AOP_Tom1 (1021736), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теперь, чтобы продвинуться дальше, рассмотрим частные суммы ряда для е". Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом /1"1(0) х. /(х) = /(О) + /'(0)х+ . + + г( — /1" ь0(х — 1) Й, (5) а мы вскоре поймем необходимость введения важной функции, которая называется неполной гамма-функцией: у(а,х) = ( е ~сь ~ Щ. 2о (б) Будем считать, что а ) О. Из упр.
1.2.5-20 имеем т(а, сю) = Г(а); этим и объясняется название "неполная гамма-функция", Для нее существует два полезных разложения "1.2.11.3. Применение асимптотических формул. В данном разделе мы рассмотрим три следующие интересные суммы, чтобы найти их приближенные значения: в ряд по степеням х (см. упр. 2 и 3): х" х'"' х'+ у(а, х) — — — — + а а+1 2! (а+2) (-1)эха+а Й! (А+а) х"~ ' о(о+ 1) (о+ /з) (7) х х'е' хаег И+У у(х + 1 х + р) 1 Г(х + 1) Г(х + 1) в 1 ь-~-з = 1 — е г*<гг+ 1 е ~г*с1з. Г(х+1) /, Г(х+1) /, Обозначим /з — — / е с*й, г*ез г -сЗв 1З и рассмотрим по очереди каждый из этих интегралов. Оценка 1з.
Выполнив подгтановку т = х(1+ и) получим интеграл от О до бесконечностю В результате дальнейшей подгтановки е = и-1п(1+и), Ыи = (1 — 1/(1+и)) Ии (она законна, так как е — монотонная функция ог и) получаем: 1з = е *х* / хе ~(1+ и) г(и = е 'х / хе *"(1+ — / й'. (11) о о В последнем интеграле заменим 1+ 1/и рядом по степеням е. Тогда 1 4 1 5 г г 1 г г 3 и = 1иг — -'из+ -'и — -'н + .. = (и/2)(1 — уи+ -и — -и + г Полагая ю = з/2~ .
получим „, „(1 и+ и „+ ) и зпг+ тнз гзиз ь зззз з О( з) з г з (Это разложение можно получить на основании биномиальной теоремы. Эффективные мзтоды выполнения подобных преобразований, а также других операций над Из второй формулы видна связь с В(п): В(п) = — ' (в) Данное равенство специально было записано в более сложном виде, чем это необходимо, так как у(п,п) — часть «(п,оо) = Г(п) = (и — 1)!, а и! е"/и" — величина из (4). Поэтому задача сводится к нахождению хороших оценок для 7(п, и)/(и-1)!. Теперь определим приближенное значение г(х+1, х+у)/Г(х+1) для фиксированного у и больших х.
Заметим, что используемые здесь методы важнее результатов, поэтому читателю следует внимательно разобраться в приведенных ниже выкладках. По определению имеем ™ сч хе "(1+ — )»Хи = 0(е ™) (13) для любого фиксированного т > 0 н для больших х. Нас интересует аппроксимация с точностью до членов порядка 0(х л»), и так как 0((1/е")*) намного меньше, чем 0(х '") для любых положительных т и и», нужно взять интеграл только от 0 до т для любого фиксированного положительного т. Поэтому возьмем достаточно малое т, чтобы все выполненные выше операции над степенными рядами были законны (см.
соотношения 1.2.11.1-(11) и 1.2.11.3-(13)). Так как хе '"о»Хи = — / е оа»Х»Х = — Г(с»+ 1), о ха / о ха если»» > — 1, (14) то, подставляя ряд (12) в интеграл (11), окончательно получаем Х»=е *х*(~/ — х' + — + — х ' — — „х + — х ' +0(х )). ,1 /л,,г 2»/2л,, 4, »/2л Ы 2 3 24 135 576 (15) Оценка 13. В интеграле 13 делаем подстановку 3 = и+ х н получаем Хг = е *х* е "(1+ — ) Ии. »о х (16) Теперь и и ' — иг иг е "(1+ -) =ехр~ — и+х1п(1+ — )) =ехр( — + — +0(х 3)) иг и4 иг = 1 — — + — + — +0(х ) 2х 8хг Зтг для 0 < и < у и больших х. Поэтому 3 4 5 Хг=е х»у — — х +( — + — )х +0(х )). — У вЂ” »~УУУ вЂ” г 6 12 40) (17) степенными ридами, которые понадобятся нам несколько позже, рассматриваются в разделе 4.7.) Теперь можно получить разложение и в ряд по степенял» ю: г 1 3 1 4 1 5 5 и=ю+-ю + — ю — — ю + — ю +0(ю); 3 36 270 4320 1 1 1 1 2 г 1 1+ — = 1+ — — -+ — ю — — ю'+ — юз+ 0(ю') и ю 3 12 135 864 = — и 1 +-+ — е»1 — — и+ — и / +0(и ).
1 ,г 2 5/2 »г 4 5/2 (12) у/2 3 12 135 432 Во всех этих формулах 0-запись относится к малым значениям аргумента, т. е. 1и~ < т, 1и( < т, 1ю( < т для достаточно малого положительного т. Не слишком ли сильное это ограничение? Предполагается, что подстановка 1+ 1/и как функции от и в (11) законна и для 0 < и < оо, а не только для ~и~ < т. К счастью, оказывается, что значение интеграла от 0 до оо почти полностью зависит от значений подынтегральной функции в окрестности нуля. В самом деле, получаем (см.
упр. 4) И в заключение исследуем множитель е *х*/Г(х + 1), который появляется при умножении (15) и (17) на коэффициент 1/Г(х + 1) из (10). По формуле Стирлинга, которая согласно упр. 1.2.11.2 — 6 справедлива для гамма-функции, имеем Е-пХп Е-1/12Я+ 0(п ) Г(х + 1) 1/2ях = — х 1/г х-2/г+ х ь/2+О(х 2/2), (Г8) ч/2я н12~/2я 2881/2я А теперь из соотношений (10),(15), (17) и (18) получаем следующуго теорему. Теорема А. Для большцх значений х и фиксированного у 7(х + 1.
х + у) 1 / у — 2/3') 1 2 1 / 23 у уг') Г(х + 1) 2 )1 ч/2к,/ 1/2я ~ 270 12 6 / + о( -'/'). (19) й" "й1 Е =, Ей""/ге '(1+ — +0(й 2)). (20) 1=О в=а Таким образом, для получения значений Р(п) требуется изучить суммы вида и Е / и-~-1/2 -Ь е Положим /(х) = хие1/ге * и применим формулу суммирования Эйлера: и пп Е / и+1/2 — Ь пэ1/2 -и ( + 1 иЬ1/2 -и + 1 и-1/2 -п д (21) 2 24 1=О Предварительный анализ. остаточного члена (см. упр. 5) показывает, что В = 0(ппе п); и так как интеграл является неполной гамма-функцией, имеем Кп Ь1/гс-Ь вЂ”,~(П+ 2 и) + 1„п 11/гс-и + О(нпс-и) Е 2' 2 1=О (22) Для формулы (20) требуется еще найти оценку суммы йп-1/2 -Ь % )п-1)Е1/2 — Ь и-2/2 -и Е е = ~ к е +и е э=о О<1< -1 и это также можно получить с помощью соотношения (22).
Примененный метод показывает. что данное разложение можно продолжить настолько, насколько это необходимо, и получить приближенную формулу для последующих степеней х. Теорему А можно использовать для получения приближенных значений /7(п) и Я(п) с помощью (4) и (9), но мы сделаем это несколько позже.
А пока давайте вернемся к сумме Р(п), для изучения которой, похоже, необходим немного другой метод. Имеем Теперь в нашем распоряжении достаточно формул для того, чтобы определить приближенные значения Р(и), С'„т(и) и В(и); осталось только подставить, умножить и т. д. При этом нам представится случай воспользоваться разложением у + г"= "'" (т+ (т--~- о(-.1), тат) а~ 1 2/и которое доказывается в упр.
б. Метод, который мы использовали в (21), дает только первые два члена асимптотического ряда для Р(и). Следующие члены можно получить с помощью важного метода, описанного в упр. 14. В результате всех этих рассуждений получаем нужные асимптотические формулы: Гяи п2 11 т' я 4 71 Гх Р(и) = ~/ — — — + — ~/ — + — — — ~/ — + 0(и ), (24) ~/ 2 3 24 ~/ 2и 135и 1152 ~/ 2из )хи 1 1 )х 4 1 ) я ту(и) = ~~ — — + — — — — + — ~~+ 0(и '), 'ЭI 2 3 12 Ст' 2И 135И 288 у/2ИЗ (25) Гяи и1 1 (я 4 1 Гя 11( ) = с/ — +-+ — / — — + )/ — О(~ ). (26) 'С/ 2 3 12 у/ 2и 135и 288 у/ 2из Изученные нами функции только поверхностно рассматривались в опубликованных научных работах.
Первый член,„/ки/2 в разложении суммы Р(и) был получен Г. Б. демутом (Н. В. ПешпсЬ) (РЬ. П, сЬетйэ (8сап1отсС 1)пстетзссу, ОссоЬет, 1956), 67 — 68). Используя данный результат, таблицу значений Р(и) для и ~ 2000 и хорошую логарифмическую линейку, автор в 1963 году продолжил эти исследования и получил эмпирическую оценку Р(и),„ттхи/2 — 0.6667+0.575/чтй. Было естественно предположить, что на втором месте стоит 2/3, 0.6667 является приближенным тначением для 2/3, а 0.575, вероятно, будет приближением для 7 = 0.57721...„ которое должно заменять это число в третьем слагаемом (почему бы не быть оптнмнстому).
Впоследствии, во время написания данного раздела, было найдено верное разложение для Р(тт) и предположение о том, что 0.6667 нужно заменить на 2/3, подтвердилось. Что же касается коэффициента 0.575, то он является приближением не для т, а для 14;/к/2 0.5744. Это отлично подтверждает и теорию, и эмпирические оценки. Эквиваленты асимптотических формул для С;)(и) и В(и) были впервые определены выдающимся индийским математиком-самоучкой С. Рамануджаном (8. Карпани)ап), который поставил задачу оценки и! е"/2и" — с,т(и) в Х 1пт(тап Масй.
Яос. 3 (1911), 128; 4 (1912), 151 — 152. В качестве решения этой задачи он предложил асимптотический ряд -з — + — и — — и — — и + 3 135 2835 8505 который гораздо лучше соотношения (25). По сравнению с приведенным выше методом доказательство Рамануджана было более изятцным. Оценивая /с, он выполнил подстановку С = х+иу/2х н выразил подынтегральное выражение в виде суммы членов вида с,ь )е ехр( — ит) и'х ьт' тсп.
Интеграл 1з можно вообще не рассматривать, так как а у(а, х) = хое *+ у(а+ 1, х), где а > 0 (см. (8)). Еще более простой-- вероятно, самый простой из возможных — метод получения асимптотической формулы для (я(и) приведен в упр. 20. Несмотря на излишнюю сложность, использованный нами метод все же является очень поучительным. Он был предложен Р Фюрхом (К. РщсЬ) [Яе1гясЬПй 81г РЬуя!)г 112 (1939), 92 — 95], который главным образом, интересовался значением О. удовлетворяющим соотношению 7(х+ 1, х+ р) = Г(х+ 1)/2 Асимптотические свойства неполной 1амма-функции были впоследствии обобщены для комплексного аргумента Ф. Дж. Трикомн (Р.
С. Тг(сош!) [Май. лейясЬг11( 53 (1950), 136-148]. См. также 55 М. Тепппе, Май. Соп(р 29 (1975), 1109 — 1114; ЯАМ Х Ма(Ь Апа1. 10 (1979), 757 — 766 Ссылки на некоторый другие исследования суммы (г(п) перечислены в работе Н. 1о". Ооп1(1, АММ 75 (1968), 1019 — 1021.
При выводе асимптотических формул для сумм Р(п), (,((и) и Л(п) мы использовали только элементарные преобразования; но обратите внимание, что для каждой функции мы использовали свой метод! На самом деле во всех трех случаях можно было бы воспользоваться методом из упр. 14, который обсуждается в разделах 5.1.4 и 5.2.2. Это было бы более изящно, но менее поучительно. Дополнительную информацию по этой теме можно найти в прекрасной книге Н.
Г. де Брейна (Х. О. (!е Вгц!)ц) Аяуп(р(обе Ме(Ьо((я т Апа)уя(я (Ашя(ег()аш: ХогоЬ-Но!1ап(1, 1961) (Н. Г. де Брейн, Аснмптотнческпе методы в анализе.— Мл Изд-во иностр, лит., 1961). За более свежей информацией обратитесь к работе А. М. О(11уя)(о, Напг)боо)( ог" Сотбта(опоя 2 (М1Т Ргеяя, 1995), 1063 — 1229, в которой содержится 65 подробных примеров и подробная библиография. УПРАЖНЕНИЯ 1. [НМВО] Докажите формулу (5) индукцией по а. 2.
[НМВО] Выведите (7) из (6). 8. [МВО] Выведите (В) из (7), ° 4. [НМ!0] Докажите соотношение (13). 5. [НМВ4] Покажите, что в соотношении (21) Н имеет порядок 0(п" е "). ° 6. [НМВО] Докажите соотношение (23). ° 7. [НМОО] Оценивая 11, мы рассматривали интеграл / е (1+ -) ((и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
