Главная » Просмотр файлов » Занятие 2(Фдз 3)

Занятие 2(Фдз 3) (1018639)

Файл №1018639 Занятие 2(Фдз 3) (Занятия и Фдз по АиГ)Занятие 2(Фдз 3) (1018639)2017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5


Занятие 2 (Фдз 3). Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.

2.1. Однородная система линейных уравнений, ее совместность. Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы. Базис (фундаментальная система решений) и размерность пространства решений линейной однородной системы.

2.2. Неоднородная система линейных уравнений, соответствующая ей однородная система. Теорема о структуре совместной линейной неоднородной системы.

2.1. Линейная система алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. Т.е. линейная однородная система, это – система вида

.

Однородная система всегда совместна, у нее есть тривиальное решение: . Структуру общего решения линейной однородной системы определяет следующая теорема.

Множество всех решений линейной однородной системы образует линейное пространство.

Базис этого пространства решений называется фундаментальной системой решений (сокращенно ФСР).

Пример 1. Найти общее решение и ФСР однородной системы

. (1)

Решение.

Применим метод Гаусса. Преобразования системы проводим на ее матрице .

. (2)

Здесь были выполнены следующие операции:

1) в матрице переставили местами 1-ю и 2-ю строки (получили матрицу );

2) в матрице прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число (-2) и

к 3-й строке прибавили 1-ю строку (получили матрицу );

3) в матрице 2-ю строку разделили на (-3) и

3-ю строку разделили на 2 (получили матрицу );

4) в матрице к 3-й строке прибавили 2-ю строку (получили матрицу );

5) в матрице 3-ю строку разделили на 5 и получили матрицу треугольного вида.

По матрице находим соответствующую однородную систему (2), эквивалентную системе (1).

В системе (2) неизвестная является свободной, а неизвестные - базисными.

Положим, , где - произвольное число. Затем, из 3-го, 2-го и 1-го уравнений системы (2) последовательно находим

,

,

.

Следовательно, общее решение системы (1) можно записать в виде , где .

Перепишем это решение в векторном виде .

Отсюда видно, общее решение системы (1) является одномерным линейным пространством с базисом

.

Таким образом, фундаментальная система решений системы (1) состоит из одного решения .

Пример 2. Найти общее решение и ФСР однородной системы

. (3)

Решение.

Применим метод Гаусса. Преобразования системы проводим на ее матрице .

. (4)

Здесь были выполнены следующие операции:

1) в матрице переставили местами 1-ю и 3-ю строки (получили матрицу );

2) в матрице ко 2-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2,

к 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на ( ) и

к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на ( ),

(получили матрицу ),

3) в матрице к 3-й строке прибавили 2-ю строку и 4-й строке прибавили 2-ю строку,

(получили матрицу треугольного вида).

Матрице соответствует однородная система (4), эквивалентная системе (3).

У системы (4) неизвестные являются свободными, а неизвестные - базисными.

Положим, , где - произвольные числа. Затем, из 2-го и 1-го уравнений системы (2) последовательно находим

,

.

Таким образом, общее решение системы (3) можно записать в виде: .

Это решение в векторной форме перепишется так: .

Отсюда видно, что множество всех решений является трехмерным линейным пространством, представленным линейной оболочкой на следующих трех решениях

.

Эти три решения - базис пространства решений системы (3), т.е. ее фундаментальная система решений (ФСР).

Пример 3. Найти общее решение и ФСР однородной системы

. (5)

Решение.

Заданная система (5) является невырожденной системой, т.к. ее главный определитель

,

отличен от нуля. В силу правилу Крамера система (5) имеет только одно решение:

или в векторном виде .

В данном случае общее решение системы образует линейное пространство из одного нулевого элемента. Это пространство имеет нулевую размерность и не имеет базиса. Поэтому, ФСР у системы (5) нет.

2.2. Рассмотрим теперь линейную неоднородную систему алгебраических уравнений

. (6)

Если все свободные члены системы (6) заменить нулями, то получающаяся однородная система

называется соответствующей однородной системой.

Если система (6) совместна (напомним, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы), то ее общее решение подчиняется следующей теореме.

Теорема (о структуре общего решения неоднородной системы). Общее решение неоднородной системы состоит из общего решения соответствующей однородной системы плюс частное решение неоднородной системы.

При исследовании линейной неоднородной системы требуется уметь находить общее решение и выделять из него общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной системы.

Пример 4. Найти общее решение неоднородной системы

(7)

и выделить их него: частное решение неоднородной системы и общее решение соответствующей однородной системы с указанием ее ФСР.

Решение. Применим метод Гаусса. Преобразования заданной системы осуществим с помощью расширенной матрицы системы.

Решение проведем с использованием расширенных матриц.

(8)

Здесь:

1) в матрице переставили местами 1-ю и 3-ю строки (получили матрицу );

2) в матрице ко 2-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2,

к 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на ( ) и

к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на ( ),

(получили матрицу );

3) в матрице к 3-й строке прибавили 2-ю строку и 4-й строке прибавили 2-ю строку

(получили матрицу );

4) в матрице отбросили несущественные нулевые строки и 2-ю строку разделили на (-5),

(получили матрицу треугольного вида).

Матрице соответствует неоднородная система (8), эквивалентная заданной неоднородной системе (7).

У системы (8) неизвестные являются свободными, а неизвестные - базисными.

Положим, , где - произвольные числа. Затем, из 2-го и 1-го уравнений системы (8) последовательно находим

,

.

Таким образом, общее решение системы (5) можно записать в виде: .

Это решение в векторной форме перепишется так: .

Если в найденном решении положить , то получим частное решение неоднородной системы (7)

.

Общее решение соответствующей однородной системы это

.

ФСР общего решения соответствующей однородной системы представляют два решения

.

Пример 5. Найти общее решение неоднородной системы

(9)

и выделить их него: частное решение неоднородной системы и общее решение соответствующей однородной системы с указанием ее ФСР.

Решение.

Данная система является невырожденной и ее можно решить по правилу Крамера.

- главный определитель системы.

Вспомогательные определители:

, , .

.

Общее решение системы состоит из одного решения .

В векторном виде это решение запишется так: или .

Частное решение неоднородной системы (9): .

Общее решение соответствующей однородной системы: .

образует линейное пространство нулевой размерности. Поэтому, фундаментальной системы

решений у нет.

__________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений у следующих однородных систем:

1.1. ; 1.2. .

2. Найти общее решение неоднородной системы. Выделить из него частное решение этой системы и общее решение соответствующей однородной системы (с указанием ФСР).

.

3. Найти общее решение неоднородной системы. Выделить из него частное решение этой системы и общее решение соответствующей однородной системы (с указанием ФСР).

.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
245,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее