность возводится в квадрат все равно, что из чеговычитать (а – b)2 = (b – а)2.
Поэтому22111 1s X2 = X 1 − X 2 + X 1 − X 2 =2222 2211= 2 ( X 1 − X 2 ) = ( X 1 − X 2 ) .22Таким образом, межгрупповая оценка дисперсии2sмеж= ns X2 =2nX1 − X 2 ) .(2F есть отношение межгрупповой оценки к внутригрупповойи равноСРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА1012n2X1 − X 2 )2(XX−()sмеж12F= 2 =2==1 2s12 s22sвнуs1 + s22 )(+2n n2X − X2 .= 1 s2 s2 12+ n n Но величина в скобках есть не что иное, как t. Тем самым,F = t2.Межгрупповое число степеней свободы в F равно числу группминус единица, то есть 2 – 1 = 1.
Внутригрупповое число степеней свободы равно произведению числа групп на число равноечисленности каждой группы минус единица, то есть 2(n – 1).Но это как раз число степеней свободы в критерии Стьюдента.Таким образом, можно сказать, что в случае сравнения двухгрупп критерии Стьюдента и дисперсионный анализ — варианты одного критерия. Конечно, если групп больше двух дисперсионный анализ в форме критерия Стьюдента неприменим инужно воспользоваться общим вариантом дисперсионного анализа изложенным в гл. 3.ОШИБКИ В ИСПОЛЬЗОВАНИИ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТАКритерий Стьюдента предназначен для сравнения двух групп.Однако на практике он широко (и неправильно — см.
рис. 4.1)используется для оценки различии большего числа групп посредством попарного их сравнения. При этом вступает в силуэффект множественных сравнений который нам еще неоднократно встретится в разнообразных обличиях.Рассмотрим пример. Исследуют влияние препаратов А и Б науровень глюкозы плазмы. Исследование проводят на трех группах — получавших препарат А, получавших препарат Б и получавших плацебо В. С помощью критерия Стьюдента проводят102ГЛАВА 43 парных сравнения: группу А сравнивают с группой В, группу Б — с группой В и наконец А с Б.
Получив достаточно высокое значение t в каком либо из трех сравнении сообщают что«P < 0,05». Это означает, что вероятность ошибочного заключения о существовании различии не превышает 5%. Но этоневерно: вероятность ошибки значительно превышает 5%.Разберемся подробнее. В исследовании был принят 5% уровень значимости. Значит вероятность ошибиться при сравнениигрупп А и В — 5%.
Казалось бы все правильно. Но точно такжемы ошибемся в 5% случаев при сравнении групп Б и В. И наконец при сравнении групп А и Б ошибка возможна также в 5%случаев. Следовательно, вероятность ошибиться хотя бы в одном из трех сравнении составит не 5%, а значительно больше. Вобщем случае эта вероятность равнаP′ = 1 − (1 − 0,05 ) ,kгде k — число сравнений.При небольшом числе сравнений можно использовать приближенную формулуP′ = 0, 05k ,то есть вероятность ошибиться хотя бы в одном из сравненийпримерно равна вероятности ошибиться в одном, помноженнойна число сравнений.Итак, в нашем исследовании вероятность ошибиться хотя быв одном из сравнений составляет примерно 15%.
При сравнениичетырех групп число пар и соответственно возможных попарныхсравнений равно 6. Поэтому при уровне значимости в каждом изсравнении 0,05 вероятность ошибочно обнаружить различие хотябы в одном равна уже не 0,05, а примерно 6 × 0,05 = 0,30. И когдаисследователь, выявив таким способом «эффективный» препарат будет говорить про 5% вероятность ошибки, на самом делеэта вероятность равна 30%.Вернемся на минуту к нашим марсианам. Рассматривая в гл.2 случайные выборки из населения этой планеты мы убедились,что у разных выборок из одной совокупности могут быть заметно разные средние значения и стандартные отклонения —СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА103взять хоть три случайные выборки на рис.
2.6. Представим себечто это — результаты исследования влияния гормонов человекана рост марсиан. Одной группе дали тестостерон другой — эстрадиол, а третьей — плацебо. Как известно гормоны человекане оказывают на марсиан никакого действия, поэтому три экспериментальные группы — это просто три случайные выборкииз одной совокупности как мы это и знали с самого начала. Чтохорошо известно нам то неизвестно исследователям. На рис.
4.6результаты исследования представлены в виде принятом в медицинских публикациях. Столбиками изображены выборочныесредние. Вертикальные черточки задают интервалы в плюс-минус одну стандартную ошибку среднего. Засучив рукава нашиисследователи приступают к попарному сравнению групп с помощью критерия Стьюдента и получают такие значения t плацебо—тестостерон — 2,39, плацебо—эстрадиол — 0,93 и тестостерон—эстрадиол — 1,34. Так как в каждом сравнении участвуют 2 группы по 10 марсиан в каждой число степеней свободы равно 2(10 – 1) = 18.
По таблице 4.1 находим, что при 5%уровне значимости критическое значение t равно 2,101. Такимобразом, пришлось бы заключить что марсиане, получавшиетестостерон стали меньше ростом чем марсиане, получавшиеплацебо, в то время как эстрадиол по влиянию на рост существенно не отличается от плацебо, а тестостерон от эстрадиола.Задумайтесь над этим результатом.
Что в нем не так?Если тестостерон дал результаты не отличающиеся от эстрадиола, а эстрадиол действует неотличимо от плацебо то как тестостерон оказался отличным от плацебо? Столь странный вывод обычно не смущает исследователей, а лишь вдохновляет ихна создание изощренного «Обсуждения».Дисперсионный анализ приведенных данных дает значениеF = 2,74. Число степеней свободы νмеж = m – 1 = 3 – 1 = 2 и νвну =m (n – 1) = 3 (10 – 1) = 27. Критическое значение F для 5% уровнязначимости равно 3,35, то есть превышает полученное нами.Итак, дисперсионный анализ говорит об отсутствии различиймежду группами.В заключение приведем три правила:• Критерий Стьюдента может быть использован для проверкигипотезы о различии средних только для двух групп.104ГЛАВА 445Рост, см40353025ПлацебоТестостеронЭстрадиолРис.
4.6. Влияние гормонов человека на рост марсиан. Именно в таком виде результатыисследования увидели бы свет в каком-нибудь медицинском журнале. Высота столбиков соответствует средним, вертикальная черта на верхушке у каждого столбика соответствует интервалу плюс-минус одна стандартная ошибка среднего (а не стандартноеотклонение).• Если схема эксперимента предполагает большее число групп,воспользуйтесь дисперсионным анализом.• Если критерии Стьюдента был использован для проверки различий между несколькими группами, то истинный уровеньзначимости можно получить, умножив уровень значимости,приводимый авторами на число возможных сравнений.КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ МНОЖЕСТВЕННЫХСРАВНЕНИЙТолько что мы познакомились со злостным вредителем научных исследований — эффектом множественных сравнений. Онсостоит в том, что при многократном применении критерия вероятность ошибочно найти различия там, где их нет возрастает.Если исследуемых групп больше двух, то следует воспользоваться дисперсионным анализом.
Однако дисперсионный ана-СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА105лиз позволяет проверить лишь гипотезу о равенстве всех средних. Но если гипотеза не подтверждается, нельзя узнать какаяименно группа отличается от других.Это позволяют сделать методы множественного сравнения.Все они основаны на критерии Стьюдента, но учитывают, чтосравнивается более одной пары средних. Сразу поясним, когдана наш взгляд следует использовать эти методы. Наш подходсостоит в том, чтобы в первую очередь с помощью дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о равенстве всех средних, а уже затем если нулевая гипотеза отвергнута выделитьсреди них отличные от остальных, используя для этого методымножественного сравнения*.
Простейший из методов множественного сравнения — введение поправки Бонферрони.Как было показано в предыдущем разделе при трехкратномприменении критерия Стьюдента, с 5% уровнем значимости, вероятность обнаружить различия там, где их нет, составляет не5%, а почти 3 × 5 = 15%. Этот результат является частным случаем неравенства Бонферрони, если k раз применить критериис уровнем значимости α, то вероятность хотя бы в одном случаенайти различие там, где его нет не превышает произведения kна α. Неравенство Бонферрони выглядит так:α ′ < kα ,где α′ — вероятность хотя бы один раз ошибочно выявить различия.Можно сказать, что α′ собственно и является истинным уровнем значимости многократно примененного критерия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
