Занятие 14(Фдз 15) (1018652)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5

Занятие 14 (Фдз 15).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

14.1. Ортогональные преобразования координат. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

14.1. Ортогональным преобразованием координат называется преобразование координат векторов

или (1)

при переходе от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису этого пространства. Координаты связаны с базисом , а координаты - с базисом .

Матрица является ортогональной матрицей, т.е. .

Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием (1) координат можно привести к каноническому виду. Делается это последовательным выполнением следующих шагов.

1. Записывается матрица заданной квадратичной формы.

2. Находятся собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы , которую можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе - мерного евклидова пространства .

3. По собственным векторам находится ортонормированный собственный базис оператора и ортогональная матрица перехода от базиса к базису .

4. В заданной квадратичной форме выполняется преобразование (1), в результате которого квадратичная форма принимает следующий канонический вид

. (2)

Пример 1. Привести квадратичную форму ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение. Выполним все указанные выше шаги 1 – 4.

1. - матрица квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства .

2. - собственные значения матрицы .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

3. Векторы - собственные векторы с различными собственными значениями. Поэтому эти векторы ортогональны. Они образуют ортогональный базис пространства .

Нормируем эти векторы.

.

.

- собственный ортонормированный базис.

Записывая координаты векторов в виде столбцов, получим следующую матрицу перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

.

Проверим на ортогональность матрицу .

- ортогональная матрица.

4. Проведем в квадратичной форме ортогональное преобразование координат

. (3)

- канонический вид квадратичной формы, полученный ортогональным преобразованием координат (3).

Заметим, что ответ полностью согласуется с формулой (2).

Пример 2. Привести квадратичную форму

ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение.

1. - матрица заданной квадратичной формы.

2. .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

3. - собственные векторы с различными собственными значениями - ортогональный собственный базис.

Нормируем векторы .

.

.

- ортонормированный собственный базис.

По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования координат и само это преобразование.

.

4. Используя найденное преобразование координат приводим квадратичную форму к каноническому виду.

.

Пример 3. Привести квадратичную форму

ортогональным преобразованием к каноническому виду.

Решение.

1. - матрица заданной квадратичной формы. Эту матрицу можно считать матрицей симметричного оператора в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства .

2. .

.

.

- два линейно независимых собственных вектора с собственным значением .

.

3. - собственный базис. Он не является ортогональным, т.к. не ортогонален вектору . Проведем процесс ортогонализации к системе векторов .

.

, .

Векторы образуют собственный ортогональный базис симметричного оператора . Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис .

.

.

.

4. По координатам векторов находим матрицу ортогонального преобразования и само ортогональное преобразование координат.

.

.

Домашнее задание.

1. Ортогональным преобразованием координат привести квадратичную форму

, к каноническому виду. Найти индексы инерции этой формы.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций