Занятие 8(Фдз 9) (1018645)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

6

Занятие 8 (Фдз 9).

Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве.

8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе.

8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы.

8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

8.1. Пусть - -мерное линейное пространство. Линейной функцией на этом пространстве называется отображение векторов на вещественную ось , обладающее свойством линейности:

или

и . (1)

Если - базис пространства и - координаты вектора в базисе , то

, где .

Пример 1. На линейном векторном пространстве заданы две числовые функции . Проверить, есть ли среди них линейные функции.

Решение.

.

.

Согласно (2) функция не является линейной функцией.

,

.

.

Выполнены оба свойства (2). Следовательно, - линейная функция.

Пример 2. . стандартный базис пространства . На этом пространстве задана линейная функция такая, что

. Найти , если .

Решение.

.

.

8.2. Билинейной функцией на линейном пространстве называется числовая функция линейная по одновременно, т.е.

; (2)

. (3)

В базисе пространства билинейная функция принимает вид

, (4)

где , и - координаты векторов в базисе .

Выражение называется билинейной формой координат и .

Если , то билинейная функция называется симметричной.

Билинейную форму можно записать в векторно-матричной форме

, (5)

где .

Матрица называется матрицей билинейной формы или матрицей билинейной функции в базисе .

У симметричной билинейной формы матрица симметрична . Соответствующая форма (5) называется симметричной билинейной формой.

При переходе к новому базису пространства , в котором координаты векторов соответственно равны и билинейная функция представляется билинейной формой

,

в которой .

Матрицы и связаны между собой равенством

. (6)

Здесь - матрица перехода от базиса к базису .

Пример 3. На линейном векторном пространстве заданы две числовые функции . Проверить, есть ли среди них билинейные функции.

Решение.

Пусть

,

.

1) Исследуем функцию . Сначала проверим линейность функции по первому аргументу.

.

линейна по первому аргументу.

Теперь проверим линейность функции по второму аргументу.

.

.

не линейна по второму аргументу.

Окончательный вывод: функция не является билинейной функцией.

2) Исследуем функцию . Сначала проверим линейность функции по первому аргументу.

линейность по первому аргументу.

Теперь проверим линейность функции по второму аргументу.

линейность по второму аргументу.

Окончательный вывод: - билинейная функция.

В дополнение приведем векторно-матричное выражение для и ее матрицу.

.

Здесь .

Следовательно,

- матрица билинейной функции в базисе .

и т.д.

Пример 4. Билинейная функция на двумерном линейном пространстве в базисе

представлена следующей билинейной формой,

, где - координаты векторов в базисе .

Найти выражение функции и матрицу этой функции в базисе , если .

Решение.

, где .

- матрица функции в базисе .

Найдем матрицу перехода от базиса к базису

-1-й столбец матрицы . - 2-й столбец .

.

По формуле (6) вычисляем матрицу билинейной функции в базисе .

.

В базисе билинейная функция имеет следующее выражение

.

Здесь , - координаты векторов в базисе .

8.3. Квадратичной функцией на - мерном линейном пространстве называется билинейная функция при совпадающих аргументах, т.е. при .

Следовательно, . В базисе пространства

.

В найденном выражении функции , слагаемые и представляют подобные члены: . Поэтому,

, где при и .

Выражение квадратичной функции в виде называется квадратичной формой.

Пример 5. Найти квадратичные формы соответствующие билинейным формам:

; .

Решение.

1)

.

2)

.

Следует отметить, что две различные билинейные формы могут давать одну и ту же квадратичную форму. Например, билинейные формы

,

приводят к одинаковой квадратичной форме

.

Таким образом, между билинейными и квадратичными формами не существует взаимно однозначного соответствия. Однако, если рассматривать только симметричные билинейные формы , то между этими формами и соответствующими им квадратичными формами автоматически устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметричную матрицу , в которой . Такое соответствие взаимно однозначно (биективно) отображает множество всех квадратичных форм на множество симметричных матриц. Матрицу называют матрицей квадратичной формы.

Пример 6. Найти матрицы квадратичных форм

, .

Решение.

1)

.

- матрица квадратичной формы .

2)

.

- матрица квадратичной формы .

С помощью матрицы квадратичной формы эту квадратичную форму можно переписать в следующей векторно-матричной форме

.

Пример 7. Записать квадратичные формы

, в векторно-матричной форме.

Решение.

Воспользуемся матрицами квадратичных форм и , найденными в примере 6.

.

При переходе к новому базису , с которым связаны координаты , квадратичная форма меняется по закону

,

где , - матрица квадратичной формы в новом базисе, ее получают из матрицы с помощью формулы , в которой - матрица перехода от старого базиса к новому базису ( - невырожденная матрица, ее определитель отличен от нуля).

Напомним, что старые и новые координаты связаны равенством или

.

Эти формулы называются невырожденным линейным преобразованием координат.

_______________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Билинейные формы , в базисе имеет вид

1.1. .

1.2. .

Найти матрицу билинейной формы, ее матричное представление, а также матрицу и выражение в новом базисе .

2. Найти квадратичные формы, соответствующие билинейным формам

из примеров 1.1, 1.2. Записать эти квадратичные формы в матричном виде. По квадратичным формам записать соответствующие им симметричные билинейные формы.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций