tau_dummy (1032031), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Апериодическое звеноОдно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описываетсядифференциальным уравнениемdy (t )+ y (t ) = k ⋅ x(t )(39)Tdtk. Здесь k – безразмерный коэффициент, а T > 0 –и имеет передаточную функцию W ( s ) =Ts + 1постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размернаявеличина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скоростьего реакции на изменение входного сигнала.В разд.
3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена⎡k⎛ t⎞⎛ t ⎞⎤h(t ) = k ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ , w(t ) = exp⎜ − ⎟ .T⎝ T ⎠⎦⎝ T⎠⎣Они показаны на рисунке:34© К.Ю. Поляков, 2008h(t )Tw(t )kk0ttTОбратите внимание, что предельное значение переходной характеристики равно k , а касательная к ней в точке t = 0 пересекается с линией установившегося значения при t = T . Переходнаяи импульсная характеристики выходят на установившееся значение (с ошибкой не более 5%)примерно за время 3T . Эти факты позволяют определять постоянную времени экспериментально, по переходной характеристике звена.Частотная характеристика определяется выражениемkk (1 − Tjω )kjkTω= 2 2.= 2 2− 2 2W ( jω ) =Tjω + 1 T ω + 1 T ω + 1 T ω + 1Для каждой частоты ω значение W ( jω ) – это точка на комплексной плоскости. При измененииω от 0 до ∞ получается кривая, которая называется годографом Найквиста (диаграммойНайквиста).
В данном случае можно показать, что частотная характеристика – это полуокружность с центром в точке (0,5k ; 0) радиуса 0,5k . Годограф начинается (на нулевой частоте) вточке (k ; 0) и заканчивается в начале координат (при ω → ∞ ).020 lg kk0ω→∞Re− 20 дБ/декLm(ω)Imω=0ωc =φ(ω)01T-45-90Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются1на сопрягающей частоте ωc = . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звеноTпозиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k .На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 20 дБ/дек, так как степень знаменателя передаточной функции на единицу больше степени ее числителя.
Фазовая характеристика меняетсяот 0 до − 90° , причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 45° .Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет высокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот.Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задаетсяуравнением35© К.Ю. Поляков, 2008dy (t )− y (t ) = k ⋅ x(t )(40)dtКак видим, все отличие от (39) – только в знаке в левой части h(t )уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардинально меняются переходная и импульсная характеристики:⎡ ⎛t⎞ ⎤k⎛t⎞h(t ) = k ⎢exp⎜ ⎟ − 1⎥ , w(t ) = exp⎜ ⎟ .T⎝T ⎠⎣ ⎝T ⎠ ⎦Обычно предполагается, что постоянная времени T > 0 , тогда экспоненты в этих выражениях бесконечно возрастают с ростом t .Поэтому звено названо «неустойчивым»: в покое оно находится внеустойчивом равновесии, а при малейшем возмущении «идет0tвразнос».Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого инеустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постояннымивремени.Из этого графика видно, что ЛАЧХ неус20 lg kтойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ ана− 20 дБ/деклогичного устойчивого, но отрицательный фазовый сдвиг значительно больше.
Устойчивоеапериодическое звено относится к минимальнофазовым звеньям, то есть его фаза по модулю1ωc =меньше, чем фаза любого звена с такой же амT-90плитудной характеристикой. Соответственно,неустойчивое звено – неминимально-фазовое.К неминимально-фазовым звеньям от-135носятся все звенья, передаточные функции которых имеют нули или полюса в правой полу-180плоскости, то есть, с положительной вещественной частью. Для минимально-фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функциинаходятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части).
Например, приположительных постоянных времени T1 , T2 и T3 звено с передаточной функциейT1s + 1W ( s) =(T2 s + 1)(T3 s + 1)– минимально-фазовое, а звенья с передаточными функциямиT1s + 1T1s − 1T1s + 1, W1 ( s ) =, W3 ( s ) =W1 ( s ) =(T2 s + 1)(T3 s − 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(T2 s − 1)(T3 s − 1)– неминимально-фазовые.φ(ω)Lm(ω)T4.3. Колебательное звеноКолебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией видаk,W (s) =2b2 s + b1s + 1знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b12 − 4b2 < 0 ). Как известно из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гармонические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входного сигнала.Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме36© К.Ю.
Поляков, 2008k(41)T s + 2Tξs + 1где k – коэффициент, T – постоянная времени (в секундах), ξ – параметр затухания( 0 < ξ < 1 ). Постоянная времени определяет инерционность объекта, чем она больше, тем медленнее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ , тем быстрее затухают колебания.При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебанияна выходе. Если ξ ≥ 1 , модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то естьпоследовательное соединение двух апериодических звеньев.Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициентусиления равен W (0) = k .Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью,особенно при малых значениях параметра затухания ξ .
На следующих двух графиках синиелинии соответствуют ξ = 0,5 , а красные – ξ = 0,25 .h(t )ξ = 0,25w(t )ξ = 0,25W (s) =2 2kξ = 0,5ξ = 0,50t0φ(ω)Lm(ω)tАсимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются1на сопрягающей частоте ωc = . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звеноTпозиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k .На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен− 40 дБ/дек, так как степень знаменателя пе- 20 lg k− 40 дБ/декредаточной функции на два больше степени еечислителя. Фазовая характеристика меняетсяот 0 до − 180° , причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 90° .1ωc =TПри значениях ξ < 0,5 ЛАЧХ имеет так0называемый «горб» в районе сопрягающейчастоты, причем его высота увеличивается с-90уменьшением ξ .
Это означает, что при частоте входного сигнала, равной ωc , наблюдается-180резонанс, то есть частота возмущения совпадает с частотой собственных колебаний системы.В предельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращаетсяв бесконечность) на частоте ωc , при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет ина практике объект разрушается.37© К.Ю. Поляков, 20084.4. Интегрирующее звеноПростейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входнойсигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне.
При поступленииводы уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.Интегрирующее звено описывается уравнениемdy (t )= k ⋅ x(t ) ,(42)dtkкоторому соответствует передаточная функция W ( s ) = . Решение уравнения (42) даетsty (t ) = y (0) + k ∫ x(τ ) dτ .0Используя это решение для единичного скачка ( x(t ) = 1 при t ≥ 0 ) при нулевых начальных условиях ( y (0) = 0 ), получаем линейно возрастающую переходную характеристику:h(t ) = k ⋅ t .Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельтафункции на любом интервале, включающем t = 0 , равен 1. Поэтому w(t ) = k (при t ≥ 0 ).h(t )w(t )ktg α = k0tинтегрирующего0tформулойLm(ω)Частотнаяхарактеристиказвенаопределяетсяkk= − j .
Можно показать, что его логарифмическая амплитудная частотная харакW ( jω ) =ωjωтеристика – это прямая с наклоном − 20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально,теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавляются интегратором.− 20 дБ/дек20 lg k0ω =1ω=kφ(ω)0-90-180На частоте ω = 1 значение ЛАЧХ равно 20 lg k , а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, поскольку W ( jω ) = 1 . Фазовая характеристика φ (ω ) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы навсех частотах.38© К.Ю. Поляков, 20084.5.
Дифференцирующие звеньяLm(ω)Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнениеdx(t ), его операторная запись y (t ) = k ⋅ p x(t ) , аидеального дифференцирующего звена y (t ) = kdtпередаточная функция W ( s ) = k ⋅ s .Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1(t ) в точке t = 0 – этодельта-функция δ (t ) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звенаdδ (t )h(t ) = kδ (t ) , w(t ) = k.dtЭто физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющиебесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве.
Поэтому идеальное дифференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена –1прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс Lm (ω ) = 0 на частоте ω = . Приkω = 1 ЛАЧХ равна Lm (1) = 20 lg k . Дифференцирующее звено подавляет низкие частоты (производная от постоянного сигнала равна нулю) и бесконечно усиливает высокочастотные сигналы,что требует бесконечной энергии и невозможно в физически реализуемых системах.20 дБ/дек20 lg k0ω = 1/ kω =1φ(ω)180900Фазовая характеристика не зависит от частоты, звено дает положительный сдвиг фазы на90 . Действительно, при дифференцировании сигнала x(t ) = sin ωt получаемy (t ) = cos ωt = sin(ωt + 90°) .Дифференцирующее звено реагирует не на изменение самой входной величины, а на изменение ее производной, то есть на тенденцию развития событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
