AOP_Tom1 (1021736), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Числа Стирлинга первого рода [Д также имеют комбинаторную интерпретацию, которая будет подробно рассмотрена в разделе 1.3.3: Ц вЂ” это число перестановок п букв с й циклами. В табл. 2 представлены треугольники Стирлиша, в некоторых отношениях аналогичные треугольнику Паскаля. (54) (55) Ц )(т+ 1)" = ( ). (56) Другие фундаментальные тождества, связанные с числами Стирлинга, приведены в упр. 1.2.6-61 и 1.2.7-6 и в разделе 1.2.9 (соотношения (23) и (26)-(28)).
Тождество (49) — это только один пример общей закономерности: числа Стирлинга [„" 1 и („" 1 являются многочленами от п степени 2т, где т — пеотрицательное целое число. Например, для т = 2 и ш = 3 получим следующие формулы: Поэтому имеет смысл определить числа [„" ] и („" ) для произвольных дей- ствительных (или комплексных) значений г. Используя это обобщение, получаем следующую интересную связь между числами Стирлинга двух родов: (58) Такая связь называется законом двойственности, который содержался в неявной форме в оригинальных выкладках Стирлинга. Более того, соотношение (45), в це- лом, остается справедливым в том смысле, что бесконечные ряды (59) сходятся, когда дайствительная часть г положительна.
Вторая формула, т. е. (44) аналогичным образом обобщается на случай асимптотических (но не сходящихся) рядов: [ ~( — 1)~г" ~+0(з' ), а=о (60) (См. упр. 65.) В разделах 6.1, 6.2 и 6.5 СМаС!1 содержится дополнительная инфор- мация о числах Стирлинга и о том, как оперировать ими в формулах. См. также упр. 4.7 — 21, в котором будет рассмотрено общее семейство тпеэтольников, включа- ющее числа Стирлинга в качестве частного случая.
УПРАЖНЕНИЯ 1. [00] Сколько существует сочетаний из и по и — 1? 2. [00] Чему равно (о)? 3. [00] Сколько существует различных способов сдать карты одному игроку во время игры в бридж (13 карт из колоды, состоящей нз 52 карт)? 4. [10] Представьте ответ к задаче 3 в виде произведения простых чисел. 5. [05] С помощью треугольника Паскаля объясните тот факт, что 11 = 14б41. ° б.
[10] Треугольник Паскаля (см. табл. 1) можно продолжить во всех направлениях с помощью формулы сложения (9). Добавьте к табл. 1 три строки сверху (т. е. для г = -1, -2 и -3). 7. [73] Если и — фиксированное положительное целое, то при каком з1заченни ?с (,",) принимает максимальное значение? 3. [00] Какое свойство треугольника Паскаля отражено в "свойстве симметрии" (б)? О.
[01] Чему равно [„") 7 (Рассмотрите все целые и.) ° 10. [М85] Пусть р — простое число. Покажите следующее. а) ( ) щ Я (по модулю р). ь) ( ) ьнО(помодулюр) для 1 < 5 < р — 1. /р1 Ы— с) ( ) ея ( — 1) (по модулю р) для О < /с < р — 1. ур -11 б) ( ) в О (по модулю р) для 2 < Ь < р — 1. ур+11 ~ Ь!— е) (Э. Люка (Е. 1.псав), 1877.) ( ) и ( ) ( ) (помодулюр).
1) Если в системе счисления с основайием р числа и и Ь представляются в виде то ( )=( ")...( ')( ) (помадулюр). ь 11. [М20] (Э. Куммер (Е. Кппнпег), 1852.) Пусть р — простое число. Покажите, что если р" делит (а+Ь) а р"~~ — нет, то и равно числу переносов, которые выполняются при сложении чисел а и Ь в системе счисления с основанием р. [Укаэаков. См. упр. 1.2.5 — 12.] 12.
[М32] Существуют ли целые положительные числа и, для которых все ненулевые элементы в и-й строке треугольника Паскаля являются нечеткими? Если да, найдите все такие и. 13. [М13] Докажите формулу суммирования (10). 14. [М31] Вычислите сумму 2 ~ Ь~. 15. [М15] Докажите биномиальную формулу (13). 16. [М15] Для положительных целых и и Й докажите свойство симметрии ь 17. [М10] На основании соотношения (15) и тождества (1 + х)"+* = (1 + х)" (1 + я)' докажите формулу Чжу-Вандермонда (21). 18. [М15] На основании соотношений (21) и (6) докажите (22). 19. [М10] Докажите (23) по индукции. 20. [М00] Докажите (24) с помощью (21) и (19), а затем покажите, что еще одно применение формулы (19) дает (25).
ь 21. [МОБ] Обе части равенства (25) — это многочлены по э; почему это равенство не является тождеством по в? 22. [МЯ0] Докажите (26) для частного случая в = и — 1 — г + ой 23. [М1Я] Предполагая, что (26) выполняется для (г, а, Ф, и) и (г, в — 1, 1, и — 1), докажите его для (г, э+ 1, 1, и). 24. [М15] Объясните, как объединить результаты двух предыдущих упражнений для доказательства (26). 25. [НМЯО] Пусть многочлен А (х,г) определяется формулой (30). Пусть а = к'+' — х'. Докажите, что 2 ь Аэ(г,г)а~ = х", если а достаточно мало. [Замечание.
При 1 = 0 этот результат, по существу, совпадает с биномиальной теоремой, поэтому приведенное соотношение является важным обобщением биномнальной теоремы. При доказательстве тождества биномиальную теорему можно считать известной.] Указание. Начните с тождества (-1) (.)( к ) — „, =оьо 26. [НМ25] Используя предположения нз предыдущего упражнения, докажите, что 27.
[НМ81[ Решите задачу из примера 4, приведенного в тексте раздела, используя результат упр. 25, и на основании двух предыдущих упражнений докажите (26). [Указание. См. упр. 17.] 28. [МЯ5] Докажите, что (г+сй) (э — С?с) ~- (г+ а — ?с) а а>о если и — неотрицательное целое число, 29. [М00] Покажите, что тождество (34) — это просто частный случай общего тождества, доказанного в упр.
1.2.3-33. ь ЗО. [М04] Покажите, что существует более удачный (по сравнению с приведенным в тексте раздела) способ решения примера 3, который состоит в преобразовании суммы с при- менением соотношения (26). ь 31. [М00] Выразите сумму (гп — г 4-в) (и+ г — в) ( с+ й ) через г, н т и и, 'если т и и — неотрицательные целые числа.
Начните с замены 32. [М20] Покажите, что ~,[,",]яь = х", где х" — возрастающая факторнальная степень. определенная формулой 1.2 5-(19). 33. [М20] (Сумма Каиеллп ) Покажите, что биномиальная формула справедлива и в том случае, когза в ней вместо обычных степеней фигурируют возрастающие факториальные степени, т.
е. докажите тождество (х + у)" = 2'„("„) т у" 34. [М2Э) (Сумма Торелли ) В свете предыдущего упражнения покажите, что обобщение Абеля (16) для биномиальной формулы справедливо также для возрастающих степеней: ( +у)я=Я'„')*(.-й.+ )"='(у+у )"=' 35. [М2Э] Выведите формулы сложения (46) для чисел Стирлинга непосредственно из определений (44) и (45). 36.
[М10] Чему равна сумма 2„, (,") чисел каждой строки треугольника Паскаля? Чему равна сумма этих чисел, взятых с чередующимися знаками, 2 ь (~~)(-1)" о 37. [М10] Используя результаты предылущего упражнения, вычислите сумму элементов строки, взятых через один: („) + ( ) + (4) + 38. [НМЭ0] (К Рамус (С Выпив), 1834 ) Обобщая результат предыдущего упражнения, покажите, что для 0 < lс < т справедлива следующая формула Например, ( )+( )+( )+ ° = — (2" +2соа ), [Указание. 11айднте нужную линейную комбинацию этих коэффициентов, умноженных на корни т-й степени из единицы.] Данное тождество особенно замечательно при т > п 39.
[М10] Чему равна сумма 2 [,",] чисел каждой строки первого треугольника Стирлин- га? Чему равна сумма этих чисел, взятых с чередующимися знаками? (См. упр. Зб.) 40. [НМ17] Для положительных действительных чисел я, у бета<функция В(я, у) опре- деляется формулой В(я,у) =[~1 '(1 — 1)" 'Ый а) Покажите, что В(т, 1) ж В(1, я) = 1/я, Ь) Покажите, что В(х + 1, у) + В(т, у+ 1) = В(х, у) с) Покажите, что В(х, у) = ((я+ у)/у) В(х, у+ 1). 41. [НМ22] В упр. 1 2.5 — 19 мы установили связь между гамма-функцией и бета-функцией, показав, что Г (х) = т*В(т, т+ 1), если т — положительное целое.
а) Докажите, что В(х,у) = " В(т, у+т+1). Г (у)т* Гн(т+ у) Ь) Покажите, что Г(я)Г(у) Г(г + у) 42. [НМ10) Выразите биномиальный коэффициент [„') через бета-функпню, определенную выше (Это позволит распрострштнть определение биномиальных коэффициентов на все действительные значения /с ) 43. [НМ20] Покажите, что В(1/2, 1/2) = тт (Тогда на основании упр 41 можно заключить, что Г(1/2) = этх ) 44. [НМ20] Используяобобщениебиномиальных коэффициентов, предложенное вупр 42, покажите, что 46. [НМЯ ] Используя обобщение бнномиальных коэффициентов, предложенное в упр 42, найдите!пв,—, (»)/т ь 46.
[М21] Используя формулу Стирл»тига и соотношение 1 2 5-(7), найдитг прибли к»нное значение (*~т) для больших х и у В частности, найдите приближенное значение (т„") для больших и 47. [М21] Покажите, что для целых /т (".Н" "') =('"П'" ') /" =(')('~)/" Приведите более простую формулу для частного случая г = — 1/2 ь 48. [Мхб] Покажите, что /и'! ( — 1)» ' и! 1 »эо " "+х х(*+ 1) (х+ и) х("+*) если знаменатели не обращаются в нуль [Обратите внимание, что эта формула дает обратное значение биномиального коэффициента а также разложение 1/х(х+ 1) (х + и) на элементарные дроби ] 49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
