Диссертация (1025557), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому, можно считать58функциюсоответствующей главной форме колебаний, имея ввиду, чтоаналогичное рассмотрение можно провести и для высших форм.Исключая из рассмотрения случайные вынужденные колебания,возбуждаемые случайной силой (возбуждение типа бафтинга), получимсистему дифференциальных уравнений, описывающих собственные колебаниятрубок:x 2где0x20xC( ) ,1(3.30)R / U – безразмерная собственная частота отдельной трубки,p1 –собственная частота изгибных колебаний по рассматриваемой форме,–0p1относительное демпфирование, R – радиус профиля трубки, U – скоростьобтекания,1R 2 / m – безразмерный массовый параметр, ρ – плотностьжидкости, C(τ) - матрица гидродинамического взаимодействия (матрицагидродинамических сил, зависящих от времени), пример элементов которой , x – векторыприведен на Рисунке 3.7, τ – безразмерное время, x , xсмещений, скоростей и ускорений трубки, соответственно.τРисунок 3.7.
Элементы матрицы гидродинамического взаимодействияразмерностью [4×4] для ряда из двух труб [33, 39]59Здесь С2x1x –гидродинамическая сила, действующая на второй цилиндрв направлении оси Х от колебаний первого цилиндра в направлении оси X,С2y1x–гидродинамическаясила,действующаянавторойцилиндрвнаправлении оси Y от колебаний первого цилиндра в направлении оси X.В рассматриваемом диапазоне чисел Re гидродинамические силыопределяются, главным образом, внешним течением, а не течением в тонкихпограничныхслоях[17].Этопозволяетсчитать,чтоматрицыгидродинамического взаимодействия практически не зависят от числа Re. Приобтекании пучков с геометрически подобными поперечными сечениями врассматриваемом диапазоне чисел Re также подобны и внешние течения,причем нестационарные гидродинамические процессы подобны в масштабевремени τ=tU/2R (U – скорость потока, R – радиус цилиндра).
Таким образом,предполагается, что матрицы гидродинамического взаимодействия зависяттолько от относительного положения трубок в поперечном сечении и отбезразмерного времени τ.Введем в рассмотрение (2N×2N) матрицу линейной гидродинамическойсвязи S( p) , представляющую собой результат преобразования Лапласа отэлементов матрицы гидроупругого взаимодействия C(τ) .В спектре вычисленных реализаций вектора гидродинамической силыC(τ), соответствующих закону движения профиля выделяется дискретнаясоставляющая на частоте колебаний профиля.Число трубок в пучке обычно велико, матрица S( p) будет оченьвысокого порядка и, следовательно, очень велики затраты времени для еесоставления.
Чтобы сократить вычисления, нужно принимать во вниманиепроявляющиеся в расчетах и подтвержденные экспериментально свойствагидродинамических связей [19]: во – первых, существенно взаимодействиелишь между соседними трубками пучка, т.е. значительная часть элементовматрицы S( p) может быть заменена нулями (свойство близкодействия); во –вторых, в поперечном сечении пучка имеет место геометрическая симметрия,которая может обеспечить соответствующую симметрию гидродинамических60связей (П.1., Таблица 1-8). В пучке может быть выделена типовая ячейка,состоящая из нескольких взаимодействующих трубок. Для исследованиягидроупругого возбуждения пучка оказывается достаточным из численногоэксперимента произвести расчет гидродинамических связей для выбраннойячейки. В работе представлены примерыисследования устойчивостиоднорядного пучка и большого пучка, основанные на расчете матриц линейнойгидродинамической связи в типовой ячейке из трех трубок и пучка из пятитруб.Система уравнений (3.30) с нулевыми начальными условиями послеразделенияпеременных,преобразованияЛапласа,сиспользованиемдопущения о линейности дестабилизирующих сил имеет следующий вид:( p2Здесь2020p)x*S( p)x* .(3.31)1x* - изображение Лапласа от вектора смещений труб, p - параметрпреобразования.Матрица S( p) находится из численного или натурного эксперимента поалгоритму, изложенному ниже.Решениясистемы(3.31),определяющиеколлективныеформыколебаний пучка, совпадают с собственными векторами матрицы S(p).
Послеприведения указанной матрицы к диагональному виду и сокращения насобственные векторы матрицы S(p), а также учитывая, чтоj( p)– j-есобственное значение матрицы S(p), можно записать характеристическоеуравнение системы (3.31) в следующем виде:2Np2 20p201j( p)0.(3.32)j 1Исследование уравнения (3.32) проводим, полагая, чтои1– малыепараметры. Для устойчивости состояния равновесия первоначальной системынеобходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения(3.32) имели отрицательную действительную часть [50]. С использованием61разработанной программы исследуется уравнение (3.32), которое определяетустойчивое, либо неустойчивое состояние системы.
Для определения границыобласти устойчивости достаточно рассмотреть лишь один из сомножителей вуравнении (3.32), в который входит собственное значение(р), обладающеемаксимальной мнимой частью. На границе области устойчивости, где p i-мнимая величина, при учете только величины не выше первого порядкамалости относительно малых параметров220202/1Re[ (iIm[ (i1и001из (3.32) получим:)],(3.33))].Соотношения (3.33) определяют частоту колебаний трубок по наименееустойчивой коллективной форме и критическое значение параметразаданной безразмерной частоте.
Если известна зависимость(i0),21прито второе изравенств (3.33) позволяет найти критическую скорость, соответствующуюзначению21для исследуемого пучка.В первом приближении относительно малых параметрови1необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид:21(21 ) крВторое из выраженийпараметра (2демпфирования1 ) кри, (2(3.34))Im[ (i1 кр200)].(3.34)определяет критическое значение, т.е. характеризует соотношение между силамидестабилизирующимисиламигидродинамическоговзаимодействия на границе области устойчивости.Возможностьиспользованиярезультатовпроведенногоанализахарактеристического уравнения (3.32) в области параметров, характерной дляреальных пучков, подтверждается многочисленными экспериментальнымиданными.
Во – первых, в реальных пучках упругие трубки слабодемпфированы, то естьслучае жидкого (1<<1. Во – вторых, из экспериментов известно, что в= 10-1) и газообразного потока (1= 10-3) при гидроупругом62возбуждении колебания происходят на частоте изгибных колебаний отдельнойтрубки, то есть≈0и, следовательно,1Re[ (i0)] <<20. Таким образом, вреальных пучках трубок силы демпфирования и гидродинамические силымалы по сравнению с силами упругости, а это позволяет проводить анализ впредположении малости параметровПолученноеусловиеи1.устойчивости(3.34)основанонаанализематематической модели гидроупругого возбуждения достаточно общего вида.Известны теоретические модели (например, [1]), в которых принятыдополнительные предположения относительно вида гидродинамическоговзаимодействия, которые являются частным случаем выражений (3.33).3.4.
Методология определения критической скорости течения. Схемачисленного эксперимента для определения матриц влиянияДляпредлагаетсяопределенияматрицывыполнятьгидродинамическогопоследовательныерасчетывзаимодействиянестационарныхгидродинамических сил по формулам, приведенным в 3.2, для каждого изкоторых только одна из труб совершает колебания с небольшой амплитудой погармоническому закону на частоте ωj в направлениях осей X или Y (Рисунок3.8).YYXXРисунок 3.8.
Численный эксперимент для трех трубок, одна из которыхсовершает гармонические колебания с небольшой амплитудой на частоте ωj внаправлении осей X или Y63Изменяя безразмерную частоту колебаний трубок ωj, можно получитьряд зависимостей по времени компонентов матрицы гидродинамическоговзаимодействия от ωj. Пример одной из зависимостей для ряда из двух трубприведен на Рисунке 3.7.Определениематрицылинейнойгидродинамическойсвязиприисследовании явления гидроупругого возбуждения в реальном большом пучкенужно проводить на фрагменте пучка, состоящем из небольшого числа трубокс геометрически подобной типовой ячейкой.
В силу свойства близкодействиягидродинамических связей, при моделировании достаточно воспроизвестиспецифику течения лишь в окрестности ячейки. В этом случае следует иметь ввиду, что подобие гидродинамических связей натуры и модели может быть необеспечено равенством частотR , так как физической характеристикойUт0течения является скорость в окрестности этого фрагмента пучка, а не скоростьвдали от пучка – U. При отсутствии геометрического подобия поперечногосечения всего пучка (с учетом конкретных условий обтекания крайних трубок)целесообразно в качестве критерия подобия выбирать безразмерную частотутvR , где V – среднее значение скорости в минимальном зазоре междуVтрубками типовой ячейки.Таким образом, матрица S(i0) определяется из эксперимента(физического или численного) по изложенному далее алгоритму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
