Численное решение терминальных задач управления для обратимых систем (1024983), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Будемполагать, что время маневра t∗ известно.Таким образом, требуется построить управление, переводящее летательный аппарат из заданного начального состояния(H0 , L0 , V0 , ϑ0 ), (nx0 , ny0 )(3.45)в заданное конечное состояние(H∗ , L∗ , V∗ , ϑ∗ ), (nx∗ , ny∗ )(3.46)за время t∗ , при наличии следующих ограничений на переменные состоянияḢmin < Ḣ < Ḣmax ,L̇min < L̇ < L̇max .(3.47)Выберем в качестве новых переменных, согласно (3.4), следующие функцииy1 = H,y2 = L,y3 = Ḣ = V sin ϑ,y4 = L̇ = V cos ϑ.(3.48)103Указанный набор переменных в области Ω ∈ R4 , заданной неравенствами|ϑ| < π2 , V > 0 определяет гладкую невырожденную замену переменных,поскольку старые переменные состояния выражаются через новые с помощьюсоотношенийH = y1 ,L = y2 ,pyV=y32 + y42 , sin ϑ = q 3.22y3 + y4(3.49)В выбранных переменных (3.48) система (3.44) примет канонический видẏ1 = y3 , ẏ = −g + g sin ϑn + g cos ϑn ,3xyẏ2 = y4 , ẏ4 = −g + g sin ϑnx + g cos ϑny .(3.50)Исключив из системы (3.50) переменные y3 , y4 и учитывая, что ÿ1 = Ḧ иÿ2 = L̈, получим следующую систему из двух дифференциальных уравнений2-го порядка: Ḧ = −g + gn sin ϑ + gn cos ϑ,xy L̈ = gnx cos ϑ − gny sin ϑ,(3.51)где sin ϑ = p Ḣи cos ϑ = p L̇.L̇2 + Ḣ 2L̇2 + Ḣ 2Изложенный в п.

3.6.1-3.6.2 метод позволяет строить фазовую траекториюудовлетворяющую наложенным ограничениям на фазовые переменные, являющуюся решением терминальной задачи для дифференциального уравнения2-го порядка. Движение ЛА в вертикальной плоскости, согласно (3.51), описывается системой из 2-х дифференциальных уравнений 2-го порядка. Формально предложенный в работе метод применить к (3.51) нельзя, посколькууправления nx и ny входят в правые части каждого из 2-х дифференциальныхуравнений 2-го порядка. Однако, учитывая, что следующая матрица является104невырожденнойA=sin ϑcos ϑcos ϑ − sin ϑ,можно ввести новые «виртуальные» управленияu1 = −g + gnx sin ϑ + gny cos ϑ,u2 = gnx cos ϑ − gny sin ϑ,в которых система (3.51) примет следующий вид: Ḧ = u ,1 L̈ = u2 .(3.52)(3.53)Решение поставленной терминальной задачи (3.45)–(3.47) для данной системы (3.53), при условии согласованности времени маневра t∗ с ограничениями(3.47), может быть получено, согласно п.

3.6.1. При этом управления nx иny выражаются через новые «виртуальные» управления (3.52) при помощиследующих соотношений: n = ( u1 + 1) sin ϑ + u2 cos ϑ,xgg ny = ( u1 + 1) cos ϑ − u2 sin ϑ,gg(3.54)где sin ϑ = p Ḣи cos ϑ = p L̇.2222L̇ + ḢL̇ + ḢМоделированиеМоделирование осуществлялось в среде Matlab. В качестве оптимизационного критерия рассматривалась абсолютная величина максимального значенияпрограммного управления nxJ(ε̃) = max(|nx (t)|)|ε̃∈Υ, t∈[0, t∗ ] → min,(3.55)где множество Υ задает допустимы значения параметров ε̃ = (ε+ , ε− , ε+0,−−ε+∗ , ε0 , ε∗ ).

Для решения оптимизационной задачи при наличии ограниченийиспользовалась функция среды fmincon. В качестве алгоритма численного105решения задачи использовался «Interior Point» алгоритм [76,77,92]. Отметим,что при нахождении программных управлений согласно (3.54) необходимостив вычислении sin ϑ и cos ϑ через функции L̇ и Ḣ в процессе моделирования нет,поскольку при интегрировании исходной системы (3.44) вычисляется текущеезначение угла ϑ.При моделировании использовались следующие граничные условияH(0) = 1000 м, L(0) = 0 м, Ḣ(0) = −3 м/с, L̇(0) = 90 м/с,H(t∗ ) = 100 м, L(t∗ ) = 20000 м, Ḣ(t∗ ) = −1 м/с, L̇(t∗ ) = 61 м/с,t∗ = 300 с.и ограничения на переменные состоянияḢ− (H) = −0.5 м/с,L̇− (L) = 55.6 м/с,Ḣ+ (H) = −4.5 м/с,L̇+ (L) = 194.4 м/с.Рис.

3.19. Фазовая траектория по высоте и ограничения на ḢНа Рис. 3.19-3.20 представлены, построенные согласно п. 3.6.1, фазовыетраектории по переменным состояния с учетом наложенных на них ограничений.Результаты моделирования, полученные путем интегрирования системы (3.44), представлены на Рис. 3.21–3.22.На Рис. 3.21 представлены106Рис. 3.20. Фазовая траектория по дальности и ограничения на L̇графики зависимости высоты от дальности до и после оптимизации.На Рис. 3.22 представлены графики программных управлений полученныедо и после решения оптимизационной задачи (3.55).Рис.

3.21. Зависимость высоты от дальности до и после оптимизацииВ результате решения задачи (3.55) максимальное абсолютное значениеуправления nx удалось уменьшить с 0.285 до 0.07, что соответствует уменьшению целевого критерия (3.55) в 4 раза.107Рис. 3.22. Программное управление до и после оптимизацииЗамечание 3.1. Приведенным выше граничным условиям на скоростьснижения Ḣ и линейную скорость L̇ соответствуют следующие граничныеусловия на путевую скорость V и угол наклона траектории ϑV (0) = 90.05 м/с, ϑ(0) = −1.91◦ , V (t∗ ) = 61 м/с, ϑ(t∗ ) = −0.94◦ .Выбор в качестве граничных условий наряду с высотой H и продольной дальностью L их производных, вместо используемых в (3.44) путевой скорости Vи угла наклона траектории ϑ, обусловлен их большей наглядностью в рассматриваемой задаче ввиду наличия ограничений именно на данные переменные.3.6.6. Пространственное движение летательногоаппарата при наличии ограничений на состоянияРассмотрим теперь более общую задачу автоматической прокладки пространственной траектории ЛА при наличии ограничений на переменные состояния, а именно на вертикальную скорость Ḣ, продольную скорость L̇ ибоковую скорость Ż летательного аппарата.

Будем полагать, что время маневра t∗ известно.108Таким образом, требуется построить управление, переводящее летательный аппарат из заданного начального состояния(H0 , L0 , Z0 , V0 , ϑ0 , ψ0 ), (nx0 , ny0 , γ0 )(3.56)при t = 0 в заданное конечное состояние(H∗ , L∗ , Z∗ , V∗ , ϑ∗ , ψ∗ ), (nx∗ , ny∗ , γ∗ )(3.57)за заданное время t∗ . при наличии следующих ограничений на переменныесостоянияḢmin < Ḣ < Ḣmax ,L̇min < L̇ < L̇max ,Żmin < Ż < Żmax .(3.58)Исключив из системы (3.6) переменные y4 , y5 , y6 и учитывая, что ÿ1 = Ḧ,ÿ2 = L̈ и ÿ3 = Z̈, получим следующую систему из трех дифференциальныхуравнений 2-го порядка: Ḧ1 = −g + v1 g sin ϑ + v2 g cos ϑ,L̈2 = v1 g cos ϑ cos ψ − v2 g sin ϑ cos ψ + v3 g sin ψ, Z̈3 = −v1 g cos ϑ sin ψ + v2 g sin ϑ sin ψ + v3 g cos ψ,Ḣ, sin ψ = − p Ż, cos ψ =22222Ḣ + L̇ + ŻL̇ + Żвая, что следующая матрица является невырожденнойsin ϑcos ϑ0B =  cos ϑ cos ψ − sin ϑ cos ψ sin ψ− cos ϑ sin ψ sin ϑ sin ψ cos ψ,где sin ϑ = p(3.59)p L̇.

Учиты22L̇ + Żможно ввести новые «виртуальные» управленияu1 = −g + v1 g sin ϑ + v2 g cos ϑ,u2 = v1 g cos ϑ cos ψ − v2 g sin ϑ cos ψ + v3 g sin ψ,u2 = −v1 g cos ϑ sin ψ + v2 g sin ϑ sin ψ + v3 g cos ψ,(3.60)109в которых система (3.59) примет следующий вид: Ḧ = u1 ,L̈ = u2 , Z̈ = u3 .(3.61)Решение поставленной терминальной задачи (3.56)–(3.58) для системы (3.61),при условии согласованности времени маневра t∗ с ограничениями (3.58),может быть получено, согласно п. 3.6.1. При этом управления v1 , v2 и v3выражаются через новые «виртуальные» управления (3.60) при помощи следующих соотношений (см.

(3.10)):(u + g) sin ϑ + u2 cos ϑ cos ψ − u3 cos ϑ sin ψv1 = 1,g(u1 + g) cos ϑ − u2 sin ϑ cos ψ + u3 sin ϑ sin ψv=,2g v = u2 sin ψ + u3 cos ψ ,3gа исходные управления nx , ny и γ могут быть получены по следующим соотношениям:nx = v1 , γ = arctan(v3 /v2 ), ny = v2 / cos γ.(3.62)МоделированиеМоделирование осуществлялось в среде Matlab. В качестве оптимизационного критерия, как и в предыдущем примере (3.6.5), рассматривалась абсолютная величина максимального значения программного управления nxJ(ε̃) = max(|nx (t)|)|ε̃∈Υ, t∈[0, t∗ ] → min,(3.63)где множество Υ задает допустимы значения параметров ε̃ = (ε+ , ε− , ε+0,−−ε+∗ , ε0 , ε∗ ). Отметим, что при нахождении программных управлений соглас-но (3.62) необходимости в вычислении sin ϑ, cos ϑ, sin ψ и cos ψ через функцииL̇, Ḣ и Ż в процессе моделирования нет, поскольку при интегрировании исходной системы (3.1) вычисляется текущее значения углов ϑ и ψ.110При моделировании использовались следующие граничные условияH(0) = 1000 м, L(0) = 0 м, Z(0) = 0 м,Ḣ(0) = −3 м/с, L̇(0) = 90 м/с, Ż(0) = 5 м/с,H(t∗ ) = 100 м, L(t∗ ) = 20000 м, Z(t∗ ) = 1000 м,Ḣ(t∗ ) = −1 м/с, L̇(t∗ ) = 61 м/с, Ż(t∗ ) = 5 м/с,t∗ = 300 с.и ограничения на переменные состоянияḢ− (H) = −0.5 м/с,L̇− (L) = 55.6 м/с,Ż− (Z) = 2.8 м/с,Ḣ+ (H) = −4.5 м/с,L̇+ (L) = 194.4 м/с,Ż+ (Z) = 41.7 м/с.Замечание 3.2.

Приведенным выше граничным условиям на скоростьснижения Ḣ, линейную и боковую скорости L̇ и Ż соответствуют следующиеграничные условия на путевую скорость V , угол наклона траектории ϑ и уголкурса ψ (см. замечание (3.1))V (0) = 90.19, ϑ(0) = −1.91◦ , ψ(0) = −3.18◦ ,V (t∗ ) = 61.21 м/с, ϑ(t∗ ) = −0.94◦ , ψ(t∗ ) = −4.68◦ .Результаты моделирования, полученные путем интегрирования системы (3.1),представлены на Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации