Лекция 12_ (1032391)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

В процессе изучения курса мы изучали методы нахождения различий между группами медико-биологических данных, но не определяли величину этих различий. Мы проверяли нулевую гипотезу об отсутствии различий. Если вероятность получить наблюдаемые различия при условии, что нулевая гипотеза верна, была мала, то нулевую гипотезу отвергали и делали вывод о наличии статистически значимых различий. Мы всегда получали качественный результат: отклоняли или принимали нулевую гипотезу (признавали или не признавали различия статистически значимыми). Таким образом, мы не делали количественной оценки. Однако, как мы выяснили во время изучения предыдущего раздела, вероятность выявления различий зависит не только от их величины, но и от численности групп. Малые различия могут оказаться статистически значимыми при большой численности групп.

Характеристикой, которая дополняет и даже заменяет качественное суждение (значимо - незначимо), является доверительный интервал. Смысл доверительного интервала ясен: мы не знаем точно, чему равна некоторая величина, но можем указать интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. В этой части курса мы научимся определять доверительные интервалы для разных величин, в том числе для разности средних (величины эффекта) и доли, а также покажем, что доверительный интервал можно использовать вместо обычных критериев значимости.

7.1.Доверительный интервал для разности средних

Ранее мы определяли значение критерия Стьюдента t как отношение разности выборочных средних к стандартной ошибке разности выборочных средних.

Для случайных выборок, извлеченных из одной совокупности, распределение всех возможных значений t (распределение Стьюдента)' симметрично относительно среднего, равного нулю. Если же выборки извлечены из двух совокупностей с разными средними, то распределение всех возможных значений t будет иметь среднее, отличное от нуля.

Формулу для t можно видоизменить так, чтобы распределение t всегда было симметрично относительно нуля:

Если обе выборки извлечены из одной совокупности, то разность истинных средних равна нулю и новая формула совпадает с предыдущей.

Истинных средних (средних по совокупности) мы не знаем. Поэтому вычислить значение t по приведенной выше формуле мы не можем. Но эта формула позволяет оценить разность , т.е. истинную величину различий. Для этого вместо вычисления t заменим его критическим значением, и подставив в формулу, вычислим величину

По определению процентов всех возможных значений t попадает в интервал . Остальные 100(1- ) процентов значений t попадают в интервал (-t_a/2,+t_a/2}. Значит, в 100(1- ) процентов всех случаев

Преобразовав это неравенство, получим

Таким образом, разность истинных средних отличается от разности выборочных средних менее чем на произведение t_a/2 и стандартной ошибки разности выборочных средних. Это неравенство задает доверительный интервал для разности средних . В этот интервал разность истинных средних попадает в 100(1- )% случаев. 100(1- )% доверительный интервал может и не содержать истинного значения (в % случаев).

Только что рассмотренный нами способ определения доверительного интервала, как и критерий Стьюдента, на котором он основан, можно применять только тогда, когда совокупность имеет хотя бы приближенно нормальное распределение.

Доверительные интервалы можно использовать для оценки статистической значимости различий. Что не вызывает удивления, так как нахождение доверительного интервала имеет общую базу с традиционными методами проверки гипотез. И тут и там нам встречается разность выборочных средних, ее стандартная ошибка и распределение Стьюдента.

Истинная разность средних может находиться в любой точке доверительного интервала, поэтому если доверительный интервал содержит ноль, то мы не можем отвергнуть возможность того, что , то есть нулевую гипотезу. С другой стороны, нахождение истинной разности средних вне доверительного интервала маловероятно. Поэтому, если доверительный интервал не содержит нуля, справедливость нулевой гипотезы о равенстве средних маловероятна. Можно сформулировать следующее правило.

Если l00 (l- ) - процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы (Р < ); напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы (Р > ).

Например, пусть опять из генеральной совокупности извлекли 50 выборок объемом п=10, и из пятидесяти определенных 95% доверительных интервалов двадцать три содержат ноль. Следовательно, 23/50 = 44% соответствующих выборок не дают оснований говорить о статистически значимых различиях (то есть о наличии эффекта) при уровне значимости 1-0,95 =0,05. Если бы в нашем распоряжении были все возможные доверительные интервалы, мы увидели бы, что 45% из них содержат ноль. Это значит, что в 45% случаев мы не сможем отвергнуть гипотезу об отсутствии эффекта, т.е. совершим ошибку II рода. Следовательно, как и прежде, р=0,45, а чувствительность критерия равна 1 - 0,45 = 0,55.

Если на основании полученных результатов мы говорим о «статистически значимых различиях», то всегда полезно привести еще и доверительный интервал - это даст возможность судить о величине эффекта. Если статистическая значимость обнаружена благодаря большому объему выборки, а не величине эффекта, доверительный интервал укажет на это. Другими словами, использование доверительных интервалов позволяет среди статистически значимых эффектов выделить те, которые сами по себе слишком слабы, чтобы иметь клиническое значение.

Предположим, что нам необходимо оценить эффективность гипотензивного препарата. У нас имеются две группы по 100 человек. Одна из них контрольная, которой мы даем плацебо, вторая - экспериментальная, которой даем препарат. Пусть в экспериментальной группе диастолическое давление составило в среднем =81 мм. рт. ст. ( =ll мм. рт. ст), а в контрольной - = 85 мм. рт. ст. (s_K=9 мм. рт. ст). Воспользуемся критерием Стьюдента для оценки статистической значимости различий. Объединенная оценка дисперсии составляет s² , откуда t=-2,83. Это значение по абсолютной величине больше критического значения t_0,01, =2,60 для уровня значимости =0,01 и числа степеней свободы v=2(n-l)=198. Таким образом, снижение диастолического артериального давления статистически значимо (P<0,01)

Теперь посмотрим, какова клиническая значимость эффекта. 95% доверительный интервал для разности средних имеет вид 6,8< <-1,2

Таким образом, с вероятностью 95% препарат снижает артериальное давление на 1,2 - 6,8 мм. рт. ст. Этот эффект мал, особенно если сравнивать его со стандартными отклонениями (11 и 9 мм. рт. ст). Можно сделать заключение, что гипотензивный эффект выражен слабо, а его статистическая значимость обусловлена большой численностью групп.

Приведенный пример наглядно показывает, почему при исследовании эффективности того или иного воздействия, необходимо указывать не только уровень значимости, но и величину эффекта (доверительный интервал).

7.2.Доверительный интервал для среднего

Найдем теперь доверительный интервал для среднего. Определив выборочное среднее , мы знаем, что это всего лишь выборочная оценка истинного среднего , которое скорее всего находится где-то поблизости. Эту близость можно определить количественно, т.е. указать доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью 1—а находится истинное среднее. Можно показать,что

также подчиняется распределению Стъюдента.

Дальнейший вывод аналогичен выводу выражения доверительного интервала для разности истинных средних. Итоговое выражение имеет вид

где - критическое значение t для уровня значимости а и числа степеней свободы v=n - 1 (n- объем выборки).

Т.З.Доверительный интервал для разности долей

Изложенные ранее способы вычисления доверительных интервалов нетрудно приспособить для разности долей. Мы определили критерий z как

Величина z имеет приблизительно нормальное распределение. Можно показать, что даже если в совокупностях, из которых извлечены выборки, доли различны, то отношение

приближенно соответствует нормальному распределению, при условии, что объемы выборок достаточно велики.

Если р1 и р2 - истинные доли в каждой из совокупностей, a p_l и р₂ -выборочные оценки этих долей, то

В 100(1- ) процентов случаев z по абсолютной величине не превышает т.е.

После преобразования

7.4.Доверительный интервал для доли

Если объем выборки достаточно большой, то доверительный интервал для доли можно приближенно вычислить, используя нормальное распределение.

Когда выборка мала (что часто бывает в медицинских исследованиях), приближение нормальным распределением недопустимо. В таких случаях приходится вычислять точные значения доверительных интервалов, используя биномиальное распределение. Необходимо отметить, что при оценке долей по выборкам небольшого объема расчет доверительного интервала особенно желателен. Причина заключается в том, что при малом объеме выборки изменение даже у одного из ее членов приведет к резкому изменению долей.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций