Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 45
Текст из файла (страница 45)
з+ Ь-~2) 1-с ) (л;)(Ал в) 9. 2) ау (А-еВ) ( — +А), В-+А, А ь-. з;.ь ь.т)Дчл ! гх~-'- (-(л-зв) (ймй) 1-в-гй в) Г=(А-+В,А):А,А-ьВ, В, ВеВчС, ВчС иппз ' гггг*.л х ' ппз (-люл л ло ~н-В я с ! я )!ттг! )й-вь» с ! я„ аг (А -ь В) е (А -+ В ч С) . Ози ея з мыю 1-!л л)л!л-гв с! Глана 1 Исчисление вискаемваиий згг в) пусть й,А«,...,А„— вывод С из Г,,А,В,Гг. Вывод С из Г„В,А,Г будет такой же, только порядок формул в выводе может измениться. Качестве»«««ый состав формул вывода от этого не измен»пса. 2.4.6. а) исходное множество произвольно, т. к. оно не задано. Воспользуси л.а ся первой и девятой аксиомами: ) х -+ )у — » х)и ~ — А — « ') — «А), .У в.л ) (х-+у)-е)у-ех)м — (ВеА)-» А — «В) по правилу сил*» А «ГВ ~А) ГВ +А) >~А +В) логизиа , по правилу сосди- ~-А-е)А — «В) пения посылок .
Наканен, применим правила сня- )-АлА-+  — АлА — «В отрицания и заменим В нв Р: ~-АлА — »В тия двайног Р ) АлА — »Вм ~-А~ А«Р; в 2.4В. а) пусть Г,В,В= Г, =)',А„Аз,...,А„В,В'), согда Г,В= Г =) ~,~,...,,~„В). Выводы из Г и Г, будут одинаковы, т. к. вывод из совокупности формул моигет содержать доказуемые формулы, формулы из рассматриыемого мигскесгва и формулы, полученные из формул множества по правилу простого закл«очеиия Все три источника формуа вывода лля Г, и Г, будут давать одинаковый состав формул) б) если»),А„...,А„есть вывод А из Г, а „„..., — вывод В из Гт,то д,хь,...,.й,В,,В«,...,В« естьвывод В из Г,,Г,; Часа У. Огеегы еьил Гквэамм Пазучим «л-.в) двл (х — «(у — +з))-«((х-еу)-«(х-ьз)) м~ — ((д-«В)лве( — «А))-+ * уе — (((А- В).В- В)- ((А- В)лВ- А))м~, л в.в ) хл у-+ хм~ — (А-+ В)л  — «(А-«В), г я вв х л у -+ у и — (А -+ В) л л — «ВЮА,, *г дв ) (х-«у)-«(у -«х) и ~ — (А — «В) — «(В -«А).
Пусть А, м(А — «В)л В-+(В-«А), ~-(А — В)л  — (А-«В~~ — (А- В) — (В А) ~-(А — «В)лВ-«В-«А ( — А„~ — А„( — А, -+ (А, -+ ((А — «В) л В-«А)) ! — (А -+ В)л  — + А в) воспользуемся первой, второй, восьмой и десятой аксиомами, правилами простого и сложного заключения, тогда ) х-«(уех)м~-д-е(АеА), )х — «хм -А-«А, *р лл.л ) (х -«(у — «х)) -+ тогда -+ ((х -«у) -«(х — м)) и ~ — ~ А — «~ А — «А)~ -«((А — «А) -+ (А — «А)~, /- А -«(А — «А) !-(А — «(А — «А)) — «((А — + А) — + (А -«А)) -«А — «(А — «А) б) сделаем подстановки во второй, третьей, четвертой н девятой аксиомах и применим правила силлогизма и сложного заключения.
Глава у. Исчасс нив аискавивзы»й 373 ~- А -+ А, ~-(А — » А) — » (А — «А) ~- А -» А ) (х -«х) -» ((у -+ ) -+ (х ч у — » х)) и ,ух и ~- (А — » А) — » ((А — » А) — » (А и А — «А)), ~- А -+ А ~- А -» А )- (А -«А) — » ((А — » А) — » (Д и А -+ А)) ~ — Ач А-«А г) применим третью, чегюртую и восьь«ую аксиомы из 23 А и правила контрпозиции. внятна двойного отрицании и сложного заключенна: х,в,х в ) (х — » ) — » ((у -+ х) -+ (х ч у -» 3)) и ~ — (А — «А л В) — « -+ (( В -+ А л В) — «( А ч В -+ А л В )), хлу — «хн~ — Ал  — «А, / ! — Ал — »А у- уи~-Ал — »В, — А — «Ал — АлВ-+В - — »Ал — В-«Ал  — В-» Ал В -А-«Ал4-В-«Ал4-(АчАлВ~ — т~ВчАлВ~-«(Ач — ьАлВ~ 1 », Ач — »АлВ д) в«юпоаьзуемся очевидной секвенцией С(- С.
Тогда по теореме дс- С(- С дукции . Пусть С= Ал В, т. е, )-Ал В-«Ал В. ~-С-«С' Часы я. Огвмы, анния, валия ~- А л В -+ А л В Па теореме разъелинени» посылок имеем ~- А -+ (В -ь А л В) е) секвенция вывалится применением первой и девятой аксиом, правил силлогизма, снвти» двойного атрипания, соединения, разъединения и перестановки посылок. л,в в,л ( х — ь (у -+ х) и ~ — А -ь (В -ь А), ) (х -+ у) -+ (у -ь х) и .У ,У г т ~ — А -ь (В -+ А) — (В -+ Л)-+ (А -ь В) ~- (й — ь А)-ь (А -ь В), | — А -ь (А — ь В) — А л А -ь  — АлА-ь В 1 — А л А -+ В Г= ~ — А-+ А-+В ~- А -+ (А -+ В) ~- А -ь (А -+ В) ,А.т. Запишем все доказательсгаа в виде вывода из исходного множества формул: а) Г=(А-+( — +С)):А — +( — ьС) АлВ-ьС ря В-ьс б) Г =(А-+В).ГЗбозначим Г, =(А — + В А) и Г, =(А-+ В В). А — ь В, гб — А -ь В По теореме дедукции А — ь 3~- А -ь (А -+ В) А-ьб,~ — А — ьВ А — ьВ,С) — А — ьВ .
Тогда зги форд-' г" г ' л-' мулы можно добавить в вывод нз Г, т.е. Г: А-ь В, А-+(А-+В), — ь (А — ьВ), С-ь (А-ь В), ь г жягщн АлС вЂ” ьВ, С-ь(А — ьС), АлС-+С ля с ~~в~ гв (х- вр-с ~л с1 Пя с-~в в Глава 7, Ие«и ление выев вывалив 325 (ЛлС-у В) ° ((АлС вЂ” уС)-+(ЛлС-+ВлС)), пз(' ")"(( у) ( "у)) В.С,А С ((УУЗ)-(А С В) ((А С С) (А С- В*с)) АлС вЂ” уВлС -А С В А С-Ус-(А С В) ЯА С С) (А С В С)) (АС ВС в) Г = (А). А, А -+ (В -+ А),  — у А, А — у В п«ПЯЗ м « ем ( (!,)(-В (В А) ~-л в (-А в г) Г=(ААВ)).А-уВ, В-+А, В-уА -3 А (-В- А л) Г = (А — у В,  — у С»: А — + В, В -+ С, А -ь С ее» (-А в,(-в с е) Г=(А-уВ):А — уВ, С вЂ” у(А-уВ), А АВ,С(т.~ В (-с (А в) (С-у(А-+В)) — у((С вЂ” у А)-у(С-+В)), ~2(* (у з))-(( у)«(е з)) с,лв ( (!за-(С (А В)) ((С А) (С В)) ,у,з (С- А)- (С вЂ” ув) Ипз ~~-с-уСА в) ~с (А В)) фс АУ-у(с В)) (-(С А) (С В) ж) Г= (А-+ В»- Ао С вЂ” у Во С.
рассмотрим вначшм дополнительное множество Г, = (А — у В, А» и запишем вывод из него Чаем В. Опмм» меняя умвмям Г»»А-»ВА, В, В-» ВчС, В АС . Применим теюппз * и,*-»* у ' мппз )-в »»»»Всв-»)В с) )-в с А- В,А) — Вч С перь обобщенну»о теорему дедукции: ( — (А-» В)-» (А-» Вч С) Таким образом, формула (А-» В)-» (А-» Вч С) выводима, и ее можно добавить в любой вывод. Тогда Г; А — » В, (А -+ В) -» (А -» В ч С) А — » В ч С ппз .и мь' л )-А ВС С -» В ч С, (А -» В ч С) — » ((С вЂ” » В ч С)-+ (А у С вЂ” » Вч С)) »нз.) у)ябу ) В у. В)) Ас,в с (»»»зл) с В"с ) (»из)ААА В с) бс В с) )А с- е с)) УА ,у.г АчС-»В †»С В у ленею и т А — А В с)-с В с,)АА В с) йс- в с) )А с е с)) )АС ВС з) Г=~А,А — »В):А,А-»В, А-+В В )-А-»В и) Г=(А — »В,В)А — »В,В, (А — »В)е(В-» )), »т»т' у)А)у *) АВ ) (зч»Я-)А в) (в А) У В-+А, А ппз ппз ГВ А )-А к) Г=(А):А, А-+(В-+А), В-»А „) еппз Ав ~-л~-л )в А) ) (»,Н-А-йя-А) *,У 2АВ.
в) для доказательетва зтого правила иепользуем правило введения импликации и конъюнкции и правило объединения поемлок, записан- Глава 7 Исеис ание вмскввмваний г,л,)~-с нее в более общем виде, чем рассмотренное ранее: ' Г,Ало(-С А,Л„...,Л„(-В объединение посмвок, — введение им- ~-,б л Аз л ... л»(, — з В пдикации и комъюнкции.
Применим зги правила и раз к формулам ~,Л,)-В Л, л А,)- В ( л Л„Л,')- В »(лл,) — В )-.алла-+В»(лА ллз~ — В »( л А„А,~ — В»д л А, л ...л А„„л„! — В ~- ~ л А, л Л, — + В ~ —.~ А, л ...л»(,о л Аа — В В б) (А — з В, А — з В): А — з В, А — з В, (А — з В) — з (В -В А), щ,(,,).(-, ,—) ' ».в ( (В~~~-(л в) (в-г») В А, В- В,(о- В)-,((В- В)- (Вио- О)), ппв ' шз( )»((г г)"( г- Э (ге()геК-3 ПЗ вЂ” (шз)(-(в а) ((в ваяв в в)) )(!Уз)(-В В (.в в В поз ( е- ~- ° .(г ъг ~»"'"3 (-В е) (А,Ц А,о, А — з А, (А — з В) — з (А — з В), „)» ((»е.г)Д-(» В) (,Г- В) (-» л — ((л — в)- в) (л-зв)- в,в- (л- в), л-+в В > ППЗ „,В „, „ППЗ (б(б В)»(» . В) (-»)-»-д(» В).
В) цл в) в (-в)-В (» в) (-» ((» в) в) (-(»- и)- в )-3- (»- в) ~-л в г) (АлВ);АлВ, Ал — гА, А и, г*' ппз »,В, (-» в)-» в-)А ((и,)(-» в» 'таем ГГ, белею, екня, каяяния д) (А -з А). А -ь А, А — з А, А -+ А, А ч А ((гчз~ -В~я (А — з А) — ь ((А -ь д) — з (А ч А — з А)), игзф д-бг гН.г-чб в,пд '!' (шз)(-(ь я)ф ) (я.я-фя)) .У А к псз )-2 а) рассмотрим множество формул Г = (А -з В В -з С А). Вывод из этого множества может быть таким: Г:А-+В В-+С,А, В, С . Применим теперь обсб- ппз ' ппз ' ~-А~-л в ~в-в с ~-в рс (А -+ В, В -+ С, А)- С щенную теоремудедукции б) Г = (А -з Вд-(С -+ А) †ь(С вЂ” з В), см.задачу 2.4п,е.
Тогда (А -ь В)- (С -+ А)-ь(С -ь В) ~- (А-е В)-ь((С -+ А)-»(С -ь В)) в) Г=(А,ВеА):А,В-еА, А-+В, В г з ппз ~-.в я (-~~-л в 'Гхып ( У (А,В-ь А(-В Отсюда ~ — А -з (В -+ А) — з В 2.4.!О. Пусть в исчислении Лукасевича доказуема хотя би одна однобук- ее веннаяфориула ~-В.Тогда) Вм~ — А, ) Лм! — А-ь В, к я Глава Г Исвисввнив вмсмммванна )Вм~ —  — 3А, ) (Л вЂ” 3 В)-в (( — 3 С) — 3 (А -в С)) и ~ — (А — 3 В) — 3 — 3 (( — 3 А)-3 (А — 3 А)), (- А — 3 В,~ — (А -3 В) и (( — 3 А) — 3 (А — 3 А)) ~-(Вв А)-3(А — 3 А) ! — В-+ А,)-( — 3 А)-в (А — 3 А) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
