AOP_Tom1 (1021736), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Дифференцируя (8), находим В,„(х) = 2 ( )(гп — к)Вьх 1 =п7~ ( )Вьх = п7В„-1(х) (9) где В1 (х) — многочлен В1(х) = х — 1. Это и есть искомая формула, связывающая сумму с интегралом. Продолжая интегрировать по частям, можно получать более точные приближения.
Но прежде чем это сделать, рассмотрим числа Бернулли, которые являются коэффициентами следующего бесконечного ряда: х Вэгт ~ Вьхь — = Ве+В15+ ~ + (4) е' — 1 2! ~ !4! ь>о Коэффициенты этого ряда, которые встречаются во многих задачах, были введены Якобом Бернулли (Лас41цев Вегпои111) в работе Агэ Соп1есгалс!1, опубликованной после его смерти в 1713 году. Самое интересное, что почти в то же самое время данные числа были открыты и японцем Такакузу Секи (ТаЫ4ахп БеЫ) и впервые опубликованы в 1712 году, вскоре после его смерти. [См.
Та)га!4ави БеЫ'э Со!!есге4! И'ог)45 (Оэа14а, 1974), 39-42.] Имеем и, следовательно. при т > 1 можем проинтегрировать по частям: гп — 1/ В ((х))1' "п(х)!1х =,(В +1(ц1 (и) — В +1(0)1' (ц) гп — — / В„+1((х))~1-")(х) !х. ( 4-Ц)~, С помощью этого результата можно улучшить формулу (3) и, воспользовавшись (6), получи1ь общую формулу Эйлера ~ х()=~ х(*)(.--,У(.)-~())+уУ'()-х'())+" 1 в 1(1(п + ( ) (у )(п) — у )(ц) +я !и в, =,(' у(х) (х+ ~ ' — „', (у!'-')( ) — у!"-0(ц) + В „, (10) ! 1=! где Цтпь1 )п В „=, / В„((х))урп)(х)(х.
(1Ц Остаток В „будет мал при очень малых значениях Вп!((х))1'!!п)(х)/гп), и факти- чески можно показать, что для четного т (12) (См СМа!)1, 39 5.] С другой стороны, обычно оказывается, что при увеличении 1п функция 1! )(х) возрастает по модулю, поэтому существует "наилучшее" значение т, при котором )1г,пп! принимает наименьшее значение (если и фиксировано) Известно, что, когда т четно, существует число д, такое, что Н и = В "+' (у!"'О( ) - у1-")(ц), 0 < 6 < ! (т+ 2)' (13) Нп ! — — )пи+~ — ( — Ц ~ — „— 1)+Н в, (1и" 1=1 (14) Тогда "в, ) = !цп (Нп ! — !и и) = ~~! — ( — Ц" + )пп Атп и-~ж я и-~ос 1=! (15) при условии, чшо 1)~+~)(х) )'! +~)(х) > 0 для 1 < х < и.
В данном случае остаток меньше первого отбрасываемого члена и имеет такой же знак, как и у него Упрощенный вариант этого результата доказывается в упр. 3 А теперь применим формулу Эйл! ра к некоторым важным примерам Сначала положим Дх) = 1/х Производные будут иметь вид 11~) = ( — Ц т!/х +', поэтому согласно (10) получим Из того, что существует предел !пп„Н „= х ), В ((х)) с!х/х'"с1, следует, что существует константа 7. Тогда на основании (14) и (15) получаем общую приближенную формулу для гармоннческнх чисел: Н„! = !и и + 7 + ~ + )т ( — 1)1 !Вь Г~ В ((х))с!х ь=! ь =!пи+7+ ~ +О( — ).
' (-1)'-1В, 1 1=1 Заменив иг на тп + 1, получим (-1)"-'В„ Н„1 — — !пи+ у+~ „„+О( „,). !с=1 (16) Более того, нз (13) видно, что погрешность меньше первого отбрасываемого члена. В качестве частного случая (добавляя к обеим частям 1/и) получим 1 1 1 в Н„=!пи+ з+ — — — + — с, 0<е< — = 2и 12иг 120тИ бис 252ие !п(и — 1)! = и1пи — и+1 — — '!пи+ ~ ( — — 1) + Вввс.
(17) Вь( — 1)" т 1 г 2 1,(й Ц !1иь-! !<!бсср Продолжая рассуждения, как было показано выше, приходим к выводу, что предел Вь( — 1)1+! !пп (!пи! — и1пи+и — -'!пи) =1+ ~с + 1пп Нсв„ сс-ссср ь(ь 1) 1<Ь<т существует. Временно обозначим его через ст ("постоянная Стнрлнн!а").
В результате получим приближенную формулу Стнрлннга Вь( — 1)' 7 1 !пи! =(и+ -')!пи — и+о+ ~~с +О( — ), (18) г Ц! 1) 1 — 1 ( ипс/ ! <1<сп В частности, положим ти = 5. Тогда 1 1 т11 ! и и! = (и + ! ) ! и и — и + ст + — + 0 ( — ) . г 12и 360из (,иь~' И теперь после потенцнровання обеих частей находим: ю=:, (") ..р( — ', ° ср( —;)). Это соотношение 1,2.7-(З). Для больших й числа Бернулли Вь становятся очень большими (прнблнзнтельно ( — 1)1+"тг2(!с)/(2я)"), если !с четно), поэтому нн прн каком фиксированном значении и ряд, полученный нз (16), прн ти -+ со сходиться не будет. Данный метод можно применить и для вывода приближенной формулы Стнрлинга. На этот рвз положим /(х) и !их и нз (10) получим Воспользовавшись тем, что е< = у/2х (см.
упр. 5), и разложив экспоненту в ряд, получим окончательный результат: — ~п~о( 1 1 139 571 71~~ 1 е / у 12п 288пг 51840пз 2488320п" у пз // ' УПРАЖНЕНИЯ 1. [М78] Докажите соотношение (7). 2. [НМ90] Заметьте, что формула (9) следует из (8) для любой последовательности В„, а не только для той,которая определяется соотношением (4). Объясните, почему использование последней является необходимым условием справедливости соотношения (10).
3. [НМ90[ Пусть С = (( — 1) В, /т!)(/~ 0(п) — /1ю 0(1)) — т-й корректирующий член в формуле суммирования Эйлера. Считая, что функция /1 ~(х) имеет постоянный знак на промежутке 1 < х < и, докажите, что [Ню [ < ]Сю„[ при гл = 27г > О; другимн словами, покажите, что значение остатка по модулю не больше значения последнего вычисленного члена 4.
[НМ90] (Суммы степеней.) Если /(х) = х~, то все производные функции / порндка т+ 1 и выше равны нулю, поэтому формула суммирования Эйлера дает щочное значение суммы Я~(п) = ~~ к'", о<ь< выраженное с помощью чисел Бернулли (Именно изучая суммы Я (и) для гл = 1, 2, 3, ..., Бернулли и Секи пришли к открытию этих чисел.) Представьте Я (и) с помощью многочленое Бернулли Проверьте полученный результат для гл = О, 1 и 2.
(Обратите внимание, что суммирование в искомой сумме выполняется по О < й < п, а не по 1 < й < и; в формуле суммирования Эйлера единицу везде можно заменить нулем.) б. [НМЯО) На основании формулы и с помощью произведения Баллиса (упр. 1.2.5 — 18) покажите, что к = з/2тг. [Указание. Рассмотрите (з") для больших значений и ] 8. [НМЯ0] Покажите, что приближенная формула Стирлинга справедлива также для нецелых значений и Гь )= 2 (-) (1 О(-)), *»О. [Указание. Б формуле суммировании Эйлера положите /(х) = 1п(х+ с) и воспользуйтесь определением Г(х),которое дано в разделе 1.2.5.] 7.
[НМЯЯ] Чему равно приближенное значение 1'2 3 .. и"? 8. [МЯЯ] Найдите асимптотическое представление для 1п(ап~+бп)' с абсолютной погрешностью О(п г) Боспользу йтесь полученным результатом для нахождения аснмптотического представления для (', ") /с" ("„) с относительной погрешностью О(п ~), где с — положительная константа Б данном случае под абсолютной погрсщностпью понимаем такое с, которое удовлетворяет соотношению (точное значение) = (прнблнженное значение) +с, а под относительной погрешносщью — <, удовлетворяющее соотноше)зию (точное значение) = (приближенное значение)(1+ е). 9. (Мвг) Найдите асимптетическое представление Лля (г") с относительной погрешностью порядка О(п г) двумя способами.
(а) с помощью приближенной формулы Стирлинга; (Ь) с помощью упр. 1.2.б — 47.й формулы 1.2.11.1 — (16). и — 1 и — 2 п — 2 " (и — й)ь(п — )г)! Р(п) =1+ + — +. и п и — 1 п! в=о и Я(п)=1+ + + ь=! (2) п и и у п)пь Л(и) = 1+ + +" =~ и+1 и+1 и+2 х~ (и+к)! (3) Эти функции, на первый взгляд, похожи, но на самом деле в корне отличаются одна от другой. Они возникают в некоторых алгоритмах, которые будут рассмотрены несколько позже. И Р(и), и 1,1(п) — конечные суммы, в то время как Л(и)— бесконечная сумма. Может показаться, что при больших и значения всех трех сумм будут практически одинаковы, хотя совсем не очевидно, каким будет приближенное значение кагюдой из них в отдельности.
В процессе поиска приближенных значений этих функций мы получим ряд очень поучительных побочных результатов. (Если хотите, можете временно прекратить чтение и попытаться самостоятельно исследовать эти функции, прежде чем вернуться к книге н выяснить, как с ними поступим мы.) Прежде всего отметим важную связь между Фп) и Л(и): еч+г~.)= — ".((" "+ " „)+("— ,+," „+ ")) п~ сн (4) Формула Стнрлинга говорит о том, что пуе"/п" приближенно равно у/2кп, поэтому можно догадаться, что каждая из функций Я(п) и Л(п) приближенно равна у/кп/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
