tau_dummy (1032031), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) приt = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u (t ) при всех t > 0 дает возможность однозначно определить дальнейшее поведение этого объекта.Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t ) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – малый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния приt = ∆t приближенно определяется формулойx(∆t ) ≈ x(0) + x& (0) ⋅ ∆t = x(0) + [ A ⋅ x(0) + B ⋅ u (0)]⋅ ∆t ,то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t ) и сигнал управления u (∆t ) , находим выходсистемы в тот же моментy (∆t ) ≈ C ⋅ x(∆t ) + D ⋅ u (∆t ) .Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаемx(2 ⋅ ∆t ) ≈ x(∆t ) + x& (∆t ) ⋅ ∆t = x(∆t ) + [ A ⋅ x(∆t ) + B ⋅ u (∆t )]⋅ ∆t ,y (2 ⋅ ∆t ) ≈ C ⋅ x(2 ⋅ ∆t ) + D ⋅ u (2 ⋅ ∆t ) .Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 .
Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится.Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его(как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решениялюбых уравнений вида (15).3.3.
Переходная функцияОдин из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта нанекоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичныйскачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:⎧0, t < 01(t ) = ⎨⎩1, t ≥ 022© К.Ю. Поляков, 2008Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t):h(t)1(t)11(t)h(t)Ut0t0При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, тоесть, имеет нулевые начальные условия.
Это значит, что все его переменные состояния равнынулю и внутренняя энергия также нулевая.Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входенужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состояний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные уравнения.Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка:dy (t )T+ y (t ) = k ⋅ x(t ) ,(16)dtгде k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерностьвремени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена.
Решая уравнение (16) при x(t ) = 1 ( t > 0 ), получаем⎛ t⎞y (t ) = k + C1 ⋅ exp⎜ − ⎟ ,⎝ T⎠где постоянная C1 должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует переходная характеристика, начальные условия считаем нулевыми, то есть y (0) = 0 , что даетC1 = −k и поэтому⎡⎛ t ⎞⎤h(t ) = y (t ) = k ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ .(17)⎝ T ⎠⎦⎣На рисунке показаны переходные характеристики (17) при различных значениях параметра T,который называется постоянной времени звена:yT = 0,5 ckT =1c0123456tВидно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равного k , то есть постоянная времени характеризует инерционность звена (16). Чем больше постоянная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно длятого, чтобы перевести его в новое состояние.Заметим, что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную характеристику можно снять экспериментально.23© К.Ю.
Поляков, 20083.4. Импульсная характеристика (весовая функция)В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например,можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определитьнекоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.а)б)в)г)1δ (t )t00ttt00Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичныйимпульс или дельта-функцию Дирака δ (t ) . Это идеальный (невозможный в реальной жизни)сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0 , где он уходит к бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:∞⎧ ∞, t = 0δ (t ) = ⎨,∫ δ (t ) dt = 1.⎩ 0, t ≠ 0−∞Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрелкой, высота которой равна единице (см.
рисунок г).Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t ) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t , кроме нуля, где онаобращается в бесконечность.Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной характеристикой и обозначается w(t):w(t)δ(t)δ(t)w(t)U00ttИмпульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε , а высота – 1 / ε .
Такой импульс можнопредставить в виде разности двух ступенчатых сигналов1x(t ) = [1(t ) − 1(t − ε )] ,εгде 1(t − ε ) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ε , то есть,смещен по времени на ε (см. рисунок далее).24© К.Ю. Поляков, 2008x(t )11ε1(t − ε )1(t )1εt0 εt0Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равенразности реакций системы на входы 1(t ) и 1(t − ε ) , умноженной на коэффициент 1 / ε . Учитывая, что реакция на сигнал 1(t ) – это переходная функция h(t ) , получаем1y (t ) = [h(t ) − h(t − ε )] .εПереходя к пределу при ε → 0 , наодим, что импульсная характеристикаh(t ) − h(t − ε ) dh(t )w(t ) = lim=,ε →0εdtкак оказывается, равна производной от переходной функции.
Наоборот, переходная функция –это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:th(t ) = ∫ w(τ ) dτ .0Дифференцируя переходную характеристику (17) звена первого порядка, получаем соответствующую импульсную характеристику:d⎛ ⎡⎛ t⎞⎛ t ⎞⎤ ⎞ kw(t ) = ⎜⎜ k ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ ⎟⎟ = exp⎜ − ⎟ .dt ⎝ ⎣⎝ T⎠⎝ T ⎠⎦ ⎠ TДругое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано стем, что для произвольного входного сигнала x(t ) выход системы y (t ) при нулевых начальныхусловиях вычисляется как интегралy (t ) =t∞−∞0∫ x(τ ) w(t − τ ) dτ = ∫ x(t − τ ) w(τ ) dτ .Здесь функция w(t ) как бы «взвешивает» входной сигнал x(t ) в подынтегральном выражении.Заметим, что импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку неучитывает ненулевые начальные условия.В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невозможно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы,строго говоря, экспериментально не удается.3.5.
Передаточная функцияВы уже знаете, выходной сигнал системы можно представить как результат действия некоторого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать следующим образом.Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка,связывающим вход x(t ) и выход y (t ) :d 2 y (t )dy (t )dx(t )b2+ b1+ b0 y (t ) = a1+ a0 x(t )2dtdtdtгде ai (i = 0,1) и bi (i = 0,1,2) – постоянные.(18)25© К.Ю.
Поляков, 2008Введем оператор дифференцирования p =d, который действует на сигнал x(t ) по праdtdx(t ). Обратите внимание, что запись p x(t ) обозначает не умножение оператораdtp на x(t ) , а действие этого оператора, то есть дифференцирование x(t ) .Теперь запишем производные сигналов x(t ) и y (t ) по времени в операторной формевилу p x(t ) =dx(t )dy (t )d 2 y (t )= py (t ), &y&(t ) == p 2 y (t ), x& (t ) == px(t ) .2dtdtdtПодставляя эти выражения в (18), получим(19)b2 p 2 y (t ) + b1 py (t ) + b0 y (t ) = a1 px(t ) + a0 x(t ) .Можно формально вынести за скобки y (t ) в левой части равенства (19) и x(t ) в правой части:(b2 p 2 + b1 p + b0 ) y (t ) = (a1 p + a0 ) x(t ) .(20)y& (t ) =Левая часть (20) означает, что оператор b2 p 2 + b1 p + b0 действует на сигнал y (t ) , а в правой части оператор a1 p + a0 действует на сигнал x(t ) .
«Разделив» (условно, конечно) обе части (20) наоператор b2 p 2 + b1 p + b0 , связь выхода и входа можно записать в видеa1 p + a0y (t ) =x(t ) = W ( p) x(t ) ,(21)b2 p 2 + b1 p + b0где запись W ( p ) x(t ) означает не умножение, а действие сложного оператораa1 p + a0W ( p) =.(22)b2 p 2 + b1 p + b0на сигнал x(t ) . Иначе говоря, формула y (t ) = W ( p) x(t ) – это не что иное, как символическаязапись уравнения (18), которую удобно использовать.Функция W ( p) называется передаточной функцией объекта, который описываетсяуравнением (18). Она полностью описывает связи между выходом и входом объекта при нулевых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.Часто передаточной функцией называют функцию W (λ ) , которая получается из (22) в результате замены оператора p на некоторую независимую переменную λ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
