tau_dummy (1032031), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Разница снова равна 1 / 2 = l / 2 и система устойчива.6.5.3. Критерий Найквиста для ЛАФЧХКритерий Найквиста часто используется для логарифмических частотных характеристик.Сначала предположим, что передаточная функция разомкнутой системы не имеет неустойчивых полюсов. Как мы уже знаем, для анализа устойчивости наиболее важно поведение частотной характеристики в районе частоты среза ωc , где A(ωc ) = 1 и Lm (ωc ) = 20 lg A(ωc ) = 0 . Дляустойчивой системы значение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180° . На графике представлены три фазовых характеристики устойчивых систем. Кривая 1 соответствуетслучаю, когда в разомкнутой системе нет интеграторов (и фазовая характеристика начинается снуля), кривая 2 – системе с одним интегратором, а кривая 3 – c двумя.Lmωc0ω1φ0− 90°ω2−180°3Если разомкнутая система имеет неустойчивые звенья, нужно считать переходы фазовойхарактеристики через линию φ (ω ) = −180° левее частоты среза.
Здесь положительным считается переход снизу вверх, а отрицательным – сверху вниз. Если фазовая характеристика начинается на линии φ (ω ) = −180° (на нулевой частоте), это считается за половину перехода. Для устойчивой системы разность между числом положительных и отрицательных переходов должнабыть равна l / 2 , где l – число неустойчивых полюсов передаточной функции L(s ) .61© К.Ю.
Поляков, 20086.6. Переходный процессХорошо спроектированная система должна не только быть устойчивой и поддерживатьзаданную точность в установившемся режиме, но и плавно переходить на новый режим приизменении заданного значения выхода (уставки). Качество переходных процессов обычно оценивается по переходной характеристике (реакции системы на единичный ступенчатый входнойсигнал).yyymax2∆2∆y∞y∞00tпtпttВ первую очередь нас интересует, насколько быстро заканчивается переход на другой режим (время переходного процесса tп ). Оно определяется как время, через которое регулируемая величина «входит в коридор» шириной 2∆ вокруг установившегося значения y∞ . Это значит, что при t > tп значение выхода отличается от установившегося не более, чем на ∆ . Обычновеличина ∆ задается в процентах от установившегося значения, чаще всего 2% или 5%.
Заметим, что для апериодического звена с постоянной времени T время переходного процесса равно tп = 3T (с точностью 5%).Другая важная характеристика – перерегулирование σ – показывает, на сколько процентов максимальное значение выхода ymax превышает установившееся значение12 y∞ :y −yσ = max ∞ ⋅100% .y∞Иногда удается обеспечить нулевое перерегулирование (апериодический переходный процесс,как у апериодического звена). Нужно помнить, что увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирования.Вы уже знаете, что устойчивость линейной системы определяется полюсами ее передаточной функции W ( s) , однако на переходные процесс влияют и нули, причем в некоторых случаях очень существенно.
Для примера рассмотрим передаточную функциюas + 1 a( s + 1 / a)W ( s) ==,( s + 1) 2( s + 1) 2где a может принимать как положительные, так и ya=5отрицательные значения. Такая передаточнаяфункция имеет нуль в точке s = −1 / a . Нули, наa=2ходящиеся в левой полуплоскости (при a > 0 )часто называют устойчивыми (по аналогии с полюсами), а нули в правой полуплоскости (приa < 0 ) – неустойчивыми. Очевидно, что при a = 0a=0мы получаем апериодическое звено второго по- 0tрядка. Теперь построим переходные характеристики этого звена при разных значениях a .
Замеa = −2тим, что при любом a установившееся значениеa = −5выхода равно W (0) = 1 .12Понятие «перерегулирование» обычно вводится для случая, когда установившееся значение выхода больше нуля, хотя, в принципе, оно может быть и отрицательным – тогда перерегулирование показывает, насколько «ниже»установившегося значения ушла переходная функция в точке минимума.62© К.Ю.
Поляков, 2008По графикам видно, что при нулевом значении a переходный процесс – апериодический.При a > 0 (устойчивый нуль) наблюдается перерегулирование, причем оно тем больше, чембольше модуль a. При отрицательных значениях a в переходном процессе есть недорегулирование. Это значит, что в первый момент времени регулируемая переменная начинает изменяться всторону, противоположную заданному значению.6.7. Частотные оценки качестваКачество системы можно оценивать не только во временнóй области (переходный процесс во времени), но и в частотной (по частотной характеристике). Из частотных оценок наиболее важны запасы устойчивости. Дело в том, что поведение реального объекта всегда несколько отличается от принятой модели, более того, динамика может меняться во времени, например, когда корабль расходует топливо в ходе рейса.
Поэтому недостаточно спроектироватьпросто устойчивую систему, нужно, чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными, то есть, обладала запасами устойчивости.Обычно арссматривают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде g m – это дополнительное усиление контура, которое необходимо, чтобы вывести систему на границу области устойчивости. Эта величина измеряется в децибелах.ImAg−1K ReφmωcЗапас по амплитуде вычисляется по формуле g m = 20 lg1, где Ag < 1 – значение амплитуднойAgхарактеристики на частоте ω g , где фазовая характеристика равна −180° . В практических задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.Запас устойчивости по фазе φm – это дополнительный сдвиг фазы («поворот» частотнойхарактеристики против часовой стрелки), который необходим для того, чтобы вывести системуна границу устойчивости.
Он определяется на частоте среза ωc , где A(ωc ) = 1 . Запас по фазедолжен быть не менее 30° .ImЕсли в системе есть запаздывание на время τ , каждаяReточка годографа частотной характеристики дополнительно−1Kповорачивается против часовой стрелки на угол, равный τωдля частоты ω . Поэтому запасы устойчивости (как по амплитуде, так и по фазе) уменьшаются. На рисунке синяя линия соответствует системе без запаздывания, а красная – тойже системе с запаздыванием. Видно, что во втором случаезапасы устойчивости существенно меньше.63© К.Ю. Поляков, 2008Запасы устойчивости легко определяются по логарифмических частотным характеристикам:Lmωc0ωggmωφ0ω− 90°φm−180°Заметим, что запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию −180° .К сожалению, в некоторых случаях классические запасы устойчивости (по амплитуде ифазе) дают не совсем верное представление о том, насколько система действительно близка кгранице устойчивости.
Поэтому в качестве единой характеристики иногда используют кратчайшее расстояние γ от годографа до точки (−1; 0) .Im−1K ReγЕще одна аналогичная характеристика называется показателем колебательности M. Онаопределяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы как отношение еемаксимума к значению на нулевой частоте:A(ω )AmaxA0M =AmaxA0ωДля каждого значения M можно нарисовать «запретную области», в которую не должназаходить частотная характеристика разомкнутой системы, если ее показатель колебательностиMдолжен быть меньше М.
Эта область имеет форму круга радиуса R = 2, центр которогоM −1⎛⎞M2находится в точке ⎜⎜ − 2 ; 0 ⎟⎟ . На рисунке показаны границы запретных областей для раз⎝ M −1 ⎠личных значений M.64© К.Ю. Поляков, 2008M = 1,0M = 1,1ImM = 1,5−1K ReM =3При M = 1 окружность имеет бесконечный радиус (превращается в вертикальную линию) ипроходит через точку (−0,5; 0) . При увеличении M радиус окружности уменьшается.6.8. Корневые оценки качестваМногие свойства системы можно предсказать, посмотрев на расположение корней характеристического полинома ∆(s ) на комплексной плоскости.
Прежде всего, все корни ∆(s ) дляустойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от мнимой оси.Быстродействие системы определяется степенью устойчивости η – так называется расстояниемнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней).На рисунке точками отмечены положения корней характеристического полинома. Онимеет два вещественных корня (обозначенных номерами 1 и 4) и пару комплексно сопряженных корней (2 и 3). Степенно устойчивости определяется вещественным корнем 1, потому чтоон находится ближе всех к мнимой оси.Im24Re13ηЭтот корень называется доминирующим, он определяет самые медленные движения в системе и3время переходного процесса, которое может быть примерно рассчитано по формуле tп = .ηКорни 2, 3 и 4 соответствуют более быстрым движениям.Обратите внимание, что степень устойчивости, несмотря на название, ничего не говорит облизости системы к границе устойчивости, она только характеризует быстродействие.Параметр, определяющий скорость затухания колебаний в системе, называется колебательностью.
Колебательность µ для пары комплексно-сопряженных корней α ± jβ вычисляется как отношение мнимой и вещественной частей корня (по модулю):µ=β.αЧем больше эта величина, тем слабее затухают колебания, вызванные этими корнями, за 1 период колебаний.Линии постоянной колебательности – это лучи, выходящие из начала координат. При проектировании систем обычно требуется обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень65© К.Ю. Поляков, 2008устойчивости не меньше заданной η min ) и колебательность не выше заданной µ max . Эти условияопределяют усеченный сектор на комплексной плоскости.Imµ max = tg ααReη min6.9. Робастность6.9.1. Что такое робастность?Обычно регулятор строится на основе некоторых приближенных (номинальных) моделейобъекта управления (а также приводов и датчиков) и внешних возмущений.
При этом поведение реального объекта и характеристики возмущений могут быть несколько иными. Поэтомутребуется, чтобы разработанный регулятор обеспечивал устойчивость и приемлемое качествосистемы при малых отклонениях свойств объекта и внешних возмущений от номинальных моделей. В современной теории управления это свойство называют робастностью (грубостью).Иначе его можно назвать нечувствительностью к малым ошибкам моделирования объекта ивозмущений.Различают несколько задач, связанных с робастностью:• робастная устойчивость – обеспечить устойчивость системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;• робастное качество – обеспечить устойчивость и заданные показатели качества системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;• гарантирующее управление – обеспечить заданные показатели качества системы привсех допустимых отклонениях модели возмущения от номинальной (считая, что модельобъекта известна точно).Для того, чтобы исследовать робастность системы, нужно как-то определить возможнуюошибку моделирования (неопределенность).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
