AOP_Tom1 (1021736), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Табл. 1 приведена также в трактате Сы юань юй цзянь (" Яшмовое зеркало четырех элементов" ), написанном китайским математиком Чжу Ши-Цзе (81пЬ-СЬ1еЬ СЬп) в 1303 году. В нем гонорится, что биномиальные коэффициенты известны с дллиих времен. Самое раннее (из известных) подробное описание биномиальных коэффициентов встречается в комментарии, написанном в 10 веке Халаюдхой (На)ауп4Ьа) к произведению древнеиндийской классики Чанда-сутра Пятнала. (См. Г.
Чакраварти (С. СЬайгаъагг1), ВпИ. Са1си11а Май. Бес 24 (1932), 79-88.] Примерно в 1150 году индийский математик Бхаскара Ачарья (ВЬййага Асйшуа) в книге Лплаватн, ч. 6, гл. 4, дал очень четкое описание биномивльных коэффициентов. Для малых значений й зти коэффициенты были известны намного раньше; упоминание о них вместе с геометрической интерпрега- -'.О цией встречалось в работах греческих и римских авторов (рис.
8). Обозначение („') было введено Андреасом фон Эттингсхаузеном (Апдгеаэ топ ЕсбшйэЬапэеп) в книге Вйе сошбша~огмсйе Апа(уэ1э (Ч!еппа, 1826). А теперь давайте изучим основные методы работы с биномиальными коэффициентами, А. Факторнальное представление. Из соотношения (3) непосредственно полу- чаем (.) = .). и[ целое и > целого 7с, > О. (5) Эта формула позволяет представлять комбинации факториалов в виде биномиальных коэффициентов, и наоборот. В. Свойство симметрии. Из соотношений (3) и (5) получаем ( ) = ( ), целое и > О,целое й. (6) Эта формула справедлива для всех целых к.
Если и отрицательно нлн больше, чем и, то бпномпальный коэффициент равен пулю (при условии, что и — неотрицательное целое число). С. Внесение-вынесение. В силу определения (3) имеем ) = — ( ), целоейфО. (7) Эта формула очень полезна для комбинирования биномнального коэффициента с другими частями выражения. Выполнив элементарные преобразования, получаем правила '( ) ='( — ),Я=х( ) причем первое нз них справедливо для всех целых Й, а второе.
— если Й и г не равны нулю. Мы имеем также еще одно аналогичное соотношение: ( ) = — ( ), целоейфг. (8) Давайте продемонстрируем зти преобразования на примере доказательства формулы (8), используя поочередно формулы (6) и (7): г( ) =(г — к)( ) для бесконечного множества значений г. Обе части этого равенства являются мноеочлеиами от г. Ненулевой многочлен степени и может иметь максимум и различных корней. 11озтому, если два мпогочлепа степени < и совпадают в и+ 1 плп более различных точках, го, вычцгая пх один пз другого, получим, чти эти [За.иечание.
Данное доказательство имеет силу только в случае, когда г — положительное целое число зЕ и, так как этого требуют ограничения, наложенные на соотношения (6) и (7). Утверлсдается, что формула (8) справедлива для произвольного г ф Й. Доказать это можно с помощью простого, но важного приема. Мы убедились в том, что многочлеиы тождественно равны. Данный принцип можно использовать для дока- зательства того, что многие тождества, верные для целых чисел, справедливы для всех действительных чисел.] Ю. Формула сложения. Очевидно, что основное соотношение ) =( )+( ), целоеУс, (9) г( )+т( ) =(г — Й)( )+Й( ) =г( ).
Формула (9) часто используется в доказательствах нцлукцией по г, когда г — целое число. Е. Формулы суммирования. Повторное применение формулы (9) дает Таким образом, получаем две важные формулы суммирования, которые можно выразить следующим образом: целое и > 0; (10) целое т > О, целое и > О. (11) Формулу (11) можно легко доказать индукцией по и, но давайте посмотрим, как вывести ее из формулы (10) в результате двукратного применения соотношения (б), в предположении, что и > т. Если и < т, то (11) очевидно. Формула (11) применяется очень часто; фактически мы уже вывели ее частные случаи в предыдущих разделах.
Например, при т = 1 получаем старую добрую выполняется для табл. 1 (каждое значение равно сумме двух значений из преды- дущего ряда, причем одно находится в том же столбце, а другое — в ближайшем столбце слева) и его можно легко вывести из соотношения (3). Но есть и другой способ. Из формул (7) и (8) получаем формулу суммы арифметической прогрессии: Предположим, нам нужна простая формула для суммы 1 + 2 + . + н~.
Ее можно вывести, если заметить, что й = 2( ) + (,); отсюда г ь ь Эту формулу, выраженную через биномиальные коэффициенты, при желании мож- но снова записать в виде миогочлена: 1 +2 + . +и — 2 + — -'п(п+-')(н+1). (12) (и + 1)6(н — 1) (и + 1)п Аналогично можно получить формулу для суммы 1 + 2э + + пз; и вообще, любой многочлен типа ае + ан6 + аэйэ + + а /г™ можно представить в виде 6е(е) + 6~ (,") + + 6,„(„",), где 6о,,6 — соответствующим образом подобранные коэффициенты. Мы вернемся к этому вопросу' несколько позже. Р. Бипомнальная теорема.
Сформулируем биномиальную теорему, которая, без сомнения, является одним из наших главных инструментов; гг' (х + у)" = ~~~ ( )х у" ~, целое г > О. ('131 (14) которое принимается по определению. Мы везде будем следовать этому соглаше- нию. Например, (х+у)4 = х4+4хэу+бхзу +4хуз+у4. (Наконец-то мы можем на законных основаниях использовать термин "биномиальные коэффициенты" для чисел („')!) Важно отметить, что в формуле (13) мы записали сумму вида 2 ю а ие 2 " как можно было ожидать.
Если на 6 не наложено никаких ограничений, то суммирование производится по всем целым й, — оо < и < +ос. В данном случае две приведенные записи эквивалентны, так как для к < О или 6 > г соответствующие члены суммы из формулы (13) обращаются в нуль. Но форма записи 2 „более предпочтительна, так как все операции с суммами выполняются проще, когда условия суммирования являются более простыми. Мы существенно сэкономим время и силы, если не будем следить за верхним и/или нижним пределом гуммирования; поэтому, по возможности, данные пределы имеет смысл оставлять неопределенными. Выбранный нами тип записи имеет еще одно преимущество; если г не является неотрицательным целым числом, то сумма в формуле (13) становится бесконечной и биномиольнал гнеорема математического анализа утверждает, что соотношение (13) справедливо для всех г, если ~х/у~ < 1.
Следует отметить, чтр формула (13) не пвотиворечит равенству Частный случай формулы (13) для у = 1 настолько важен, что сформулируем его отдельно: ( )х" = (1+х)", целое т ) 0 или 1х~ < 1. (15) (х+у)" = ~ ( )х(х — (сх)" '(у+)сг)" ~, целое п > О, х фО. (16) Это тождество по трем переменным, х, у и г (см. упр. 50 — 52). Абель опубликовал и доказал данную формулу в первом томе вскоре ставшего знаменитым журнала А. Л Крелля (А. Ь. Сге11е) Лоигпа1 Гйг ойе геше ипд алдесчапс(се Масйетан)с (1826), 159-160. Интересно заметить, что Абель поместил в том же первом томе много других своих работ, включая известную статью о неразрешимости алгебраических уравнений пятой и более высоких степеней в радикалах, а также о биномиальной теореме. Многочисленные ссылки в связи с формулой (16) можно найти в статье Н.
1ч'. Сои!6, АММ 69 (1962), 572. С. Обращение верхнего индекса. Основное тождество ( ) =( — 1) ( ), целое к„ (17) непосредственно следует из определения (3), если каждый член числителя взять с противоположным знаком и умножить на ( — 1). Такое преобразование верхнего индекса используется довольно часто. Простым следствием соотношения (17) является формула суммирования Это тождество можно доказать по индукции с помощью формулы (9), но мы непо- средственно воспользуемся соотношениями (17) и (10): Об открытии биномиальной теоремы Исаак Ньютон объявил в письмах к Ольденбургу (01с1епЬиг8) от 13 июня и 24 октября 1676 года. (См.
В. Бсги11с, Яоигсе Воок ш Майетас1сэ (Нагчагс1 Пп1ч. Ргеээ, 1969), 284 — 291.] Но, по всей видимости, у него не было настоящего доказательства формулы бинома; в те времена исследователи еще не вполне осознавали необходимость строгого доказательства теорем. Леонард Эйлер первым попытался доказать эту формулу в 1774 году, но не довел дело до конца. И наконец в 1812 году Карл Фридрих Гаусс двл первое настоящее доказательство биномивльной теоремы. Работа Гаусса представляла собой фактически первый случай, когда было дано удовлетворительное доказательство чему-либо, связанному с бесконечными суммами.
В начале 19 века Нильс Хенрик Абель (г1. Н. АЬе1) нашел удивительное обобщение формулы бинома (13): Для целого г можно получить еще одно важное следствие формулы (17): ()=- ~..( пт „ / — (т+1)1 ) = ( — 1)" 1 (, целое п > О,целое т. (Положите в (17) т = и и й = и — т и воспользуйтесь формулой (6).) Таким образом, мы переместили п из верхней позиции в нижнюю. Н. Упрощение произведений. Произведения биномиальных коэффициентов можно выразить несколькими различными способами, расписывая их через факториалы по формуле (5) и снова возвращаясь к записи для биномивльных коэффициентов.
Например, ( Н ) =( Н ), целоет, целое1с. (20) Формулу (20) достаточно доказать для т — целого > т (см, примечания после формулы (8)) и 0 < й < т. Тогда ( Н ) . ( Н вЂ” ) т, 'т! г! (г — Й)! тт' 1 и ) т! (т — т)! Ы(т — к)! й! (т — 1г)! (т — й)! (т — т)1 1(г/ 1т — и) Формула (20) очень полезна в случаях, когда индекс (а именно — т) находится и в верхней, н в нижней позициях, а нам нужно, чтобы он был только в одном месте. Обратите внимание, что (7) является частным случаем (20) при 1г = 1. ( Н )=( ), целоеп; ~;.(;,Н.;,) =(, ':;.) (21) целое т, целое п, целое г > 0; (22) ) ( )( — 1)" ~ = ( ), целое п,целое г > 0; (23) ~(' "Н,',)- -=(:,' ') целое 1 > О, целое т > О, целое т > 0; (24) ~(' Н".")=(" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
