AOP_Tom1 (1021736), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Эти специальные функции могут быть очень полезны в сочетании с операциями., описанными выше. Ниже приведены самые важные случаи разложения в степенной ряд. !) Биномиальнал теорема. г(г — 1) 2 I их (1+2)'=1+ге+ 2 + = ) ~ )2~. 2 !)с) (19) з>о Если г — неотрицательное целое число, то получаем частный случай, который уже отражен в соотношениях (5) и (16): '.- =к( ". ') — '=к("'.")" Существует также обобщенная формула, доказанная в упр.
1.2.6 — 25: г(г — 21 — 1) 2 Гг — й!! ,т' = 1+,гз+ й у-и 2+ з~~ 3. (2)) з>о (20) Сопоставляя (17) и (7), найдем производящую функцию для последовательности гармонических чисел; здесь х — непрерывная функция от г, которая является решением уравнения хь'г = х~+х, гдех=1 при х =О. 0) Эксноненииальный ряд. г чй ! й ехрг ее ы 1+с+ гг+ г гй й>о (22) В общем случае имеем следующую формулу, содержашую числа Стирлинга: (е' — 1)" = г" + — ( )х"+' + = и! ~ ~( ~г~/И.
(23) ш) Логарифмический ряд (см. (17) и (18)). 1г1зт(1)й !п(1+ х) = г — — г + -г 3 -2- й>1 (24) 1и( — ) = ~~~ (Нн.йй — Н,п)( ) е . й>1 (25) С помощью чисел Стирлинга можно получить более обшее соотношение (как в (23)): (!и — ) = "+ — [ ]г"+'+ =и!~ [ ]гй/!с!. (26) -кб" (27) г(г + 1) ... (х + и — 1) (28) (1 — г)(1 — 2г) ...
(1 — пг) 1 1 г т Вйг + г+ е* — 1 2 12 л !е! й>с (29) КоэФфициенты Вй в последней формуле — это числа Бернулли; более подробно они будут обсуждаться в разделе 1.2.11.2. Таблица чисел Бернулли приведена в приложении А.
Следующее тождество, аналогичное (21), будет доказано в упр. 2.3.4.4 — 29: г(г + 2г) г,~ г(г + И)й ' х" = 1+ ге+ 2 ~ !е! й>о (30) здесь х — непрерывная функция от г, которая является решением уравнения х = е'*., где х= 1 при с=0. Важные обобщения формул (21) и (30) обсуждаются в упр. 4.7-22. Еще более обобщенные формулы, включающие суммы гармонических чисел, можно найти в статьях В. А. 2аче, 1пХ. Ргос, Бепеге 5 (1976), 75 — 77; 3. Яр!е0, Май. Сотр. 55 (1990), 839-863. К) Другие ряды. с.
представление коэффициента. Для коэффициента при 2" в выражении для С(2) часто удобно использовать запись (31) например, если с(2) — производящая функция, определяемая формулой (1), то [2"]С(2) = а„и [2"]С(2)/(1 — 2) = 2 'ь евы Одним из самых фундаментальных результатов теории комплексного переменного является формула О. Л. Коши (А. 1. СацсЬу) [Ехегс1см с1е Маг)2. 1 (1826), 95 — 113 = (Еи1тев (2) 6, 124-145, Е11. (11)], по которой любой нужный коэффициент можно представить в виде интеграла по контуру [ ь]С( ) 5 (2) 2я1 /~ ~ 2л.т-1 (32) если С(2) сходится для 2 = 2е н 0 < г < [2е[. Главная идея состоит в том, что интеграл у,, 2 122 равен нулю для всех целых п2, за исключением т = — 1, когда интеграл равен к гя (ге' ) Й(ге1 ) =1 ~ Пу = 2211. Рассмотрим общий случай.
Пусть есть и чисел х1,хз,...,з„и нужио найти сумму Ь = ~ х, х, (33) 1<и<" <у,п Требуется, если возможно, выразить эту сумму через Я1, 32, ..., Я, где л Я = ~~~ Х21 2=1 (34) представляет собой сумму 1-х степеней. Используя эту более компактную запись, можно переписать приведенные выше формулы следующим образом: пз = ео1+ 2о1о2+ зоз ог = йо1+ зо2; 1 2 1 Чтобы решить задачу, рассмотрим производящую функцию С( ) 1+5 +5 2+ ~ ~~5 ь ь>о (35) Формула (32) особенно важна в случае, когда мы хотим изучить поведение коэффициента. И в заключение раздела вернемся к задаче, которая была лишь частично решена в разделе 1.2.3.
Из формулы 1.2.3 — (13) и упр. 1.2.3 — 29 следует, что Согласно правилу умножения рядов находим С(з) = (1+ х~з+ х~з + .)(1-~-хтз-~-хзх -)- )... (1+ хне+ я„з + '' ) (36) (1 — х~з)(1 — хэз)... (1 — х з) (пС(г) = 1и ~- . + 1и 1 1 1 — я~х 1 — х„з (37) Таким образом, мы выразили 1п С(з) через оы и > 1. Теперь для получения окон- чательного ответа осталось найти разложение С(х) в степенной ряд с помощью (22) и (9); Я„~~ т з-"ь С(х) = е" 66 = ехр(® — ) = Пез"' ~ й )- ь>1 ь>1 ,к сэхз;, с г стза — ~1+Я~я+ ~ + ) (1+ — + ~ + 2! ) 1, 2 2з 2! гах,ф 1ь'1~! 2~гЦ! пт" й„,!! >о ь„ь„ я >о (38) ь~-~-эь~.ь -~-~и/с =п~ Величина в круглых скобках — й .
Эта внушительная сумма при внимательном рассмотрении оказывается не такой уж сложной. Число членов для конкретного значения гп равно р(гп), т. е. числу разбиений т (см. раздел 1.2.1). Например, одним из разбиений числа 12 является 12=5+2+2+2+1; это соответствует некоторому решению уравнения й~ + 2йз + .. + 12йш — — 12, где й, — количество слагаемых в разбиении, равных у. В нашем примере 1з = 1, кз — — 3, lсь —— 1, а все остальные Й равны нулю, поэтому получаем член ~1 92 95 1 3 ~18 ~э~ 1)1~ 2з3~ У1' 240 который является частью выражения для Л~т.
Дифференцируя (37), нетрудно получить рекуррентное соотношение й» = Ф))~а-1 + Й)~п-т + ' ' ' ь 8пЫ 1 (39) Замечательное введение в теорию применений производящих функций можно найти в книге С. Рб!уа, Оп р!с1иге нпг1пя, АММ 63 (1956), 689-697; этот подход Таким образом, С(г) — это величина, обратная многочлену. Во многих случаях бывает полезно прологарифмировать произведение; сделав это и воспользовавшись фоРмулой (17), получим был использован в СМасЬ, С)»арсег 7. [См. также книгу Н, Б. %И(, Сепегаг)щуипс- сюпо)ойу, весопг) е»1)сюп (Аеас)еппс Ргевз, 1994).] Производящая функция — зто бельевая веревка, на которую мы вывешиваем последовательность чисел для всеобщего обозрения — Г. с. Вильф (н. 5.
»Ьп».е) (1989) УПРАЖНЕНИЯ 1. [М12] Найдите производящую функцию для последовательности 2, 5, 13, 35,... (2" + 3"). ° 2. [М15) Докажите формулу (11). 3. [НМ21] Продифференцируйте производящую функцию (18) для последовательности (Н„) и сравните результат с производящей функцией для последовательности (2."» Н»), Какую связь между ними вы обнаружили? 4, [М01) Объясните, почему (19) является частным случаем (21). 5. [М20] Докажите (23) индукцией по и ° 6.
[НМ15] Найдите производящую функцию для последовательности продифференцируйте ее и выразите коэффициенты через гармонические числа. Т. [М15] Проверьте все этапы вывода соотношения (38) 8. [М25] Найдите производящую функцию для последовательности р(п) — числа разбиений целого и. 9. [М11) Используя обозначения из соотношений (34) и (35), выразите Ь» через 5», Эт, Эз и 54 ь 10. [М25] Элементарнал симметричная функция определяется по формуле а = ~ х,„.;г »бл«» < (Это то же самое, что н Ь из (33), только при суммировании не допускается равенство индексов) Найдите производящую функцию для последовательности а и выразите ам через Эм определяемые формулой (34) Выпишите формулы для аы аъ аз и а» ь 11.
[М25] Соотношение (39)' можно также использовать для того, чтобы выразить 5» через Ь» находим Э» = Ьы Б» = 2Ь» — Ь», Эз = ЗЬ» — ЗЬ»Ь» + Ьз» и т д Чему равен коэффициент при 5»'Ь»' Ь» в таком цредсталлении Э, если /с»+22»+ +п»Ь = тич ь 12. [М20] Пусть у нас есть последовательностьс двумя индексамиа „, где и», и = О, 1, Покажите, что эту последовательность можно представить с помощью одной производящей функции двух переменных, и найдите производящую функцию для последовательности а =(") 13. [НМ22] Преобразоеанаем Лапласа функции 1 (х) называется»з»ункция Пусть ае,алас, ..
— бесконечная последовательность, производящая функция которой сходится, и пусть 1(х) ступенчатая функция 2 аь [О < 1с < х], Выразите преобразование Лапласа функции 1(х) через производящую функцию С заданной последовательности. 14. [НМ21] Докажите соотношение (13). 16. [М22] Рассмотрим функцию Н(щ) = 2" >о С„(х)щ". Найдите замкнутую форму для производящей функции 1 1 1 1 1 1 л 1 — — + — — — + =!п2; 1 — — + — — — +. 2 3 4 ' 3 5 7 4' 1 1 1 сс~/3 1 1 — — + — — — + .= — + — !п2 4 7 10 9 3 С помощью определения данного в ответе к упр. 1.2.7 — 24, эти ряды можно переписать ственно 1 2 1 1 1 — — Нс1г' — — — Нмс + -Нэ1а, 2 ' 3 4 4 Докажите, что в общем случае значение Н>1с равно следующим образом соответ- 3 1 4 6 1 Нс1е + Нэ1э, 6 я я !э < 2р(с . 2 — — — со!-я — !п29+2 > соэ — л !пэ!и — я 2 Р Ч о<ь<ссэ где р и д †целые числа 0 < р < 9 [Указание, По теореме Абеля эта сумма равна С помощью соотношения (13) выразите этот степенной ряд таким образом, чтобы можно было вычислить предел ] 20.
[М21 ] Для каких коэффициентов с ь справедливо равенство л х"=~ с ьх1'(1 — х) ? »>о э=о 16. [М22] Найдите простую формулу для производящей функции С„,(х) = Яь а ь,х, где а ь, — количество способов выбора?с объектов из и лри условии, что каждый обьект можно выбрать максимум г раз. (При г = 1 получаем ("„) способов, а при г >?с — число сочетаний с повторениями, как в улр 1 2 6-60.) 17. [М25] Найдите коэффициенты в разложении функции 11'(! — х) в двойкой стеленной ряд по э и ш ° 18.
[М25] Для заданных положительных целых чисел и и г найлите простые формулы длЯ следУющих сУмм: (а) Я,«„«„< ?сс/сг .1с„, (Ь) 2',«„«ь <„(сс(сэ ..?с„. (Нацример, для и = 3 и г = 2 эти суммы соответственно равны 1 2+ 1. 3+ 2 3 и 1 1+1.2+1 3+2 2+2.3+3 3) 19. [НМ32] (К Ф Гаусс (С Е Сапы), 1812 ) Хорошо известны суммы следующих бесконечных рядов; 21. [нмдд] найдите производящую функцию лля последовательности (и!) и исследуйте свойства этой функции. 22. (Мв1) Найдите производящую функцию С(з), для которой 23.
[МОЯ] (Л. Карлитц (1,. Сагрлз).) (а) Докажите, что для всех целых чисел гн > 1 существуют многочлены / (зм...,з ) и д (зм...,з,„), такие, что формула =/ (вн " )" "д (з»",з )' превращается в тождество для всех целых чисел н > г > О. (Ь) Обобщая упр. 15, найдите замкнутую форму для суммы Е („'„)(„'„,) („":„,) ~'" Ф выразив ее через функции /~ и д~ из п. (а). (с) Найдите простое выражение для о„(зм..., з ), если щ = = з = а 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
