Занятие 6(Фдз 7) (1018643)
Текст из файла
5
Занятие 6 (Фдз 7).
Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
6.1. Характеристическая матрица, характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Нахождение собственных значений из характеристического уравнения и собственных векторов из однородной системы уравнений с характеристической матрицей.
6.1. Собственные значение и собственные векторы линейного оператора обычно находят по матрице оператора.
Пусть ;
- базис линейного пространства
;
- координаты вектора
в базисе
;
- матрица оператора
в базисе
;
- единичная матрица.
называется характеристической матрицей.
Определитель после его вычисления дает
многочлен степени относительно переменной
. Полученный многочлен называется характеристическим многочленом.
Уравнение
называется характеристическим уравнением. Это уравнение позволяет найти все собственные числа (значения) оператора (и действительные и комплексные), они называются также собственными числами матрицы
.
Таким образом, собственные числа – корни характеристического уравнения. Следует особо отметить, что собственные числа оператора не зависят от базиса, они одни и те же в любом базисе пространства
.
Ниже будем искать только действительные собственные числа оператора и отвечающие им собственные векторы.
После того, как характеристическое уравнение решено, и действительные собственные числа оператора
найдены, собственные векторы оператора
(они называются также собственными векторами матрицы
) находятся из систем линейных уравнений, матричное представление которых имеет вид:
Множество всех ненулевых решений системы (2) – собственные векторы линейного оператора (матрицы
) с собственным значением
.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
- корни кратности 1 характеристического многочлена. Это - собственные числа матрицы
.
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы матрицы с собственным числом
. Все эти векторы находятся по вектору
, умножением на произвольное число
. Поэтому, в качестве собственного вектора матрицы
с собственным значением
в ответе обычно указывается вектор
.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- все собственные векторы матрицы с собственным числом
. Здесь вектор
служит "определяющим" собственным вектором матрицы
, отвечающим собственному числу
данной матрицы.
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Запишем характеристическое уравнение
Это уравнение имеет два комплексных корня , где
. Таким образом, собственные числа матрицы
- комплексные числа
. Обычно ограничиваются нахождением действительных собственных чисел матрицы и соответствующих им собственных векторов. Ответ в этом случае таков: заданная матрица не имеет ни одного действительного собственного числа, и значит, не имеет собственных векторов с действительными координатами.
Однако у матрицы имеются собственные векторы с комплексными координатами. Найдем их.
Сначала найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
Если 2-е уравнение полученной системы умножить на , то получим 1-е уравнение этой системы. Поэтому, система эквивалентна системе
из одного уравнения.
Положим в ней , получим
. Следовательно,
- собственный вектор матрицы
, отвечающий собственному числу
. Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора
, умножением на произвольное комплексное число
.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
Положим , получим
. Следовательно,
- собственный вектор матрицы
, отвечающий собственному числу
. Все другие собственные векторы с данным собственным значением получаются из вектора
, умножением на произвольное комплексное число
.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Решение.
Собственные числа матрицы найдем из характеристического уравнения
- корень кратности 2 и
- корень кратности 1 характеристического уравнения.
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор
.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственному числу .
"Определяющий" собственный вектор для числа – вектор
.
Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где
, если оператор
действует по правилу
, где
.
Решение.
Поставленная задача уже была решена в примере 7 занятия 5 исходя из определений собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Здесь приведем другое решение, основывающееся на матрице оператора и характеристическом уравнении.
1) Найдем матрицу оператора
в стандартном базисе пространства
:
Полученные столбцы приводят к следующей матрице .
Характеристическое уравнение:
Его корни - собственные значения оператора
.
2) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному числу .
- собственные векторы матрицы с собственным числом
, они представляют линейную комбинацию трех "определяющих" собственных векторов:
.
Таким образом, собственному числу оператора
отвечают собственные матрицы:
.
3) Теперь найдем собственные векторы матрицы для числа
.
- все собственные векторы матрицы с собственным числом
. Они представляют линейную комбинацию на векторе:
, который приводит к матрице
Итог: собственному числу оператора
отвечают собственная матрица
.
Сравнение полученных результатов с результатами примера 7 занятия 5 показывает их полную идентичность.
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где
, и оператор
действует по правилу
.
Решение.
Найдем теперь матрицу оператора
в стандартном базисе
пространства
.
- собственные числа матрицы
и одновременно собственные значения линейного оператора
.
Собственному вектору отвечает многочлен
.
Собственному вектору отвечает многочлен
.
Следовательно, многочлены вида являются собственными многочленами (отвечающими собственному значению
) заданного линейного оператора
.
_____________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где
, и оператор
действует по правилу
. Провести решение с помощью матрицы оператора в стандартном базисе
пространства
.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.