Физические основы методов исследования наноструктур (1027625), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В случае V < 0уровень Ферми образца смещается вверх и туннелирование происходит из заполненных состояний образца в свободные состояниязонда. Данные процессы схематически проиллюстрированы нарис.5.4 в виде энергетических диаграмм.Рассмотрим одномерную задачу о туннелировании свободногоэлектрона с энергией E через прямоугольный потенциальныйбарьер высотой V0 и шириной d . Решение уравнения Шредингерадля волновой функции электрона ψ (x )−= 2 d 2ψ+ (V ( x) − E )ψ = 02m dx 2188Рис.5.4.
Энергетические диаграммы туннельного контакта между металлическимзондом и образцом: а – не имеющие электрического контакта зонд и образец; б –разделенные туннельным барьером зонд и образец в равновесном состоянии послеприведения их в электрический контакт друг с другом; в – на образец относительно зонда подан положительный потенциал, электроны туннелируют из зонда вобразец; г – на образец подан отрицательный потенциал, электроны туннелируютиз образца в зонд. E vac – уровень вакуума, E F – уровень Ферми, ϕ T и ϕ S –работы выхода материала зонда и образца соответственно.
Схематически такжепоказана плотность электронных состояний образца 45)имеет вид⎧ Ae ikx + Be − ikx ( x < 0),⎪ψ ( x ) = ⎨Ceκx + De −κx (0 < x < d ),⎪ Fe ikx( x > d ),⎩где k =(5.1)2mE / = и κ = 2m( E − V0 ) / = . Коэффициенты А, В, С,D и F в выражении (5.2.1) определяются из условия непрерывностиволновой функции и ее производной.В области внутри потенциального барьера (0 < x < d ) волноваяфункция электрона экспоненциально затухает с постоянной затухания 1 / κ . Для электрона на уровне Ферми металла с работой выхода ϕ ~ 5 эВ длина затухания составляет 1 / κ = = / 2mϕ ~ 1 Å.45)R.J. Hamers // Annu.
Rev. Phys. Chem. 40 (1989) p.531.189Схематическое изображение волновой функци электрона при туннелировании через барьер приведено на рис.5.5.Рис.5.5. Волновая функция ψ электрона с кинетической энергией E , туннели-рующего через прямоугольный потенциальный барьер высотой V0 и шириной d.Электрон движется через барьер слева направо. Слева от барьера волновая функция электрона осциллирует. Внутри барьера волновая функция экспоненциальнозатухает с длиной затухания, типичное значение которой составляет1 / κ = = / 2mϕ ~ 1 A при работе выхода ϕ = 4.5 эВ.
Справа от барьера волноваяфункция электрона вновь является осциллирующей 45)Коэффициенты А, В, С, D и F в выражении (5.1) определяютсяиз условия непрерывности волновой функции и ее производной.Для барьера, ширина которого много больше длины затухания( d >> 1 / κ ) коэффициент пропускания T = F / Aв виде45)2представляется:16k 2κ 2 − 2κde,T≈ 2k +κ2(5.2)так что вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер экспоненциально зависит от его ширины.
Именно этаэкспоненциальная зависимость и определяет возможность получения методом СТМ изображения поверхности с атомным разрешением. Действительно, при увеличении ширины барьера (расстояниямежду зондом и образцом) на Δd ~ 1 Å туннельный ток уменьшится в e 2 ≈ 7 раз:exp(− 2κd )I (d )== exp(2κΔd ) ~ e 2 .I (d + Δd ) exp(− 2κ ( d + Δd ) )190В случае одномерного потенциального барьера, плоской электронной волны и малых напряжений ( V << eϕ ) туннельный токчерез барьер высотой ϕ представляется в виде:()I = B φ exp(− Ad φ ) − (φ + eV ) exp(− Ad φ + eV ) ,(5.3)где А и В – константы. При больших напряжениях ( V >> eϕ ) потенциальный барьер из прямоугольного эффективно превращаетсяв треугольный, а его ширина становится меньше расстояния междупроводниками.Выражение (5.3) получено для свободного электрона и не учитывает плотность электронных состояний в реальном проводнике.Туннельный ток между двумя металлами с плотностью электронных состояний ρ S и ρ t для образца и зонда, соответственно, представляется в виде:+∞2πI=∫ ρ s (ε )ρ t (ε + eV )T (ϕ , d , eV )[ f (ε ) − f (ε − eV )]dε , (5.4)=−∞f (ε )–функцияраспределенияФерми,а⎛ 2⎞T = exp⎜ − d 2m(ϕ + eV / 2 − ε ) ⎟ – вероятность туннелирова⎝ =⎠гдения, экспоненциально зависящая от ширины туннельного барьера d.В случае низких температур, когда размытием ступеньки распределения Ферми ( ~ 2kT ≈ 0.05 эВ при комнатной температуре)можно пренебречь, выражение (5.4) сводится к виду2πI==E F + eV∫ ρ s (ε )ρ t (ε + eV )T (ϕ , d , eV , ε )dε .(5.5)EFЕсли плотность состояний материала зонда не имеет особенностейв области энергий, соответствующей пределам интегрирования, тогда ее можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:2πI=ρt=E F + eV∫ ρ s (ε )T (ϕ , d , eV , ε )dε .(5.6)EFТаким образом, туннельный ток пропорционален интегралу отплотности электронных состояний материала образца.
Соотношения (5.4) и (5.5) справедливы в приближении ферми-газа, т.е. их191можно использовать при анализе туннельного тока в случае простых и благородных металлов. Вопрос об использовании этих соотношений в случае переходных металлов в настоящее время открыт.Для оценки порядка величины туннельного тока воспользуемсяследующим соотношением:I ≈ enρ s v F STV ,(5.7)где n – электронная плотность, v F – скорость электрона с энергиейФерми, S – площадь туннельного контакта и V – приложенное напряжение. Выражение (5.7) учитывает, что туннельный ток определяется числом электронов с энергией порядка энергии Ферми (винтервале от E F до E F + eV ), прошедших через потенциальныйбарьер с вероятностью T за единицу времени. При типичных значениях n ~ 10 22 см-2, ρ s ~ 0.5 эВ-1, v F ~ 10 8 см/с, S ~ a 2 ~ 10 −15см2, V ~ 1 В и T = exp(− 2κd ) ~ 10 −4 при κ ~ 10 нм-1 и d ~ 0.4нм получаем I ~ 10 нА.Рис.5.6. Схематическое изображение туннельного перехода между зондом сканирующего туннельного микроскопа и поверхностью 45)В данном случае нами предполагалось, что весь туннельный токсобирается с области размером порядка одного атома.
В идеальномслучае это соответствует зонду микроскопа, на острие которого находится лишь один атом металла (рис.5.6). В действительности радиус закругления проводящего острия сильно зависит от метода егоизготовления и в лучших случаях составляет R ~ 10 нм. Однако,192как показывает эксперимент, даже в этом случае удается получитьизображение поверхности с атомным разрешением. Чтобы продемонстрировать такую возможность, рассмотрим задачу о распределении туннельного тока между плоской поверхностью образца иострием зонда туннельного микроскопа 46). Для простоты будемсчитать, что острие имеет форму полусферы с радиусом R (рис.5.7).Рис.5.7. Моделирование остриязонда полусферой радиуса R дляоценки латерального разрешенияметодики СТМ.
Расстояние междувершиной острия зонда и поверхностью образца d0, величина 2Leffотвечает диаметру круга, черезплощадь которого протекает 50%туннельного тока 47)Направим ось z вдоль поверхности, а за ноль положим координату центра острия. Пусть ток в центре острия составляетI (0) = I 0 exp(− 2κd 0 ) , где d 0 – расстояние от центра острия доповерхности образца. Зависимость расстояния между плоской поверхностью образца и полусферической поверхностью острия отрасстояния от центра острия имеет вид d ( x) = d 0 + R − R 2 − x 2 .Тогда распределение тока вдоль поверхности выражается как[)](ВосI ( x) = I 0 exp(− 2κd ( x) ) = I (0) exp − 2κR 1 − 1 − x 2 / R 2 .пользовавшись малостью x << R и разложив корень в ряд Фурье,получаем: I ( x) = I 0 exp(− 2κd ( x) ) = I (0) exp(− κx 2 / R ). Туннельный ток I L с области, охватываемой радиусом L , можно найти,проинтегрировав выражение I (x) по углу ϕ от 0 до 2π и по расстоянию z от 0 до L:2πIL =∫0LL κ /R00dφ ∫ dxI ( x) = 2π R / κ I (0)(∫)exp ( − y 2 ) dy == 2π R / κ ⋅ I (0) ⋅ Erf L κ / R ,46)S.F.
Alvarado // Surface Review and Letters, 2 (1995) p.607.193x∫где Erf( x ) = e − y dy – интеграл ошибок. Полный туннельный ток20I tot = I L = ∞ = 2π R / κ ⋅ I (0) . Тогда доля туннельного тока, протекающего через площадь круга диаметром 2L, есть()IL= Erf L κ / R .I totВ соответствии с полученным выражением, при характерных значениях R ~ 10 нм и κ ~ 10 нм-1 50% туннельного тока протекает собласти, охватываемой тремя атомами поверхности ( 2 Leff ~ 1 нм).Режимы работы СТМПри сканировании поверхности образца зондом туннельногомикроскопа (т.е. перемещении зонда в плоскости поверхности образца) измеряется протекающий в электрической цепи «зондобразец» туннельный ток. Экспоненциальная зависимость туннельного тока от расстояния между зондом и атомом поверхности позволяет использовать его в качестве величины, характеризующейэто расстояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
