AOP_Tom1 (1021736), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Покажите, что распределение, соответствующее С (с), стремится к нормальному распределению. Замечание. Можно показать, что данное здесь определение стремления к нормальному распределению эквивалентно следующей формуле: !пп верея~ность ( < х/ = — / с д4, /Մ— д„Л ! /* «О ,2. l где ˄— случайная величина, распределение вероятностей которой задается с помощью С„(с). Это частный случай важной "теоремы непрерывности" П. Леви (Р. Ьечу), которая является одним из основных результатов математической теории вероятностей.
Доказательство теоремы Леви выходит за рамки данной книги, хотя оно не такое уж сложное [см.«например, книгу Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова, Предельные распределения для сумм независимых случайных величии (Мл Гостехиздат, 1949)[. 14. [НМЯ0) (А. де Муавр.) Пользуясь обозначениями из предыдущего упражнения, покажите, что биномиальное распределение С (х), заданное формулой (18), стремится к нормальному распределению. 15. [//МЯЯ[ Если вероятность того,что некоторая случайная величина принимает значение /с, равна е "(/« /й«)*, то говорят,что она имеет распределение Пуассона со средним д. а) Найдите производящую функцию для этого распределения вероятностей.
Ъ) Найдите значения семиинвариантов. с) Покажите.что прн и ч оо распределение Пуассона со средним пр стремится к нормальному распределению в смысле упр. 13. 16. [Мдд) Пусть распределение случайной величины Х является смесью распределений, порожденных функциями д«(х), дг(с),, д,(с), в том смысле, что распределение Х с вероятностью рь совпадает с распределением случайной величины, соответствующей производящей функции дь(х), где р«+ рг + + р = 1. Найдите производящую функцию для Л' Выразите среднее и дисперсию Х через средние и дисперсии д«, дю ..., д„.
ь 17. [М87) Пусть /(х) и д(с) — производящие функции, которые соответствуют некоторым вероя гностным распределениям. а) Покажите, что И(с) = д(/(с)) — тоже производящая функция, соответствующая некоторому вероятностному распределению. Ь) Дайте интерпретацию И(х) в терминах /(с) и д(х). (Каков смысл вероятностей, заданных коэффициентами разложения И(х)?) с) Выразите среднее и дисперсию И через средние и дисперсии / и д.
18. [Мдд[ Предположим. что величины, которые мы обозначили через Л'[1[, Х[2],..., Х[п[ в описании алгоритма М, содержат ровно И«единиц, Из двоек, ..., /с чисел ««, расположенных в случайном порядке. (Здесь И! +12+ +)г„= и. В тексте предполагалось, что И« —— Из = . —— И = 1.) Покажите, что в этой более общей ситуации производящая функция (8) будет иметь вид если принять, что О/О = 1.
и > Π— -при.м. ред. 19. [М21) Если ав > аг для 1 < 1 < Ь, будем говоритвч что аь — это максимум слева направо последовательности аг ав .. а„, Предположим, что аг аг ... а — это перестановка чисел (1,2,. «,и), и Ьг Ьв ... ܄— обратная перестановка, так что аь = 1 тогда и только тогда, когда Ьг = Ь. Покажите, что аь является максимумом слева направо последовательности аг аг ... а„тогда и только тогда, когда й — это максимум справа налево последовательности Ьг Ьв ... Ь . ь 20. [М28[ Предположим, нужно вычислитыпах([аг — Ьг[, [ав — Ьг[,...,[а„— Ь„[), где Ьг < Ьг « Ь .
Покажите, что достаточно вычислитыпах(гпы тя), где пес = щах(аь — Ьь [ аь — максимум справа налево последовательности аг, аг ... а„), тя = гпах(Ьь — аь [ аь — минимум справа налево последовательности аг, аг .. ая) . [Таким образокц если аг расположены в случайном порядке, то число таких Ь, для которых необходимо выполнить вычитание. приблизительно равна 2 )и и.) ь 21. [НМИ [ Пусть монета бросается наудачу и рач и Х вЂ” число выпадений "орла" в этой серии испытаний. Распределению вероятностей дни Х соответствует производящая функция (18).
Воспользуйтесь (25) для доказательства того, что Рг(Х > п(р + е)) < е ' "~~~в~, где е > О, и получите аналогичную оценку для Рг(Х < п(р — е))*. ь 22. [НМ28) Предположим, что Х имеет производящую функцию (Ог+ргг)(уг+ргв) (д + р в), где рь+аь =1длв1 < 6 < и. Пусть у=ЕХ=рг+рг+ +р„. (а) Докажите, что Рг(Х < рг) < (г 'е' )', когда О < г < 1, Рг(Х > рг) < (г 'е' ')", когда г > 1.
(Ь) Выразите правые части этих оценок в более удобном виде, когда г 1 (с) Покажите, что если г достаточно большое, то имеем Рг(Х > рг) < 2 23. [НМ23) Укажите неравенства для хвостов распределений для случайной величины, имеющей отрицательное Ьиггомиальиое распределение, т. е. распределение, которому соответствует производящая функция (а — ря) ", где о = р+ 1. в1.2.11. Асимптотическме представления Во многих случаях для того, чтобы сравнить одну величину с другой, достаточно знать не точные, а приближенные их значения.
Например, формула Стирлинга для и! — это удобное приближение подобного типа для болыпих и; мы пользовались также приближением Н„ж )пп + ч. Прн выводе подобных асимппгоглических Формул обычно используются методы высшей математики, но в следующих разделах для получения нужных результатов мы не будем выходить за рамки элементарной математики.
в1.2.11.1. Символ О. Поль Бахман (Рац! Вас!цпапп) в книге Апа)усгэг)ге ЕаЫепсИеогге (1894 г.) ввел очень удобное обозначение для использования в приближенных формулах. Это символ О, который позволяет заменить знак "=' знаком '=" и количественно выразить степень точности, например ч Здесь р — вероятность того, что выквдеч "орел", в д = 1 — р, — Лрим. ред.
(Читается эта запись так: "Н„равно натуральному логарифму от и плюс постоянная Эйлера плюс о большое от единицы на и".) Вообще говоря, каждый раз, когда д(и) является функцией от положительного целого и, можно использовать запись 0(д(и)); она обозначает величину, тиочное значение конторой неизвестно, и известно только, что ее значение не слишком великое. Запись 0(д(и)) всегда обозначает следующее: существуют положительные константы М и тнь такие, что величина х„, представленная в виде 0(Д(и)), удовлетворяет условию (х„( ч М (д"(и)( для всех целых л ) ие. Мы не можем сказать, накввм на самом деле эти конгтанты М и иш так как в каждом случае они зависят от соотношения, в котором использован символ О.
Например, соотношение (1) означает, что (̈́— (пи — з( < М/и, когда и > ио. Хотя значения констант М и ио не указаны, мы можем быть уверены, что для достаточно большого и величина О(1~и) будет сколь угодно малой. Рассмотрим еще несколько примеров. Мы знаем, что 1 + 2 + + л зи(т'+ й)(и+ 1) зтт + зл + еи' Отсюда следует, что 1з + 2'+ " + и' = 0(и4) 1з+2'+ +из=О(из), 1з 22 +...
+ из = 1 из + О(из) (г) (3) (4) (Р(и)( < (ао(+ (аз/л+ . +(а„,(п = (!ар//им+ (а !/ию т (, ( () пъ ~ (/ао(+ !ат/+ + /а /)ите, где п > 1. Поэтому можно взять М = (ав(+ (ат(+ + (а / и лв = 1. Можно было бы взять также, скажем, М = (аз(/2™+ (ат(/2 '+ + /а„,! и ло — — 2. Символ 0 очспь полезен в работе с приближенными формулами, так как позволяет кратко описать суть дела, опустив ненужные детали. Более того, с символами 0 можно выполнять хорошо известные алгебраические операции, хотя нужно иметь в виду некоторые особенности. Самый важный момент заключаетгя в вднастпоронности равенств: мы пишем 1из+ и = 0(лз), но ни в коем случае не 0(лз) = ~и~ + и. (В противном случае, так как -„и = 0(те~), можно прийти к полному абсурду, получив равенство —,'из = -'и + и.) Мы всегда следуем соглашению, что правая часть равенства несет не больше пнформацшт, чем левая; правая часть— зто "огрубление" левой.
Соглашение но поводу использования знака "=" можно более точно сформулировать следующим образом; формулы, содержащие запись 0(д(и)), можно рассматривать как множества функций от л. запись 0(д'(тт)) обознанает множество всех * По сравнению с Ни) — Прим ред. Соотношение (2) ~ос таго*шо грубое, хотя н правильное. Соотношение (3) является более сильныч, а (4) — еще сильнее. Чтобы подтвердить правильность этих соотношений, докажем, что еалп Р(л) = ав+ати+.
+а ию — -произвольный многочлен степени, меньшой нлн рашюй ит, то Р(л) = 0(и'"). Это вытекает из следующих оценок: У(п) = 0(~(п)), (5) с 0(1(п)) = Офп)), если с — константа, (б) О (~(п)) + 0(/(п)) = Офп)), (7) 0(0(7(п))) = 0(1(п)), 0(1(п)) 0(д(п)) = 0(7(п)д(п)), 0(У(п)д(п)) = 1(п)0(д(п)). (8) (9) (10) Символ 0 также часто используется с функциями комплексного переменного х в окрестности точки х = О Через 0(Дх)) мы обозначаем любую величину д(х), такую, что )д(х)! ( М(~(х)( при ф < г (Как и прежде, М и г — это некоторые неопределенные константы, хотя мы ма|ли бы определить их, если бы захотели.) Применительно к 0-звписи всегда должны указываться использ1емая переменная и область ее изменения.
Если у нас переменная п, то неявно предполагается, что в записи Офп)) подразумеваются функции от большого целого п Если же используется переменная х, то предполагается, что 0(7(х)) относится к функциям малого комплексного числа х. Предположим, что д(х) — это функция, заданная бесконечным степенным рядом д(х) = ~~~ аьх~, ь>о сходящимся в точке х = хо. Тогда сумма абсолютных значений ~ь>о (аьх ~ сходится также при )х) ( (хо!. Если хо ф О, то можно записать д(х) = ао+ а1х+ +а„,х +0(х ~~) Так как д(х) = во+ а1х+ + а,„хм + х~'ь~(а„,.ь1+ а,„ьзх+ . ), нужно только показать, что величина в скобках ограничена прн ~х~ < г, где г — некоторое положительное число Действительно, величина 1а +~)+ ~а +з(г+ ~а ьз(г~+ .
является ее верхней гранью при )х! ( г < )хо(. функций д от целых чнселвдля которых существуют константы М и по, такие, что (д(п)( < М (/(п)~ для всех целых п > по. Если Я и Т вЂ” множества функций, то 8+Т обозначает множество (д+ А ( д й о н й й Т); аналогично определяются множества 5+с, Б — Т, о. Т, 1ой Я и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
