Нанометрология (1027621), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В подобных задачах понятие«погрешность измерения» теоретически оказывается излишним.В настоящем пособии использованы следующие термины и определения:границы неисключенной систематической погрешности (±Θ) −значения неисключенной систематической погрешности (далее – НСП),ограничивающие интервал, внутри которого находится искомое значениеэтой погрешности;доверительные границы НСП [±Θ (р)] – значения НСП, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находитсяискомое значение этой погрешности;погрешность передачи размера единицы величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.В погрешность передачи размера единицы входят НСП и случайные погрешности метода и средств измерений, используемых при передаче размера единицы;доверительные границы суммарной погрешности результата измерений (доверительная суммарная погрешность) [± Δ (р)] – значениясуммарной погрешности (композиции случайных погрешностей и НСП),ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится значение искомой суммарной погрешности;неопределенность (измерений) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли быбыть обоснованно приписаны измеряемой величине (по РМГ 43-2001).Этим параметром может быть, например, стандартное отклонение или ширина доверительного интервала;стандартная неопределенность ( u ) − неопределенность результатаизмерений, выраженная в виде среднего квадратического отклонения(СКО) S (по РМГ 43-2001), т.е.
u = S ;расширенная неопределенность (U) – границы интервала, в пределах которого находится большая часть распределения значений, которыемогли бы быть приписаны измеряемой величине;неопределенности первичного эталона – неопределенности измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины,и неопределенности, оцененные на основе анализа экспериментальныхданных исследований комплекса средств измерений и других технических178средств, входящих в состав эталона, анализа метода воспроизведения единицы величины, действия влияющих величин, результатов международных сличений эталонов;нестабильность – изменение оценок погрешности и оценок неопределенности за указанный промежуток времени.3.11.
Этапы оценивания погрешностей и неопределенностей1. Стандартные оценки.Абсолютную погрешность Δ измерений традиционно определяюткак разностьΔ = Xg − Xi ,где X g − действительное (истинное) значение физической величины;X i − результат измерения.Другие виды погрешностей (относительную, приведенную), используемых в отечественных стандартах, здесь не рассматриваем.Обычный путь количественной оценки диапазона (разброса) − нахождение стандартного отклонения S. Стандартное отклонение выборки изN измерений – число (цифра), которое говорит как (насколько) индивидуальное (отдельное) измерение ( X i ) отличается от среднего значения(X )выборки измерений:∑ (XNS=i =1i−XN −1)2.Истинное значение стандартного отклонения может быть найдено(оценено) только из очень большого числа результатов.
Из умеренного(среднего) числа значений может быть проведена только оценка его значения. Символ S обычно используется только для оценки стандартного отклонения.Чтобы количественно выразить неопределенность, необходимоиметь два числа:• одно из них – ширина диапазона или интервал;• другое – уровень доверия, который показывает уверенность в том,что «реальное значение» находится в этом пределе.179Стандартная неопределенность (u ) для единичного результата измерений X i выражается в виде квадратического отклонения∑ (XNu (X i ) =i =1i−X)N −12,то есть S = U ( X i ) .Для получения стандартной неопределенности все входящие в неенеопределенности должны быть выражены для одного и того же уровнявероятности (доверия).
Стандартная неопределенность свидетельствует нетолько о размахе значений, но и о неопределенности среднего.Независимо от источника неопределенности измерения приняты дваподхода к ее оценке: «тип А» и «тип В». В большинстве случаев необходимо использовать оба типа.Неопределенность типа А оценивают, используя статистику (обычноиз многократных измерений).
Стандартная неопределенность по типу Аявляется фактически статистической оценкой дисперсии S2, т.е. u = S .Неопределенность типа В оценивается из любых других источников(информации, сведений). Это может быть информация из прошлого опытаизмерений, сертификатов калибровки, спецификаций производителей, вычислений и расчетов, опубликованных сведений (информации) и здравогосмысла.Существует соблазн считать, что «тип А» определяют случайныепричины, а «тип В» − систематические, но это не всегда верно.2. Оценивание неисключенной систематической погрешности.Если НСП, присущая эталону, имеет несколько (m) составляющих,то (границу) доверительную границу результата их суммирования (Θ),(Θ (ρ)) вычисляют по формулеmΘ = ± ∑ Θ i , если m ≤ 2 ;(3.68)i =1Θ( p ) = ± km∑ Θ , еслиi =12im ≥ 3,(3.69)где Θi − граница i-й составляющей НСП СИ;k – коэффициент, определяемый выбранной доверительной вероятностью, числом составляющих НСП Θi и их соотношением.180Значение коэффициента k для доверительной вероятности, равной0,99, при числе НСП больше четырех ( m > 4 ) принимают равным 1,4( k = 1,4 ), при меньшем числе НСП ( m ≤ 4 ) значение коэффициента определяют по графику, приведенному в ГОСТ 8.207-76.Для доверительной вероятности, равной 0,95, значение k = 1,1 .3.
Оценивание случайной составляющей и стандартной неопределенности по типу А.СКО среднего арифметического S x результатов прямых измеренийпри воспроизведении размера единицы величины и стандартную неопределенность, оцениваемую по типу А ( u A ), среднего арифметического результатов прямых измерений при воспроизведении размера единицы величины вычисляют по формуле∑ (xnSx = uAi =1)− x / n (n − 1) ,2i(3.70)где xi − i -й результат измерений при воспроизведении размера единицывеличины; n − число результатов измерений; x − среднее арифметическоерезультатов измерений.При многократных измерениях должна быть обеспечена независимость отдельных измерений.4. Определение стандартной неопределенности по типу В.Стандартную неопределенность, обусловленную неисключеннойсистематической погрешностью (НСП), заданной своими границами ± Θ,оценивают по типу В по формулеuB =Θ3.(3.71)Стандартную неопределенность, обусловленную неисключеннойсистематической погрешностью, имеющей несколько составляющих, заданных своими границами ± Θ, оценивают по типу В по формулеmuB =∑Θi =132i=Θ ( p).3−k181(3.72)В большинстве случаев измеряемая величина Y не является прямоизмеряемой, а зависит от N других измеряемых величин X 1 , X 2 , X 3 , ..., X Nчерез функциональную зависимость:Y = f ( X 1 , X 2 , X 3 , ..., X N )В этом случае стандартная суммарная неопределенность и доверительные границы НСП определяются по другим формулам.5.
Оценивание СКО результата и стандартной неопределенности,оцениваемой по типу А, косвенно измеряемой величины.СКО S y и стандартную неопределенность, оцениваемую по типу А,u A y результата косвенных измерений величины, являющейся функциейy = f ( x1 , x2 , L, xm ) , вычисляют по формулам соответственноSy=2⎛∂ f⎞⎜⎜S xi ⎟⎟ ,∑i = 1 ⎝ ∂ xi⎠mu Ay2⎛∂ f⎞= ∑ ⎜⎜u A ⎟⎟ ,i = 1 ⎝ ∂ xi⎠m(3.73)где S xi − СКО среднего арифметического результатов измерений величины xi ;∂ f / ∂ xi − i -я частная производная функции y = f (x1 , x 2 , ..., xm ) .6. Определение границы (доверительной границы) НСП.Границу (доверительную границу) НСП результатов косвенных измерений в зависимости от числа величин x1 , x2 , ..., xm , содержащих однуНСП, вычисляют по формулам (3.68) или (3.69), в которыхΘi =∂fΘ xi ,∂ xiгде Θxi − НСП результата измерений величины xi .Доверительные границы НСП Θ(ρ) результата косвенных измеренийпри наличии в результатах измерений каждой из величин x1 , x2 , ..., xm несколько НСП вычисляют по формуле2m ⎛⎞⎛∂ f⎞∂fΘ xj ( p i ) / k i ⎟Θ ( p ) = ± k ∑ ⎜⎜Θ xi ⎟⎟ + ∑ ⎜⎜⎟i =1 ⎝ ∂ x ii = l +1 ⎝ ∂ x j⎠⎠l2,(3.74)где l − число величин x1 , x2 , ..., xm , НСП которых представлена границами;Θ ( p ) – доверительная граница НСП результата измерений величины x j ;182k, ki − коэффициенты, соответствующие доверительной вероятности pи p i соответственно.7.
Определение стандартной неопределенности, оцениваемой по типу В, u B y косвенно измеряемой величины.Стандартную неопределенность косвенно измеряемой величины,обусловленную НСП, определяемую границами Θxi и Θ xj ( p i ) вычисляютпо типу В по формулеuB y22nl ⎛⎛ ∂ f Θ xi ⎞Θ xi ⎞⎟∂f⎟⎟ + ∑ ⎜= ∑ ⎜⎜⋅⋅,⎜⎟3⎠i = 1 ⎝ ∂ xii = l +1 ⎝ ∂ x j k i ⋅ 3 ⎠l(3.75)8. Определение доверительных границ суммарной погрешности.Доверительные границы суммарной погрешности Δ ( р) вычисляют поформулеΔ ( p) = ± tΣ SΣ ,(3.76)где t Σ − коэффициент, определяемый доверительной вероятностью p иотношением Θ ;SSΣ − суммарное СКО результата измерений, обусловленного воздей-ствием случайных погрешностей и НСП.Значение коэффициента t Σ вычисляют по формулеtΣ =(tS + Θ)(S + S ) ,x(3.77)Θxгде t − коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности p и числу степеней свободы (n − 1) ;Θ − НСП вычисляют по формулам (3.68), (3.69) или (3.70) в зависимо-сти от числа составляющих НСП.Суммарное СКО результата измерений SΣ , обусловленного воздействием случайных погрешностей и НСП, вычисляют по формулам соответственно:S Σ = S x2 +Θ i2,∑i =1 3m- если составляющие НСП представлены границами;183(3.78)mΘ i2 ( p j )i =13k 2jSΣ = S + ∑2x(3.79),- если составляющие НСП представлены доверительными границами;m Θ 2 (p )Θ i2ij,+ ∑SΣ = S + ∑23k ji = l +1 3i = l +12xl(3.80)- если часть составляющих НСП представлена границами, а часть составляющих НСП – доверительными границами.9.
Определение расширенной неопределенности эталона для уровнядоверия р .Расширенную неопределенность вычисляют по формулеU ( p ) = K ⋅ u A2 + u B2 ,(3.81)где u A − стандартная неопределенность, оцениваемая по типу А: при прямых многократных измерениях x1 , x 2 , ..., xn стандартную неопределенностьможно обозначить как u A ; при косвенных измерениях − u A y ;uB − стандартная неопределенность, оцениваемая по типу В; при пря-мых многократных измерениях x1 , x 2 , ..., xn стандартную неопределенностьможно обозначить как uB ; при косвенных измерениях − u B y ;− коэффициент охвата, выбираемый в зависимости от принимаемого закона распределения возможных значений измеряемой величины и заданного уровня доверия (доверительной вероятности) по табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
