Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 43
Текст из файла (страница 43)
КНФС = =ЫУзчИ ч6ЛчУЛИч1 ЧДчЖ~АчЯ»" .гз ' »з»»ч»») (г«»з г«.«» ' зз.гз '.«з»»)(гзч.г») = ДДч~~Я ч Я~~ ч~я~» = ДНФС. Из полученной ДНФС выпишем подмножества функций, соответствующие слагаемым ДНФ. Это и будут искомыс бюисы С. В нашеьг случае имею»ел четыре базиса Б, = (О, х — г у), Бз = (х Ю у, х — г у). Б, = (О, ху «г хя), Б 4 = (х«В у, ху «+ хг): Гла С Лл ва вмскаэмюикй 999 2) С = Я * Ут, Уз э'э ) = 'ьх Ю у, .ту Ю -, л Ю у Оэ с Ю 1, .ту Оэ у.
О+ хс) Аналогичные действия дают следуюглие результаты 1табл. 6,2Юь златкис б. 29 КНФС = ДУ; с Уэ тэ Хз)Ы о У Йы Л 0~ ы Л о /з) . Б 1э о б 1; 1; = ДНФС. Таким образом Б, =1ху Юх,хЮуЮ гЮ1). Б, = 1хЮу,хЮ у Ют Ю1,туЮ ус Юхт). 31 С м 1Уых';,/;,Уыхэ)м )хУс лт,.зуд — з У,О, хЮ хУ). Таблица Паста приведена а табл. 9.29. Гябклл б.29 КНФС = ЗГэ ы Уя)12э ч 1 . УзЦ с гз ы гэ ч гз)(/ ч > ч У ). Ы'<'~з ут)= Ч вгь 8 Омоем, рвшвиии, уииввиии = У Л и Ы, ч !а!и и Хаев ч Ы, = ДНЮ 6.
Б, = (хуч хг, х), Б, = (х,х-в у», Бз = (х,кЮ ху~, Б, = (х-в у,О), Б, =(х-+ у,хЮ ау), ду. — ду ду — д'у 1.18.16, — =ха . х„— =хх„— =х х„— =х„ д'у' — д'у д(хох,) =Х ЧХХ и~Ха, — =Х 'дд, дау дау д( „ ,) ' д,д, и ~ Ха Ч Ха Ч Х Хаиа, = Х, д'у ( — — ) д*У д( „ ,) ' ' ' д,д;д, у =,[;...), д( „х„,) 1.18.!7. — д~ — ду'— 1) / (х,3, и)= хо у — в 7 а ху ч х, — = ух, — = хг, 'д 'ду дУ д'У вЂ” д'У вЂ” д'у — д'у — =хчу,— =х,— =у,— =х, =1. д.
'дд 'дда 'дуд. 'д.дуд. Тогда !(х,у,х)=1Ю1 хЮ!.уЮО гЮ1 хуЮ1 ххЮ1 ухЮ Ю1 хухи1ЮхЮуЮхуЮххЮухЮхух! 2) Г(ху)= хо у-в(х+и у)охуч ху, — =1, — =1, — Ъ| дУ ' дх ' ду д'7" дау =О, г(х,у)и!Ю! хЮ! уЮО лу=!ЮхЮу; 3) 7(х,у,х)=(х-в )(ув )в(х-ау)юхч уча, — =у, ' дх дУ' дУ вЂ” д'У д'У' — д'7" д'7' ду = ' д. = ' д ду = ' д д.
= ' дуд. = ' д удх Глава и Ллг выслали ания лоэ 1.18.18. 1.! 8.! 9. /(х,у,э)=10/О хзоО учгО хтоО хую/ хтЮ Ю 0 ут Ю 1 хух = 1 Ю х. 88 хуэ . П Рассмотрим два случая х = /с — 1 и х и /с - 1. В перлом случае х= О и (-х)= ( — 0)=0 по определению. Правая часть формулы х=/с — 1 — х=/с-1 — /г-ь1=0 Таким образом, равенство выпслняетси Во втором случае левая часть раина — (х/=/с — т=/с-(хь1)зпоб/с=/с-х — 1 По определению х = й — 1 — х, следовательно з8-1 — х = /с-! — х; 2) Пусть х=к — !,тогда х=О, х=/с — 1 — х=/с-1-/с+1=0.
(х+ у)= у, ( л)ч-( у)=0+( у)= у. Пусть теперь хм/с-/. х= и+1, (хеу)= (х+1+у)=/с-1 — х — 1 — у=/с — 2 — х — у. х = /8-! — х, у = /с — 1 — у, ( х)+ ( у) = /с -1- х+ /с -1 — у = /с — 2- х- у, 31 Рассмотрим три случаи. Пусть сначаяа х = 8-1. Тогда по определению лчементарнык операций х = О, пппГх, у) = О, ппп(х,у)= гп/п(/г-1,У)= у у=у-ь1, уех=О, l,(0)=/с — 1, Лч(х)= /,ч(х — 1)=1, ппп(х,у)-ьl~(у х)-Лы(х)'у= = х = О, глззз(х у)= гп/зз(О,У) =О. пусть теперь х к/с — 1, ио х> у. тогда пнп(х,у)= 38 тгп(т,у)= у+1, у+х=О, ээ(у.ьх)= — 1, /с,(х)=0; у+1ч-/с — 1 — 0 у=/сч у= у, зпзп(х у)= пни(л+ 1,У)= У Наконец, пусть хи й — 1, на х < у. Тогда аналогично гпзп(х,у)= х, вш(зту)= хч-1, х= х+1, у — х= у — х, Уэ(/ - х) = О, /„ ,(х) = О; х ч- 1 -ь О - О у = хч- 1, ппп(х,у)= х+1.
1) Таблина истинности этой оперании очень короткая /табл. 6 301 несть б Огеане ашания, уюааная зог Разложение по формуле 11.16,9) или 11.16.10) имеет следующий вид: Г(х) = ЯО) л Ус(з )) у (/ (1) л уг(х))тг (Г(2) л.уг(х)) = =(! лус(т))тг(2лl,(х))о(Ол/г(х))=/с(х)у2/,(х). Если воспользоваться другим обозначением дл» операций коньюнкции н дизьюикцни, то получим 3'(х)= пгая(ппп(1,3я(т)); ппп(2,3г(х)) (О,уг(х)))= = гпая(пцп(1, Ув (х)).У, (х)), т.
к, пшг(2, 3, (х))= 3, (х), а в!п(0,/г(х))=0. Аналогично, вторая форма разложения имеет вид .г(х)=(г (О) 3о(х)+„Т(1) Л(х)+Т(2)'уг(х))во63и =(3е(х)»2. !',(х))пюбЗ; 2!. 3'(х) = (3 л /а(х))о (2 л У, (х))о (! л Уг (х))у (О л Зэ(х)) = =3 /е(х)о2 3,(х)ч.Уг(х)= = вах(ув(х) ппп(2,3, (х)) ппп(1,3г(х))). Дх)и(З.уа(х)е2 3',(х)+1 Зг(х)+0 ° Зг(х))во64и =(3 36(х)+2 3!(х)+уз(х))вобй. Таблица истинности этой функции приведена в табл.
6.31. Т блица 6 тб Тиймца 6.31 3) э' =к+у =х. у у.Табвицаистиннсстинриведенавтабл.632. Таблица 6.33 Глава Л, ллт 6 енскаамваииа Таблиц» 6.33 !околкам е/ /(х, у) = (1 и./, (х) л У» (у)) о (2 л У, (т) д /е (у)) о о(1л/,(х)л 3»(у))о(1 л/т(х)о/3(у))=птах(п»»п(1,/,(х) /о(у)) ппп(33(х/уо(у))п»1»ь(1 33(х)3,(у)) ппп(1,/,(т)/,(у))), /(х,У)=(/,(х) /с(У)+2 /3(х) /е(У)е/т(х) /»(У)е/т(х) !',(У))гообз таблица 6.33 1.! 8 20. 1) сначала прелстаиим функпию 3 (х) =.т'.»-х /при /г = 51 во второй форме Таблица истинности / (х) приведена в тнбл 6.33. /(х) = / (О) /е (х) ь / (1) А (х) + / (2). Л (х)+ / (3) Л (х ) + +/(4)./»(х)=0 /е(х)60./»(х)62 гт(х)+1 /3(т)+О 3„(х)= = 2 /т(х)»- /3(х). Составим твблину исгннпсоти !табл 6.34! оескольки: вспомогательных функпий, нз которой меж»»а получить несколько соат- Чеоп д.
оеаепа июни», леви иа ношений, /(х)=! — ха', /(х)=~а(х-а), а=12,...,Й-1 (по. оледнее соОтношеиие очевидно по определению). тай ца дЗВ уплел б. Алке епа еэиелнпя зол Тогда А(х)=/с(х — 2)=1 — (х — 2) ' =1-(х-2)' = =1 — 1х +2х — х — 2х+1)= — х — 2х +х +2х, 2 Ъ 4 3 3 В(х)5 уо( -З)=1-( -3)'=1-(х -Зх'- 'ь2хь1)= =-х +2х +х — 2х, 3 2 зг(х)= 2'Л(х)т)т(х)= 2х' — 2х' — 2х т2х. Все умнозкения и сложения производятся по ьзолулю пять Применим к этой же звляче более понятный здесь метод неопределенных коэффициентов /(х)=а ыа,х+а,х на,хз+а„х Батсе высоких показателей степени нс будет, ибо хы' = х' пзоб5. Составим Систему уравнений: а, = !'(О)=О, ас ьа, +а, ел, иа, = Д(1)= О, а, + 2а, и4а, тЗаз+и, = Г(2)= 2, а, +За, +4а, +2а, за, = Г(3)=1, а„з-4а, +а, +4а, иа„= г"(4)=О Из решения системы нктодиьз а, =О, а, = 2, ат =3, а, = 3, а„=2,т с З'(х) = 2х+ Зх' + Зх'+ 2х' = 2х' — 2х' — 2к' + 2х; 2) г'(х 1)= игах(2хыу, х у) й = 3.
В табл. 6 35 приведена таблица истинности у (х, у) тпв кн с.яу Часы Л Отвесы щения, ее*алия Найдем снаЧала полинам меюдом неопределеннЫх коэффициентов. Здесь х'е = хз щод3, т, е, в резломчнии у х и у не будет степеней выме второй. Свм многочлен будет иметь вид З (ху)=аз+а х+азу+азхуча,хз+а у'+асх/з +а,ух'+а хзу'. Составим систему уравнений для его коэффициентов: У(О,О)=О=а„ у(01)=О=а, +а„ у(0,2)= 0 = 2а, +а,, /'(1,0)=2=а, +а,, /(1 1) = 1 = а, ч а, + а, + а, + а, + а, + а, + а,, ./(1 2)= 2= а, +2а, +2а, +а, +а, +а, ч 2а, +а„ у(2,0)=1=2а, +а„, /'(2,1)= 2 = 2а, +а, +2а, +а„+ аз+2а, ьа, +а,, г(22)=1= 2а, +2а, +а, +а, +а, ч 2а, +2а, +а,. Система легко решается методом исключения; ае =О, а, = 2, аз =О, а, = 1, а, = а, = О, а, = 1, а, = а, = О.
Таким обрезом, /(х,у)= 2х+ ху+ ху'. Предстввим теперь функцию / (» у) в первой и второй форме: /(х у)= (2п з' (х)л 2е(у))ч (1 п.У (т)л./ (у))ч (2 п з' (х)п зэ (у))ч (! /з(х)л "ге(у))ч (2 и "г (х) / (у))ч (! / (х) / (у))= 2'Л(х)' у,(у)ч-1 /,(х) у,(у)+ 2 ° /',(х) /з(т)ч1 /,(х) /в(у)ч 2 А(х) /',(у)+ + 1. /з (х). /з (у) . Воспользуемся полученными в предыдущем примере соотнопгениями / (х)=1 — х' ' и /,(х)=/ (х — /) /=1,2,...,л — 1.
Тогла /, (х) = / (х — 1) = 1 — (х-1)з = 1 — хз + 2х-1 = — хз + 2х, 1„(у) = 1- у» / (у)=-у'+2у, А(у)= А(у-г)=1-(,-2)* = !-у'+ у-1=-у'+ у, /,(х)= — х'+ х. Глс б Длгеб ен иззнваннй эог Наконец получим выражение для самой функции: Дх,у)= ( — х +2хК2 — 2у )+ ( — х'ч 2х,:( — у + 2у)ч-( — 2хт-ьх) (-)"у) (-'" )(1- ') (- *- ')(- " ).(- с") - у + у ) = -2хэ б х ч 2 т' з ' - ту а + х у - 2хг' — 2 ух' -ь у е ч-2х ут-хуз-2ухз+ьу-хз; ьхзуз-хуз 1-2хгуз-2хуз-х уь + ху + х' у' — хг' — ух' + лу = 2 т — 2ху' + ху = 2 т + ху + ху'-.
6.4. Ответы и решения практического занятия Мв4 1.21 1. а) х = ф (х,х), г. к З(у = ху, элемент ф уже реаянзует эфт= хх= х. Задержка равна единице. На рис.бб изобрвлмна схема лля х Мы раны предполагали, чта нсе функциоиыжныс элементы, из которых строятся схемы, являкзтся однатактными.
Следовательно, сигнал на выходе схемы, равный т брис. 6.6), появится через один такт после появления сипзала х на обоих владах функционавьного элемента фт; Рвс. 6.6 Рис, 6.7 Р сб.в Р . б.в 6) хУ=Дзт(х,У), т, к, хУ= хУ= ЗУ ЗадсРжка Равна двУм тактам. На вхолвх нижнего элемента Грнс 67) — сигналы к и у. нв выходе .ту= Зу На входах верхне~о элсмсига ху и .Зу, на вьоа- ле )х)у)Яу)=Щук())=хулу=ху=ху=<рДх,у), Часы Л. Отвези, шелл», у»щамм в) хо у = хе у = ху = (х)х)(1'(у), задержка равна двум таким. на входах нижних злеменюв х и у (рис. 6.8), на выходах х и у; на выходе верхнего элемента хо у = х(у = йгз'тт, у) г1 1=О=хх=з(х=йзз(хх).
На входе схемы х. х=йзз(х,.т), т.е. на выходе нижнего элемента грэ через такт, т. к. все элементы однотакювые, вырабатывается х. Следовательно, левый сигнал на верхний элемент (ЗЗ должен подаваться с задержкой в один такт щ~ — элемент, реализующий задержку х на один такт (рис. 631, На выходе верхнего элемента грз сигнал равен з(х= хх=0 =1. Задержка схемы равна двум таким; з0 смотрите предылущий пункт. Обща» задержка схемы равна трем тактам (рис. б.
10); е) »Э у = »учху =хч учхч у = хо учхо у= = ~~у)ч ((х) у)= (хо у)~х(ч у)= р ~а ч у х и у)= ЗзЫ» у) Зззтт у)). Залержка схемы равна трем тактам (рис. 6.11). На рис. 6.11 знаками (хе у) и (хо у) обозначены (з:чу) и (з чуу). Рнс. 6.Щ Рис. 6.11 Глава В. Дамб внимэнаанид 1.21.2 Перечисли» все простые цепи схем, изображенных иа рис. 1,19, и определим па ннм дизьюнкцию по формуле (1.19.!). После упрощения полученных выражений найдем функцию проводимости: а) хугч!угч ххч ухгчухухч М и у!(хч1)члячухгч ч ухухч !г и угч хгч !г ч игг; 6) «ухч хххч х)гуано хухч хгхч ту!ух ч хгугх = 0 ! в) хуч хгич!нч !гу. 1.2!.3.
а) схема; б) не является схемой, т. к. последний вход тр! соединен с вьжодами грз и гра, а вход каждою элемента ф, мажет быть соелинен не бо- лее ием с одниьз выходом элеьзеита ф,н в) не схема, ибо зрз, фз и зрз сбразузот цикл. 1 21 4. Релейно контактные схемы жзаннык функций изображены на рис. 6 12 Рис. 6.11 1.21.5.
а) (уч г) — ! хум уч гч ху му ч хуиу(хог)(рис.613,а); 6) ху ть ухи (ху -ь ух~ух -эху)и(хуч ух, Цкч зттн ж ((х ч у))г ух))((((у ч х)ч з у) н ((х и у ч ух))Гх ч у и ху)и и (хо у)(хо у)и луч ху <рис 6.!3 6); и) х цз у Э г = (ху и ху)Й г ~~ и ч ху)г и (ту ч ху х —= мхуг ! хухч «улху~г ихухчхухчхугчхуг (рис 6!3,в). Ч см Л. Оеспг, шсния, указания зго Рис. 6.13 1.2!.б а) схсма формулы (хи уг)!хуо Щ) изображена на рис.
6.14; б) к.схсма формулы (х!Рч г)ч г)х привсдсиа иа рис. 6.15. Рвс. 6Л4 Риг. 6.15 1.21.7. а) рассмотрим множество простых цепей схсмы вида Пх," . Очс- видно,двс цепи хх ...х„и цх, х„нс будут имать вссставсзлемснты Х и х, одиоврсьгснно, их функция проводимости /'= х,х,...х„ч х, х, х„. Хотя остальньы цепи также будут сушсствснны 1каждаа внугрснняя вершина будет обходиться один раз), их функция пронодимссти будет равна нулю; б) существует лишь одна цепь бсз повторсний зясмситов х, и х, .
Эю цспь Х,лз....т„х,, функция проводимости по остальным цепям равна нулю. 1 2! .8. Упростим приссдснныс формулы, чтобы к юхана бьша проще. а) х(уг и уг) и х) уг ч уз) н х(угч у и ) ч х)уг ч у-) ж Гл вв Л алгебра высказываний 3«1 юхи«ч х ич с ч хулч хулю у(х чл«)ч л(хч«у)ч аул ю = у(хч л)ч с(х «у)члул =ху'' у '« ха чу' ч луг ю юх(уч \«)чтлчх. чу ю =сучхлчуячхвч илю«(хчу)чх(лчу)ч) . Схема итображенаиарнс 6.16,л; Рнс. бдб 6) ((х — в у)о () — л л)) т (т е ) — = (х ч чу ~)ч х~ч (х ч л) ° юхуч ухчхчл ю (х гху)ч (л мху)ю хч уча чую!юхчл (рис. 6.! 6, 6 ); в) Очевидно, чго х (уюхчу, хчу=(ха у)1(л)у), х ну=(х(л)6(уф у), тогда л ф у =к чу мху схема илображеиа на рис 6.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
