Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Итак, нсоокодимый вывод имсст )-А — 3 А аид (Я): А, А — 3 В,  — 3 А, (А — 3 В) — в ((В -+ А) — 3 (А — 3 А)) (В -+ А) -3 (А -3 А), А -3 А. вс !) )(А-вВ) — 3(( — +С) — 3(Авс)))-(А — 3(А-3В — 3 дв,с -3 (((А -3 В) -в С) -3 (А -+ С)); )-(А -+ (А — 3 В))( — (А — + (А — 3 В)) -в (((А — 3 В) — 3 С) — 3 (А -3 С) ) 2) — (((А — 3 В) -3С) — в(А — 3С)) 3) $ ЯА — 3 В) — +С) — + (А — 3 С))/ — (6А — 3 А) — 3 А) — 3 (А — в А)): в.в.с (-((А — 3 А) -3 А),)-(((А — + А) — 3 А) -3 (А — 3 А)) 4) ) — (А -+ А) 7.2.
Ответы и решения практического занятия йяб 29.1. а) ~- Ал В с+ ВлА, но Алд «в ВлА =— м(Ал — 3 Вл А)л (ВлА — 3 А л В). Пуста С вЂ” д3обавформу- Рс рсав с с муа с н, вы и 3ср. И333) часть в. Опмгн реалиям юааняя ад выводимая в исиисяении высказываний, тогда (С)«С, Алв — «В, С вЂ” «(С-«С), С вЂ” «С,  — «В 1 (««2)з '«««в ) (««)(-с-«(с с) *.» (В-+В) — «(( — «А) — «( — «ВАА)» ( — «А) — «(В-«ВлА) ««З(ям ((г» (я»)) пиз ''( ° ( «л «, ~~( ~( .,» )В А В Вл) С-«(А — «С), А-+С,  — «А,  — «ВлА мсизнз ль и ' кчаа-ь--з (««вз-с (А с) )А«с ' )в вл л» Ал †«ВлА, ВлА †«АлВ ею Н Рл й»"~ » «; ..'."я-.
)' .. ' )-лв вл (А л В -«В л А) л (В л А -«А л В) — = А л В А-«В л А; ы )лв ал)вл лв )Ал а в л) (в л л в) б) пусть С вЂ” любая выводимая формула. Уогда (С)«С, А-«АчВ,( — «А) — «((А — «А) — А ВчА — «А)» «дз( л) 6(» г) (» л)) лв А,В,А ) (гг«М-л " ' ')' (п«з)ф(в,л ((л л (в.л. л)) а» ,» г С вЂ” «(С вЂ” «С), С-+С, А-«А ос « ~-д)-с (с с) с(с'лс)')-л ппз 'л («,)+с-~(с с) с- (в- с), в — «с ««:*-«(»-«*) ппз (-с.~с (в-«с) ( (««) )-с (в с) В-+А, (А-«А)-А(вчА-+А), В»А — «А ппз ппз )-(А- А) (В Л А) )-в л. л Глава 7.
Ио игиаии вылив ываииа ВИАлАмВ, АмВлВыА )-вл лв (Вы А — л Аы В)л(Ам  — л Вы А)еВыА (л Аы В. ).(в л л в).(л в. в 4 )-л. л )-(л л) (л л) В) (А л В):(А - В)л (В - А) А ., В (-(л в) (в л) )-л в В л А, (С в А)л (С л В) (л вИ)-(г л) (с в) АВ (С вЂ” и В) — а (С вЂ” а А) с вс-л (в- лИ-(с-в). (г л) л.в ((С вЂ” > А) а (С в В)) л ((С вЂ” > В) — и (С л А)) ю (С л А) ыл (С -в В).
)-((с- л) (г в)) ((г в)-(г 4) 2ВВ. а) ~ — А ч В л-+ А и В и (А'  — л А и В)л (А и  — > А и В) и' (А -и А л В~ -и () В -л А л В~ -л (Л и В -л Л л В~ ~ А л В -л А — "'з ~" 'И'((' '~ (* ')) 2в * ""("'(а,~-~-(-') ((- -.)- "=".-) ) (иан-2-в-в, )-л лв )-л- л 3 )-в ив Часть В. Отввти, швни», ания В -+ А л В АчВ-«АлВ .) в(-В. А В~-(А А В) (В А В) (А в А в)) )-В Ав )-Ав Ав Лл — «АчВ, АЧ — «АчВ, А — «АчВ,  — «АчВ ввмм а м леве ма»виты шт, у Шз:у-«у (-м~в В ) (птт)( А А„в ) (тп )( в А,в -АВ Ав -А В-«А В Ач  — «Л, Ач  — «В ГАЧ — «А) — «тфуьч — «В) (Лч  — «А л В)), (-А А В (-ВыА В )-А В А )-А В-«в ( «)тз)(-~ Внй)«м' В В) и В Я В) КУА Ач — «Ау В,(ЛЧ — «Алб)л(ЛАВВАЧВ)) в ив ~д-М-ДВ-М)з»ЮВ В) «иВ «В)) (Щ ~р ( д тв) )-АВ \В )-)вй-ььв)(~ В б) ~ — Ат-«Аи(А — + А)л(А-ь А~.
Вй А — «А, А — «А ) (таз У)-А-«А А-+А, А-+А,(А — «А~л(А — +А~. )-(й 2] (2 н»~ 2.9А, в) рассмотрим исходную формулу А= х-«(х-+ (х — «ул х)). Обозначим через В выражение В = х — + у л х, тогда формула А = х-+ (х-«В) возрастает по переменной В (ам. теорему 2.2). Заменим В более сильной формулой у, т. к.
(- у -+ (х-«у л х). Действительно, рй х — «х Глеает. Исчнслвнн еысевэиаанид звз После замены получим формулу, возрастающую по у, причем х — г (Х-+ у) м1, т е. тождественно истинную, следовательно, выводимую по теореме 2.6. Итак, ~- Х-Ь(х-г у), тогда ~ — х-г (х-г (х-ь у л х)); б) в исходной формуле А = хд у-е у — г у заменим посылку импликацин.
Поскольку импликаци» А — г 22 убывает по А, заменим посылкуболее слабойформулой хо у,т. к. ~ — хну — з у-г хну. рй х -ь (у -+ х), (у -ь х) — з (г -г у), х -з (х — г у) Ь ) тй(. г )г .) малым. Ь,н-.хг-е Гь,й ~.ц:=.~ Г~-~г- ~;;,~ 1-"-(2" ) хпх — ту, хам — ьу, х — г(» — гу) б г! )рй~ г~ )рг '" "' "~"~*""-""""""" ~'5 з )- )-Г Э ° й" Г Гчмт Получим формулу хоу-чу — четвертую аксиому исчисления высказываний, следовательно, она выводима Тогда выводима и исходная формула, т е. ~ — хо у — г у — з у. Часть!Ь Ответы шелла, квазллв а)*.рттд")) з!.*" -.-~---(* 9'*-')-) *( *) *~Г* з з) . '"" ! ' ' Г ( ))= ~= (-Р т ) формулу А = зч хч =— 1, т.е.
~ — А'. Следовательно, выводима и формула А . Действительно, после упрощена» А получим А=!ох, зи). ?.9.6. а) А=хлум(х-ау)лх, А(1!)=1,т.е. (х у) — А.))окажемзто. (х,у):х,у, у-+(х — ьу), х-+у 'з.* Ь ) ппз (х-+ у)лх, х-+ (у за) хлу-ьх ,х — зхлу, х-+хлу Ы4-.7 е'.--" ' "Я=.—.— "' хлу, А =х луч(х — з у)лх; ): т !.-оз) б) А(00) = О, таким образом )т,у» — А. Вывод А может быть, например,таким: ур,у)ху, х-з~-ьх), у — зх, х-+у ~* Ь ) ппз ч ) („;) 1.В 1)ЫЕ-Ь=З' ~=- Глана Х Иеиислаииа аыелааыааиий -л 1-« 2.9.7. а) А = х,ч тз — з х, А(0 О !) = Оо 0 — з 1 = Π— з 1 = 1, следонатеньио, ,, тз, кз !! — А. А именно. $...
пхз,хзг. «плз,хз хз — з (х~ ыха з хз), х~ ° .тз з хз Ь~)!з1п" за! б! А(100)=1оΠ— з0=1 — зО= О. Тогда (тптз,хз~-А Действительно, !«пгз,хз) хз,хз,хт, х~ — з«> н«з, х> на и - ппз к, -з (х, -ах,), х, -з.з, (з ! ппз ,!)-И(-з-,(з о! (х, ч «з — з хз) — з (х, ч хз — з хз) ! ( ~ П)=,'-(И'З атз-'(П"ат-'П) х ы х — з ((х о хз — з х ) — з х ), (х о хз — з з ) — з т, 8 И ЗЗЗ7*; *,! 2.9.8 а1 А = (х — з у) л (у — з х) -+ (х — з х), А(0,0,! ) = 0 и Г~ = 'з«, у, х )! — А, Честь а Опвтм, лил например, такам способомс ,с А,с (-с А х-ьА, А А аев» с ив ппз (-А О> А(Щ)=1н Гс =(,у,:)-А. (х,у,х);.т,у,х, у-ь(х-ьу), .т-+у, у-+х, с« -Фр-с 1 ппз х -+ х, (х -+ «) л (« — ь ад (х — з «) л (у -Ф х) — ь (х -+ х) .
Н*-~«1 Ь А 2.9.9. а) А(1,11) = О, следовательно, (х,,хз,хз)) — А. (хнхз,хз):хнхз,хз, х, -з(х, -ьх,), х, -+х,, А — ьА сс.-с( ~1 ппз 1(н А)-) д д 'А ч с( ) „) )-сд-..з-Нз-в ) „' Г х,охз) '((хсмх,-зх,)-зх,), х,-+х,ох, Ыа-~=) 4 *,,*, 5,З2 ь. ППЗ в»с С вме -"с"сз -енс""з) (омс""з .*з)™з) ф" з з«"з ~-'с'"з "з "з ~-З-'Зд""з "з х,-з(х охс-сх), (хс сх,— ьт ) с ь ри с пйз асье, с ~-*з (и" ~ з) Паапа 2 И аап и а и эзт б) А«1 01)=1, гх«,хг,х«11- А. Вывод А можа»О«ап«наоримар, таким.
«,хг,хг):х«,хг,хг, х« — «1х« — «Хг), Х«-+хг, х« — «х~ 3*-13 .1 )-"."* л« '«х2, х« + 1»2 «х«), «хг — «х«) — «»3 — «хг) —;2 ( "Г("3 2) ( 3 Г 2 "3 2 а« Ч 2 )- «~Ф~ "2) = ~-"3"'2-4" 2 '3) х«, хг — «Гх«,'хг — «х3), х3 '~»2 — «3 в«А10,1,0) = 1, 1»«,хг, х«11 — А, напр««мар, Г ,, »,33): лпхг,хг, хг — «(х«»«хг — «кг) ° х« "хг «х« «х 1«-'"1 Пиэ 2.9.10. а) А=г: — «1» — «ух» А2»1,0)=0, 31» 7«и« А Чаем д. Оуаеум шенка, кааанил )т,у):х,у,х — «(у-«х) у-+х, (х — «(х-«у)) — «у р а ппз * !. у)у ! Ь ) )-( 1 у)) у Ртр Л~ 1* 71: к а рамка ллз Н*'-1у- ))- 6:!у у)) )!; у у)) б) А(0,1)=), ~,у)-А. ф,у):.к,у,х — «(у-«х) у-+(х-«у), х — «у мр у рр «и [у ) ппз ')"(,н- ('- ) (-'(-"~=-"' у «у) 2.9.11.
а) )'(А,В)=(А-е В)-«( — «А), А =1, У(),В)=(1-+В) — «( — «1)м н(1-+В) — «)и); А=О, У(ОВ)=(0 — «В) — «(В-«0)м1 — «( — «0), В =1, у (01) =1-+ (1 -+0) и ! -«О и О. Формула у не тождественно ис- тинна. На рис. 7.1, а показано семантическое дерево этой формулы, а на рис. 7,1, б — поддерево, испслезуемое длк проверки истинности; Рис.у.! б) у (А, В)-~(А ч В) «((А л В)о ГВ л А)), А = 1, у(1 В)= (1ч В) — «((ОлВ)ч (Вл1))и ! -«(Оч В)м!-+В; В=1. у (11)=1-«ОиО. Формула у вмиолнимв; Гл ы 7. Исииелвиив вислаеивалив »г1,а )=Б и Т !. г!' сЗ-С"7! Г !и Л Й: у(!1,С)=1 (С !)), Вмо, 7(1ОС)=~ ~~< О); С=1, ((1,!!)=1 — з(0~~\)м!, С=О, 7(1,10)=!-е(1т-з1)и О, фар- мула выполнима На рис.
72 жирными лииивми выделен подграф, используемый по алгоритму Квайна; Рис. 7.2 г) З'(А,В,С)= Ам В-ь(С~-+А)), А=1, ~(1, В, С) = Гм  — з (С ~ 0) и — 1 — «(Сье О), С = 1, 7" (1, В 1) = 1 — э (1с 00) и! — ь 1 и 1, С = О, )'(1, В О) = 1 — з (О ьо 0) и 1-ь 0 и О. Граф и его подграф, испольжеьгый по алгоритму Клайна, изображены на рис.
73. Формула не тождественно истинна. Рвс. 7.3 Часть ГГ Ошеш, выния, квяання Пусть У = 0 тогда А=О, А=1; 2.9.!2. а) 7(А,ВС)=(длВьС)е(А — ь(В-еС)). Пусть формула ложна, тогда АдВ-ьС=!, А-ь(В-+С)=0; А=1, В-ьС=О; В=1, С=О. Но тогда А о  — ь С м 1 о! — ь 0 ы 1-ч 0 ы О, а не 1.
Следовательно, п редположение о том, что 7 = О, неверно, формула 7 — юждественно истинная формула; б) 7 = А, -+ <~ — ь ... -ь <А„н -о (А„— э В ч В)) ..). Пусть 7 = О, тогда А, =1, а А, -+...— ь(А„л -+(А„ьВзгВ))=0, аналогично А =1, А., — ь.. -ь(А„,-е(А„-ьВзгВ))=0 и т.д. Предпоследняя импликацив дает А„, =1, А„— з ВтгВ =О, последняя А„=1, ВоВ=О. Но ВчВ=! всегда, следовательно, предположение 7 = 0 неверно, т. е.
формула 7 — тождественна истинная формула; в) 7(А,В)= (А-+ В)л (А — ь В) — г А. (А -ь В)л (А -+ В) = 1, < А-+В=1, (В=1, (В=1, — < Получено противоречие, А -ь В = 1, <В = 1, [В = О. т, е. 7" — тождественно истинная формула. 2.9.13. Покажем результат решения на примере трех аксиом: 1з,01~ и Пгз (см. формулы 2 1.1). Остатьные аксиомы проверяются аналогично. 1) Алгоритм Квайна.
!х г 7(ху,х) = (х -г (у — з х)) — ь ((х -ь у)-ь (х — ь х)). х = 1, 7(1,7,2)= (1 — + (7 — ь х)) — ь ((1-ь 7)ь (1 ох)), 7 =1, 7' (1Я, х) = (1 -ь (1 -+ х)) -ь (1 -ь (1 — г х)), у = О, 7'(1,0, х) = (1 -е (О -ь х)) -з — + ((1 — ьО) — ь (1-ь х))м! — ь (Π— ь (1 — ь х))ы!, г =1, Г(1,1,1)= (1-+ (1 — ь1)) — г (1-+(1 — ь1))ы1, я=О, 7(1,1,0)=(1- (1-+О)) (1-+(1- О))м1, х=О, 7'(О,у,х) = (О-+ (у — ь х)) — + Г аеа 7.
Исчисление н мкаеиваине 34« — «((Π— «у)-ь (Π— «х)) ° 1 — «!и 1, Формула 1 тождественно истинна. РВ«. «(к у)=х — хо у. х=1, У()у)=! — «)к у= — 1, х= О, Г(О,у)=О-«Очуи!. !)гз:Х(х)=х — «х. х=1, у(!)=1 — «1и1, х=О, 1'(0) = 0 — «О и 1. 2) Алгоритм редукции. 1з у(х ух)=(х — «(у-«з)) — «((х — «у) — «(х-«г)). Пусть !' =О, тогда х -«(у -« х)= 1, а (х -« у)-« (х -« х)= О, т. е..т †« у = 1 и х -« л = О, х = 1, з = О и у = 1. Однако в этом случае х — «(у -«т) =! — «(1 — «0) = О.
Получено противоречие. т. е. Г и 1 111,:Г" (х,у)=х — «хч у. пусть Г'=О, тогда х=!, хо у=О, (х= О, т. е. ~ что невозможно, т. к. х = 1. Предположение (у=О, Г" =0 неверно,должиобыть «м1. (с=1, 1«Г«.)'(х)=х — «т. Пусть У=О, х=1, х=О, т.с. По(л = О. лучено противоречие, следовательно, Г и 1. 2.9.14. а) согвасно метолу резолюций исходное соотношение Г=)АчС,С-+ В, — «А — А — «(В-«С) преобразуем в множество Г, = (Ач С,С вЂ « В, †« А А †«(В -+ С)), которое надо проверить иа противоречивость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
