Борман В.Д. - Физические основы методов исследования наноструктур и поверхности твёрдого тела (1027497), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В качестве иллюстрации на рис.6.3 показаны четыре варианта выбора примитивной ячейки, а на рис.6.4 – ячейка Вигнера–Зейтса для косоугольнойповерхностной решетки Браве.79)Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.2346.2.3. Индексы Миллера для атомных плоскостейОриентация любой плоскости может быть задана указанием вектора ее нормали. Поскольку для каждого семейства параллельныхатомных плоскостей трехмерного кристалла соответствующие имвекторы обратной решетки нормальны, то их используют для обозначения атомных плоскостей.
Например, для плоскости основныхG Gвекторов прямой решетки a , b вектор обратной решетки( )G GKK Gc * ~ a × b ⊥ a, b .( )Индексами Миллера для атомной плоскости называются координаты наименьшего вектора обратной решетки, перпендикулярного к данной плоскости, в системе координат, заданной основнымивекторами обратной решетки. Так, атомная плоскость с индексамиМиллера (hkl ) – это плоскость, перпендикулярная к вектору об-GKGратной решетки ha * + kb * + lc * .Индексы Миллера имеют простую геометрическую интерпретацию: они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым данной атомной плоскостью на координатных осях прямой решеткикристалла, задаваемых ее основными векторами. Так, плоскостьG(100) отсекает единичный отрезок от оси, задаваемой вектором a ,GGи параллельна осям, задаваемым векторами b и c , а плоскость(111) отсекает отрезки единичной длины от всех трех координатных осей (рис.6.5).Рис.6.5.
Три атомные плоскости и их индексы Миллера для простой кубическойG G Gрешетки Браве. a , b и c – основные векторы решетки Браве 80)Для обозначения плоскости в прямой решетке используют индексы Миллера в круглых скобках (hkl). Если обозначают не кон-235кретную плоскость, а семейство эквивалентных для данного кристалла плоскостей, то индексы Миллера заключают в фигурныескобки {hkl}. Для кубической решетки эквивалентными плоскостями являются плоскости (100), (010) и (001), которые могут бытьобозначены как {100}. Для обозначения направления в прямой решетке (т.е.
вектора нормали к определенной плоскости) используютиндексы Миллера в квадратных скобках [hkl]. Семейство эквивалентных направлений обозначают индексами Миллера в угловыхскобках hkl . Черта над индексом Миллера обозначает знак «минус».Поскольку поверхность монокристалла совпадает с одной из егоатомных плоскостей, для ее обозначения также используют индексы Миллера. Например, поверхность кристалла каменной соли скубической решеткой может быть задана как NaCl (100). Иногдадля удобства в обозначении индексов Миллера используют избыточный векторный базис, т.е. систему координат, задаваемую болеечем тремя векторами.
Типичным примером является обозначениеплоскости гексагональной решетки высоко ориентированного пиролитического графита ВОПГ (0001) (рис.6.6, б).абРис.6.6. Кристаллическая решетка NaCl. Черные и белые шары обозначают ионыNа+ и Cl-. По отдельности черные и белые шары образуют две вставленных друг вдруга г.ц.к. решетки 80) (а); кристаллическая решетка высокоориентированногопиролитического графита (ВОПГ), состоящая из параллельных атомных слоев сгексагональной атомной структурой [5] (б).В общем случае, вследствие явления реконструкции поверхностная кристаллическая решетка может отличаться от двумернойрешетки соответствующей атомной плоскости в объеме трехмерно-236го кристалла.
Соотношение между векторами трансляции поверхностной и объемной решеток задается матрицей преобразования М:GGR s = MR(6.8)илиG⎛ a s ⎞ ⎛ m11⎜⎜ G ⎟⎟ = ⎜⎜⎝ bs ⎠ ⎝ m 21Gm12 ⎞⎛ a ⎞⎟⎜ G ⎟.m22 ⎟⎠⎜⎝ b ⎟⎠Для обозначения реконструированной поверхности, а такжедвумерной решетки, образуемой на поверхности кристалла адсорбированными атомами, используют систему обозначений Вуда.
Согласно этой системе, если соотношение модулей векторов поверхностной и объемной решеток составляет a s = Na и bs = Lb , поверхностная решетка повернута на угол ϕ относительно объемной,то обозначение плоскости поверхности (hkl) материала Х имеет вид:X (hkl )( N × L )Rϕ D . Решетка адсорбированных атомов вещества Ана поверхности Х обозначается как X (hkl )(N × L )Rϕ D − A . Например, адсорбции кислорода на поверхности никеля Ni(110) приводитк образованию поверхностной решетки Ni (110 )c(2 × 2 ) − O , гдесимвол с обозначает центрированную решетку (рис.6.7).Рис.6.7.
Структура поверхностнойцентрированнойпрямоугольной( )()Ni 110 c 2 × 2 − O ,решеткиобразуемой атомами кислорода,адсорбированными на поверхноGGсти никеля Ni(110). Здесь a s и b s– основные векторы поверхностGGной решетки Ni; a ′s = 2 a s иGGb s′ = 2b s – основные векторыповерхностной решетки, образуемой адатомами кислорода [4]2376.3. Дифракция на кристаллической решетке6.3.1.
Дифракция на трехмерной решеткеЯвление дифракции на решетке наблюдается в том случае, когдапериод решетки d сравним с длиной волны λ падающего излучения. Условие наблюдения дифракции при зеркальном отражении отпараллельных атомных плоскостей (рассеянии на угол 2θ ) – условие дифракции Брегга–Вульфа, – имеет вид:mλ = 2d sin θ ,(6.9)где т – целое число, а θ – угол Брегга (см.
рис.6.8).Рис.6.8. Схема дифракции Брегга–Вульфа на атомных плоскостях кристалла с межплоскостным расстоянием d. Показаны падающий и отраженный лучи для двух соседнихплоскостей. Разность хода равна2 d sin θ 80)Альтернативным описанием дифракции является описание Лауэ. Пусть на кристалл падает плоская волна с волновым векторомG 2π G Gk=n ( n – единичный вектор, задающий направление распро-λстранения волны), которая после рассеяния имеет волновой векторG 2π GGk′=n ′ . Обозначим через d вектор, соединяющий две парал-λлельные атомные плоскости, от которых происходит отражение, инаправленный по нормали к данным плоскостям.80)Н.
Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.238Рис.6.9. Иллюстрация к описанию дифракции Лауэ. Показаны падающий и отраG GGGженный лучи с волновыми векторами k = n ⋅ 2π / λ и k ′ = n′ ⋅ 2π / λ соответственно. Разность хода лучей, рассеянных на двух точках, отстоящих друг от другаG G Gна расстоянии d, составляет d ⋅ ( n − n′) 81)Тогда, как видно из рис.6.9, разность хода волн, отраженных отдвух атомных плоскостей, можно представить в видеGG GG G G Gd cos θ ′ + d cos θ = dn ′ − dn = d (n ′ − n ) .(6.10)В соответствии с условием Брегга-Вульфа (6.9) из выражения (6.10)следует:G G Gd ( n ′ − n ) = mλ .(6.11)GПоскольку вектор d совпадает с вектором трансляции прямой реGшетки R , то выражение (6.11) можно переписать в видеG G GR( k ′ − k ) = 2πm .(6.12)Сравнивая выражения (6.12) и (6.8) получаем, что разность волновых векторов падающей и отраженной волны совпадает с векторомтрансляции обратной решетки кристалла:G G Gk ′ − k = g hkl .(6.13)Выражение (6.12) отражает закон сохранения импульса при упру-GGGгом рассеянии k ′ = k + g hkl .
Закон сохранения энергии при этомзаписывается как k ′ 2 = k 2 .Графическое представление дифракции в описании Лауэ основано на построении сферы Эвальда (рис.6.10). В пространстве обратной решетки строятся волновые векторы падающей и отраженной волны, причем конец волнового вектора падающей волны по-239мещают в начало координат обратной решетки (т.е. в точку, дляG GGкоторой вектор трансляции обратной решетки g ≡ g hkl = g 000 ).Поскольку направление падающей волны известно, то такое построение однозначно задает точку Р, в которой располагается нача-GGло векторов k и k ′ .
На рис.6.10 представлена обратная решеткадля прямой кубической решетки с межатомным расстоянием (постоянной решетки) d. Период обратной решетки составляет приэтом 2π / d . Сферой Эвальда называется сфера радиуса k с центром в точке Р.Рис.6.10. Построение сферы Эвальда для дифракциина кристалле с простойкубической решеткой имежатомным расстояниемd. Волновой вектор паGдающего луча k 0 показанв том же масштабе, что исхема обратной решетки.GКонец вектора k 0 помещается в начало координат(000) обратной решетки.Сфера с радиусом k 0 ицентром в начале координат называется сферойЭфальда.
Если какая-либоточка обратной решеткиоказывается лежащей насфере Эвальда, то удовлетворяется дифракционное условие Брегга. При этом волновой вектор дифрагироGвавшего электронного луча равен k ′ . В показанном примере условие дифракцииGвыполняется лишь для одного единственного луча. Здесь 2θ – угол рассеяния, g– вектор обратной решетки, (hkl) – индексы Миллера данной точки на сфереЭвальда [4]Тогда если какая-либо точка обратной решетки А с координатами (hkl) попадает на сферу Эвальда, то для нее автоматически выполняется условие дифракции Брегга-Вульфа в записи Лауэ (6.12).Каждой такой точке можно сопоставить дифрагировавший луч, который образует точечный рефлекс на дифракционной картине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
