tau_dummy (1032031), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Синяя линия на рисунке обозначает нескор- Lmректированную ЛАЧХ, совпадающую с ЛАЧХ апе–20 дБ/декLжриодического звена G ( s ) .ωcL0Желаемая ЛАЧХ (зеленая линия) должна иметь01наклон –20 дБ/дек на низких частотах, чтобы обеспеT0 –20 дБ/декчить нулевую статическую ошибку. Частота среза ωcLопределяетсятребуемымбыстродействием: mLCωc = 3 / tп = 2 рад/с.
Таким образом, начальный участок желаемой ЛАЧХ совпадает с ЛАЧХ интегрирующего звена с передаточной функциейLж (ω ) = 20 lgωcωc(на низких частотах).ωs, то есть0ω1ωcω15 дБωНа высоких частотах нужно изменить наклон ЛАЧХ с –20 до -40 дБ/дек на частоте ω1 , гдеLm (ω ) = −15 дБ. Из этого условия находим20 lgωc= −15ω1⇒ωc= 10−15 / 20ω1⇒ω1 = 103 / 4 ⋅ ωc = 5,62 ⋅ 2 = 11,24 рад/с.Таким образом, мы полностью построили желаемую ЛАЧХ, удовлетворяющую требованиям ксистеме. Вычитая из нее исходную ЛАЧХ (без коррекции, синяя линия), получим ЛАЧХ регулятора, которая показана красной линией на нижнем графике.Остается перейти от ЛАЧХ регулятора к его передаточной функции.
На низких частотах( ω < 1 / T0 ) ЛАЧХ регулятора имеет наклон –20 дБ/дек и проходит через точку (ωc ;0) , то естьC ( s) =ωc⋅ C1 ( s ) ,sгде C1 ( s ) не изменяет асимптотическую ЛАЧХ на частотах, меньших 1 / T0 . На частотеω0 = 1 / T0 ЛАЧХ регулятора меняет наклон с –20 дБ/дек до нуля, то есть в числитель добавляется множитель T0 s + 1 :ω (T s + 1)C ( s) = c 0⋅ C2 ( s ) .sЗдесь C2 ( s ) – регулятор, не влияющий на ЛАЧХ для частот, меньших ω1 .
Наконец, на частотеω1 наклон увеличивается с нуля до –20 дБ/дек. Для того, чтобы на этой частоте «загнуть» внизЛАЧХ, нужно добавить в регулятор апериодическое звено с постоянной времени T1 , где1T1 == 0,09 c . Таким образом, окончательноyω1ω (T s + 1)C ( s) = c 0.1s (T1s + 1)На рисунке показаны переходные процессыпри единичном ступенчатом входном сигналев нескорректированной системе (синяя линия) 0,5и в системе с полученным регулятором C (s )(зеленая линия). Графики показывают, чтонайденный регулятор значительно ускорилпереходный процесс и обеспечил нулевую 051015 tстатическую ошибку (установившееся значе74© К.Ю. Поляков, 2008ние выхода равно 1).Нужно отметить, что алгоритм коррекции ЛАЧХ существенно усложняется, если объектсодержит неустойчивые или неминимально-фазовые звенья.7.5. Комбинированное управлениеОдин из способов улучшить качество управление – изменить структуру системы, добавивв нее второй регулятор C2 ( s ) на входе:gприводобъектδxyue+R (s)C2(s)C(s)P(s)–ТеперьC2 ( s )C ( s ) R( s ) P( s ).1 + C ( s) R( s) P( s)Регулятор C2 ( s ) не влияет на свойства контура управления (запасы устойчивости, подавлениевозмущений, робастность), а влияет только на переходные процессы при изменении задающеговоздействия.
Поэтому сначала можно, не обращая внимание на переходные процессы, построить регулятор в контуре C (s ) так, чтобы обеспечить нужный уровень подавления возмущенийи робастность, а затем сформировать нужные качества передаточной функции W (s ) с помощьюрегулятора C2 ( s ) . Поскольку две передаточные функции можно изменять независимо друг отдруга, такая схема называется комбинированным управлением (или управлением с двумя степенями свободы).В идеале мы хотим, чтобы система точно воспроизводила сигнал x(t ) на выходе y (t ) , тоесть, нужно обеспечить W ( s) ≡ 1 . Для этого требуется, чтобы1 + C ( s) R( s) P( s)1C2 ( s ) ==,(52)C ( s) R( s) P( s)W1 ( s )C ( s) R( s) P( s)– передаточная функция замкнутой системы с одной степенью свогде W1 ( s ) =1 + C ( s) R( s) P( s)боды.Из (52) следует, что регулятор C2 ( s ) должен быть обратной системой (инверсией) дляW1 ( s ) .
Частотная характеристика W1 ( jω ) в реальных системах близка к нулю на высоких частотах, следовательно, регулятор C2 ( s ) должен иметь в этом частотном диапазоне огромное уси1получим C2 ( s ) = Ts + 1 , то есть регулятор содержит физичеление. Например, для W1 ( s ) =Ts + 1ски нереализуемое дифференцирующее звено. Таким образом, точная инверсия (52) не можетприменяться в практических задачах. Обычно стараются приближенно обеспечить равенство(52) для тех частот, где важно точно отследить задающий сигнал.Отметим, что существуют и другие схемы с двумя степенями свободы, но можно доказать, что все они эквивалентны, разница только в реализации.W (s) =7.6.
ИнвариантностьЕсли возмущение g можно как-то измерить, для улучшения качества системы иногдавводится третий регулятор (третья степень свободы):75© К.Ю. Поляков, 2008gC3(s)xC2(s)e+–приводu3C(s)u1uR (s)δобъектP(s)yТеперь передаточная функция по возмущению равна[1 − C3 ( s) R( s)] P( s) .Wg ( s ) =1 + C ( s) R( s) P( s)В этом случае теоретически есть возможность обеспечить полную компенсацию возмущенияg , выбрав1C3 ( s ) =,(53)R( s)так что Wg ( s ) = 0 . Это условие называется условием инвариантности (неизменности), поскольку в этом случае система абсолютно подавляет любые возмущения по входу g . Заметим, чтомы снова пришли к идее инверсии (построения обратной системы), как и в (52).К сожалению, на практике условие инвариантности чаще всего невыполнимо, потому чторегулятор C3 ( s ) должен быть предсказывающим, так как нужно подать компенсирующий сигнал на привод раньше, чем внешнее возмущение успеет повлиять на объект.Чаще всего получается, что числитель передаточной функции C3 ( s ) (53) должен иметьболее высокую степень, чем знаменатель.
Это значит, что такой регулятор включает звеньячистого дифференцирования, которые не являются физически реализуемыми. Обычно подбирают регулятор C3 ( s ) так, чтобы он был физически реализуемым, но условие (53) приближенновыполнялось в наиболее важном диапазоне частот.7.7. Множество стабилизирующих регуляторовКак известно, не каждый регулятор стабилизирует систему. Поэтому важно выделитьмножество регуляторов, которые обеспечивают устойчивость замкнутого контура. Такие регуляторы называются стабилизирующими. Желательно также получить параметризацию, то есть,представить все множество стабилизирующих регуляторов в виде формулы, зависящей от параметра, который может выбираться произвольно в некоторой допустимой области.Рассмотрим простейшую замкнутую систему:регуляторобъектx +yueC(s)P(s)–Ее передаточная функция равнаC ( s) P( s).(54)1 + C ( s) P( s)Регулятор входит в нее нелинейно, что значительно осложняет анализ и синтез системы.
Заметим, что эту функцию можно представить в видеC ( s)W ( s) = Q( s ) P( s) , где Q( s ) =(55)1 + C ( s) P( s)W (s) =76© К.Ю. Поляков, 2008Выражение (55) внешне выглядит как передаточная функция последовательного соединенияобъекта P( s) и «регулятора» Q( s) , причем оно линейно зависит от Q( s) . Поэтому естественновозникает вопрос: нельзя ли сначала выбрать нужным образом Q( s) , а затем найти соответствующий ей регулятор, выразив его передаточную функцию из (55):Q( s)C ( s) =.(56)1 − Q( s) P( s)Очевидно, что функция Q( s) должна быть устойчивой, иначе передаточная функция замкнутойсистемы W ( s) (55) также окажется неустойчивой. Оказывается, если объект P( s) устойчив, торегулятор, полученный из (56), всегда будет стабилизирующим.
Более того, форма (56) охватывает все возможные стабилизирующие регуляторы. Поэтому (56) – это параметризация множества стабилизирующих регуляторов для устойчивого объекта, она называется параметризацией Юла (D.C. Youla).Параметром в (56) является устойчивая функция Q( s) , которая может выбираться произвольно. На практике регулятор (56) должен быть физически реализуемым. Это значит, что передаточная функция C ( s) должна быть правильной (степень ее числителя не больше степени знаменателя). Для этого функция Q( s) также должна быть правильной.Теоретически для оптимального слежения нужно выбрать Q( s) = 1 / P( s) , что даетW ( s) = 1 , однако чаще всего это невозможно. Дело в том, что передаточная функция объекта впрактических задачах – строго правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), иQ( s) получается неправильной.
Поэтому используют компромиссные решения, обеспечиваяприближенную инверсию только для наиболее важной полосы частот.Существует множество методов синтеза, в которых устойчивая и правильная функцияQ( s) выбирается в результате численной оптимизации по какому-либо критерию. Затем передаточная функция регулятора рассчитывается по формуле (56).Посмотрим, что получится, если попробовать применить такой подход для неустойчивого1.
Выбрав Q( s) = 1 , из (56) получаемобъекта с передаточной функцией P ( s ) =s −1s −1C ( s) =.s−2s −1 1При этом в произведении C ( s ) P( s ) =⋅неустойчивый полюс модели объекта сокращаs − 2 s −1ется (компенсируется) неустойчивым нулем регулятора. Характеристический полином∆( s ) = s − 1 + ( s − 2)( s − 1) = ( s − 1) 2будет неустойчивым, как и вся замкнутая система. Следовательно, параметризацию (56) в этомслучае использовать нельзя.Для неустойчивых объектов используют другую, более сложную параметризацию. Пустьn( s )P(s) =, где n( s ) и d ( s) – полиномы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
