Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Рис. 8.7 Рис. 8.6 21 «УУ'ц Р(Р(() — «ц«(7")) тле РЯ'=(Г" (х )=О), Д(Г')=[ге — точка экстремума функпии 7(х)). Л~н Г(Р(7)п12(1)) — существует функция, имеющая в точке х, втору«о производную, равную нулю, з но нс иммощая экстремума в этой гочке. Например, у=.г'. ук =бх, уп(0)=0, но хе — — 0 -- точка перегиба графика функции. а нето «ка экстремума(рис 8 71. Оясм я. Опмпс ия, Ммзаняя 3) ьгТЕ Р(Р(7)-е 5х(7 )), Р(г") = [7 (х) ограничена на отрезке [а,Ь[), Д(Р)=(Т(х) ннтегрируема по лиману на [а,Ь[). пу и Р(Р(у)пцт(Т)) — найдется ограниченная на [а,Ь) функция, не интегрируемая по Риману на этом отрезке. Рассмс грим функпию 1,х — рапионаяьнас, Дирихле* Р(х) = Она ограничена на ~0, х — иррациональное.
[а,Ь], но не интегрируема по Риману. В самом деяе, для любою разбиения отрезка [а,Ь) при рациональных х, соответствующая интегральная сумма равна Ь вЂ” а, а при иррациональных — нулю. Поэтому не существует предела интегральных сумм при Ь =к, -х,, — 50 и, следовательно, функция Дирихле не интегрируема по риману. 47 лу' б Р(Р(7) п 5Х(т")) — существует днфференцируемая в точке х, функция 7(х), ие имеющю в этой точке локального экстремума. Если ~(х) = тз и хе = О, то 7'(0) = О, но хе = 0 — точка перегиба трио. 8.7).
5) лу б Р'тР(7 ) "4(г )) — существует функция, прелставимая на отрезке [п,Ь[ рядом Тейлора, но этот ряд не сходится к 5 (х) ао всех точках этого отрезка. Такие функции существук г. Например, рассмотрим г(х)= е * х И О Эю функция бесконечно дифферен- [ О,х=О. цируема. При хИО это очевидно. При х=О производные вычисляютс» оо определению. Оказывается. по 7~'~(0)=0 прн п>0. Поэтому все члены ряда Тейлора дчя функции У(т) при ха -- 0 обращаются в нуль.
Ясно, что получившийс» ряд не сходится к функции Т(х). б) БА(Р(А) иге(А)) — найдеюя такая формуяа логики предикатов, ко. тора» будет выполнима, но не общезначима. Например, ЛхР(х). Значение эюго высказывания зависит от области истинности Пе"се Гуе Лс еч-Дяеят 0805-И55) — щ ч «а Глав а. Пщн«а л еда«етое звг прсдиката Р(х). Формула ЬР(х) выполнима, если Р(л) — нс тождественно ложный предикат. т. с. если !р -'к«, однако не общезначима. 3.94.
О Р(х)= ( в четырехугольникедиагонали взанино перпенликулярны й(х)= ( четырехугтщьннк — ромб ). «ухи м(Р(х)-+ цг(х))— основная теорема неверна ибо легко можно представить трапецию с взаимно перпендикулярными диагоналями (рис. 8.8Ь рнс. В.В Обратная теорема 1хб М (цэ(х) — ь Р(х)) если четырехугольник— ромб,то его диагонали перпендикулярны. Эта теорема верна и является одним из признаков ромба.
Противоположная теорема Чхп М(Р(х) — « ты(х)) — если у четырехугольника диагонали пе перпендикулярны, то это нс ромб — тоже верна. Обратная к противоположной теорема «ух ц М(д(х) — г Р(з )): если четырехугольник — не ромб, то его диагонали не перпснликуаярны, — неверна (рис. 8.8). 2) 'тг!" е Р(РЯ вЂ” ь я(!)), Р(у у= (!(х) непрерывна на (и,Ь) и г (и)< 0! (Ь)> О), д(!)= Лсп (пЬ)(Р(г)= О). Это верная моРе ма, она выражют одно из свойств непрерывных функций и имеет простой геомстри «ский смысл. График непрерывной функции, соединяющий точки (а, Г(а)) и (Ь,Р(Ь)), где Р(п)<0, а Г(Ь)>0 пересекает гсь ОХ по крайней мере в одной точкс (рис.
8.9). Обратив«теорема «Г! и Р(!!(~) — з Р(Р)) если между точками а и Ь найдеюя точка с, в которой функция обращаещя в нуяь, то функ- Часть Я. Олюги решсмж, уншаиия ция непрерывна на отршкс [а, Ь) и принимает на его концах значения разных знаков. Эта теорема неверна, что хорошо видно иа рис. 8.10. противогюложная теорама угг" ц Г(Р(у ) — э Щ))г если 1'(х) разрывна на [а,Ь) и иа его концах не гзринимжт значения разных знаков, то не найдется точки сц (пЬ), в которой у(с)= О.
Эта теорема также неверна, что демонстрирует рис. 8.10. р .вдо Наконец, обратна» к прогнвопояожной теорема су ц Р[м(1 )е РЯ): если нет точки сц (а,Ь), где 1(с)= О, то функция 1(х) разрывна на [а,Ь] и не принимает на концах отрезка значения рнэных знаков. Это верня» теореча Различные случаи описанной ситуации 1когда неверно следствие теоремы) показаны н» рис. 8.1!. Рис 8.11 3) эру ц Р(Р(1) — э д(у)), Р(у)=(1(х) дифференцирусма в точке хс) 0(1 ) = [г (х) непрерывна в точке хр). Исходная теор»язв верна, она выРажаст одно из свойств диффереицируемых фуикцид. НОР»гнал теоРема тгУ и Г(й(У ) — э Р(з )): если 1 (х) непрерывна в точке хс, то она и диффсренцируем» в этой точке.
Эта теорема неверна 1см. Рпзд. 3.8. и рис. 3.10). Гл в В Логика предикапм Противопололгная юорсма «УГ» Р'«Р(Г) — «ц«(Г)) если г (т) нс дифференцнруема в точке .те, то она разрмвна в этой точке. Это утверждение тоже неверно 1рнс. 8.«П, Пепрерьжиая функция не имеот венечных производны" во всех ут ловмх точка .
и то ~ка«возврата Обратная к протнвополо«кпой теорема «уз'» Р(ц(з ) — «Р(Р)) если Р(т) разрмвна в точке ха. то онв и нс дифферснцнруема в этой точке Это верноеугсержленне. 41 ««Р» !г(рц') — « м(г')), Р(г')= ( лифферснцируемая г(г) иьас«в зочке хь локэгжпмй зкюремум ), и«(Р)-- (/ (хь)=0). Э«с верная теорема, она составляет ггсобтолнчое условие экстремума Обратная т'орема «Уг'»Гг(Я(7)-«Р(г)) сопи )''(л)=0, то в точке тс 7"(х) нисе~экстремум Теорема неверна(рис 871 Противополо«кная теорема «ГГ» Р(Р(() — «Ц(г )): если в то«ко х„ 1(х) не иьгеегзкс~ремума,то Г (хе)К-0 Эгоугвержлениетожо неверно, что подтверждается тем хге рисунком. Обратная к про~ивоположной теорема зуу'» Р)м(з') — «Р(Р)) если / (хс) и О, то в ючкс г„нег экстремума функции Г (л).
Теорема верна. 51 '«Ггг» «УУ(Р(н) — «цз(гг)), Р(л) = ( ряд ~гг„сходится м(и)= ~ йгп и„= О). Основная зеорема верна, в мягемати «соком анализе она назьгвается необходимым признаком схолимости ряда Обратная теорема УГ«з» М(Д(и) — «Р(и)). если прелсл общего члена ряда равен пучки зо ряд сходится. Это неверное утверхгдсние.
1 Рассмотрим гармони некий ряд,у —. Известно. что этот рлд рявка, л 1 дится, цо 1ггп — = О. ""и П«ютивоположная зеорема «Ггг» М (Р(и) — «Я(гг)) если ряд расходится, то 1ппи„иб. Песпрапедяивосгь этой теоремы демонстрируется тем же примером Ча ч я. Огвегм решения, казакия Обратна» к противоположной теорема Уие М(й(и) — > Р(и)): если )пни, и О, то ряд расходится, Теорема справеллива и известна оод названием практического прюнака Ржходгщосгли рядов.
3.9Д. 1) Даны два предиката Р(х) = ( два треугольника равны ) и )х(х)=( вас углы одною треуюльника равны соответствугащим угявч ЛруЮго ). Раасмотрим формулу 'Фхе М(Р(х) еч Я(х)) и а( * (4~-НЛ)) (" (а(Е-ЛЕ)) первый лопгческий сомгюжиталь Мхе м Р(х) — ь г')гх))' — оче- видно, верное высказывани». Второй сомножитель )Ухе мам)(х)-+ Р(х)) — высказывание ложное: если ваа углы од- нога треугольника равны соответствующим углач другого, то этн треугольники равны.
предикат гх(х) дл» Р(х), таким образом, является необходимым, но недостаточным условием. Следовательно, походное предложение должно быть сформулировано так: для тою чтобы два треугольника были равны, необходимо, ио неластаточно, чтобы все углы одного треугольника были равны аоответствующим углам другого. 2) Правильными называются такие многоугольники, у которых все сюроны и вас углы равны. Введем два предиката с условным аргу.
менюм х: Р(х)=( все стороны многоугольника равны ) и зх(х)=( этот многоугольник правильный ). Тогда )Ухе М(Р(х)ь ь)2(х))и е(ть '4.а(Ч)).( .г(ма.па)) Первое высказывание Чгхе М~ Р(х) — з й(х)) ложно, примером / б чожег служить ромб; второе высказывание 'Ухе М )2зх) — з Рзх)) Главе В Логика едпкаггп зал истинно. Таким образом, исходное утаермдение имеет внд' клятого чтобы все стороны мноюугольника были равны, достаточно, ио не необходимо, чтобы многоуюльник был правнвьным. 3) Сформулирована известная теорема векторной алгебры.
Пусть Р(х)=( два вектора в Л линейно зависимы ) и (Г(х)=( два Г л вектора коллинеарны ). Тогда гУхб М~г г(х)ьР(х)) — верное высказывание, высказывание зуди М~ йг(х) — з Р(х)) тоже истинно. Следовакльно, исходная теорема звучит так: дпя того чтобы два г вектора в Я были линейно зависимы, необходимо и лсстагочно, чтобы они бьми коллинеарны. 4) Достаточно, но не необходимо (см рпзй 3 8, пример 1). 5) Необходима и достаточно (см п.
3). Глава 9 Исчисление предикетов 9.1. Ответы и решения практического занятия Ня 10 4 $0!. Найдем асс О, О, О, =. уц/х„гц/хцг!хц)= Угу (у) ц, Гц(т',с)усц! ), О, = (О /уоу /у„гу!у != (Г (Г (т) у)т,р (г ) ц,Г (Г)г). Сццачала получим мноцкестао (г,О,/хпгэО,!хыг,О,/.тыр,/»„„/уыгф,)= (Г;(Г(,,)),, Рц(Г (Гц(г) у)уц(х))у сц(г,!',(Р (т)у)ц.Г(сц)уГ( )л). Иэ этого мполгес гаа пало аы черкнуть псе эццеьцеццты ! О, .т,. лла которых Г О, =.т,, н асс элементы О!т, пмпе. цто У П (тпхы,х„) В нашем случае г,Оэ = Р,(у, (г, ))» х, = х, гол=у(Г (Г(т)т)И())» г„= ц' иго. =с, » т,=г Одццако у, = х, = .;. следоаац ельно, амрацкенне Г., (Г (х) у (х нала аычеркнугь, аналогнчло у, = .ц', = у, ц.
е Г, (с, )ц ~ пало аычерьнугь, и уц = т, = г, г.е Гц(ф аычеркнааем Окончателыю, О,О, =(Г,(Г,(с,)).т, Уэ(уг(ГО(. ), )ГО(г))у,с,!т) О, О, О, =(гцутц,г./т„г,!хц)=-(Гц(ц)г,уч(ц, )у,гцЦ, гУц!Уц*г!г!Уг ОэцУц) (ГО(гц)ц,гч/цдт!т! Нлколнм чццожеетао (гц!гцгтц,гтоц!хт,гцоэ(хц,гуц~ццсот!тэ =Улет (ст)х, Г, (у', (с, ), т)У,г,( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
