lamb2 (1018220)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЛЭМБА. МЕТОД КАНЬЯРАД. В. ПерегудовПостановка задачиНа двумерные задачи можно смотреть двояко. Обычно считают, что двумерныезадачи — это трехмерные задачи, в которых все величины не зависят от одной издекартовых координат. Иногда говорят, что это задачи с линейными источниками.Можно, однако, считать двумерные задачи самостоятельными. Мы принимаемвторую точку зрения, в связи с чем ниже всюду будет использоваться “двумерная”терминология.PyxК постановке задачи.Рассмотрим однородную изотропную упругую полуплоскость со свободной границей.

Будем считать, что ось x декартовой системы координат направленавнутрь полуплоскости, а ось y — вдоль границы. Распространение волн в полуплоскости описывается уравнениями теории упругостиρüi = cijkl ∂j ∂l uk ,где ρ — плотность, ui (t, x, y) — вектор смещения, cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk )— тензор Гука. Индексы i, j, k, l пробегают значения x и y. Внешние объемныесилы отсутствуют. На свободной границе обращаются в нуль xx- и xy-компонентытензора напряженийσij = cijkl ∂l uk .В начальный момент времени t = 0 к началу координат на свободной поверхностиприложили сосредоточенную импульсную силу (с импульсом P ), направленную1Typeset by AMS-TEX2вдоль оси x. Выпишем явно покомпонентно уравнения, начальные и граничныеусловияρüx = (λ + µ)∂x (∂x ux + ∂y uy ) + µ(∂x2 + ∂y2 )ux ,ρüy = (λ + µ)∂y (∂x ux + ∂y uy ) + µ(∂x2 + ∂y2 )uy ,(1)ux (0, x, y) = 0,uy (0, x, y) = 0,u̇x (0, x, y) = 0,u̇y (0, x, y) = 0,σxx (t, 0, y) = (λ + 2µ)∂x ux + µ∂y uy = −P δ(y)δ(t),σxy (t, 0, y) = µ(∂x uy + ∂y ux ) = 0.Заметим, что в граничное условие для σxx входит P со знаком минус.

Это связанос тем, что объемная упругая силаfi = ∂j σij .Интегрируя это равенство по объему, ограниченному поверхностью Γ, и применяятеорему Гаусса, получим для силы, действующей на весь объем, формулуσij nj dS,Fi =Γгде n — внешняя нормаль. Поскольку у нас ось x направлена внутрь полуплоскости, то нормаль имеет отрицательную x-компоненту, и σxx будет отрицательнадля силы, направленной по x.2=Удобно ввести скорости продольных и поперечных волн v2 = (λ + 2µ)/ρ, v⊥µ/ρ, а также их отношение γ = v /v⊥ и новое время τ = v t.

Система (1) переписывается в видеγ 2 üx = (γ 2 − 1)∂x (∂x ux + ∂y uy ) + (∂x2 + ∂y2 )ux ,γ 2 üy = (γ 2 − 1)∂y (∂x ux + ∂y uy ) + (∂x2 + ∂y2 )uy ,(2)ux (0, x, y) = 0,uy (0, x, y) = 0,u̇x (0, x, y) = 0,u̇y (0, x, y) = 0,σxx (τ, 0, y) = µ[γ 2 ∂x ux + (γ 2 − 2)∂y uy ] = −P v δ(y)δ(τ ),σxy (τ, 0, y) = µ(∂x uy + ∂y ux ) = 0,где точкой обозначается теперь дифференцирование по τ . Задача (2) называетсядвумерной задачей Лэмба.Исторический очеркВпервые задача в приведенной выше постановке появилась в статье Лэмба1904 г. [1].

Следует отметить, что одновременно на эту работу ссылаются как напервую работу, в которой интегральные преобразования были применены в теорииупругости. Лэмбу удалось получить явные выражения, но только для смещения награнице. В трехмерной задаче ему удалось получить смещения на границе в виде3однократного интеграла. По-видимому, впервые явные выражения для смещенияво всей полуплоскости были получены Смирновым и Соболевым в 1932 г.

[2] спомощью метода функционально-инвариантных решений. Годом позже Смирнови Соболев [3] получили решение трехмерной задачи (во всем полупространстве) ввиде однократного интеграла от алгебраической функции по некоторому контурув комплексной плоскости.Для переполучения результатов Смирнова и Соболева методом интегральныхпреобразований понадобилось еще шесть лет. В 1939 г. Каньяр опубликовал монографию [4], в которой подробно рассмотрел отражение и преломление сферическойволны на границе раздела двух полупространств.

Для вычисления обратных интегральных преобразований ему пришлось придумать метод, ныне носящий его имя,а знаменитый “путь Каньяра” впервые появился на рис. 13 главы V его книги. Каньяр рассматривал только трехмерный случай и получил выражения для решенияво всем пространстве.Насколько можно судить, работа Каньяра и исследования советской школы проводились независимо. В 1950 г. Петрашень, Марчук и Огурцов опубликовалиработу [5], в которой переполучали результаты Смирнова и Соболева методом интегральных преобразований.

Справедливости ради заметим, что они применилинесколько иную, чем Каньяр, технику обращения интегральных преобразований,основанную не на деформации контура, а на изменении порядка интегрирования(в связи с анизотропной теорией упругости этот способ принято называть методомВиллиса [6]).

Однако и тот и другой способы существенно опираются на введенуюеще Лэмбом замену переменных. Фактически Лэмб пользовался методом Каньяра,только в очень специальном случае.Метод Каньяра был развит и обобщен в работе де Хупа [7].Решения трехмерной задачи Лэмба и сходной задачи для горизонтально приложенного усилия во всем полупространстве выражаются через эллиптические интегралы.

В 1979 г. Ричардс заметил [8], что значительная часть этих интеграловдля точек на поверхности выражается через элементарные функции. В частности,выражается через элементарные функции вертикальное смещение на поверхностив задаче Лэмба.Настоящая заметка следует в основном Поручикову [9], но не вводятся потенциалы упругих волн.

Нам кажется, что такой более прямой подход упростилизложение.АлгебраРешение поставленной задачи довольно просто выписывается методом Фурье.Для этого введем лапласовский образ смещения по времени(3)Vx,y (ω, x, y) =∞0dτ e−ωτ ux,y (τ, x, y)и фурье-преобразование V по y(4)Ux,y (ω, x, k) =+∞−∞dy e−iky Vx,y (ω, x, y).4Проделывая над уравнениями (2) преобразования (3) и (4), найдем(5)(6)γ 2 ω 2 Ux = γ 2 ∂x2 Ux − k 2 Ux + ik(γ 2 − 1)∂x Uy ,γ 2 ω 2 Uy = ∂x2 Uy − k 2 γ 2 Uy + ik(γ 2 − 1)∂x Ux ,γ 2 ∂x Ux + ik(γ 2 − 2)Uy = −P v /µ,∂x Uy + ikUx = 0, x = 0.x = 0,(При преобразованиях нужно учитывать, что лапласовским образом от ü(t, x, y) является ω 2 V (ω, x, y) − ωu(0, x, y) − u̇(0, x, y), что в силу начальных условий сводитсяк ω 2 V (ω, x, y). Кроме того, при вычислении лапласовского образа импульсной силынужно считать, что сила действует в некоторый момент времени τ1 > 0, переходязатем к пределу τ1 → +0.

Это позволяет правильно разделить во времени начальные условия и внешнее воздействие: сила начинает действовать после того, какзаданы начальные условия.)Решение уравнений (5) ищем в видеUx = Ae−αx ,Uy = Be−αx .Для коэффициентов A и B получаем линейную однородную систему уравнений 2 2Aikα(γ 2 − 1)ω γ − α2 γ 2 + k 2= 0.(7)22 222 2Bω γ −α +k γikα(γ − 1)Как известно, линейная однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель ее матрицы равен нулю∆ = (ω 2 γ 2 − α2 γ 2 + k 2 )(ω 2 γ 2 − α2 + k 2 γ 2 ) + k 2 α2 (γ 2 − 1)2 == γ 2 (α2 − ω 2 γ 2 − k 2 )(α2 − ω 2 − k 2 ) = 0.Таким образом, нетривиальное решение существует приα1 = ω 2 γ 2 + k 2 , α2 = ω 2 + k 2 , α3 = −α1 ,α4 = −α2 .Из возможных решений физическому условию убывания при x → +∞ будут удовлетворять только решения с α1 и α2 (более подробно мы обсудим это в разделе“Анализ”).

Подставляя α1 в (7), найдем A = k, B = −iα1 . Аналогично для α1получим A = iα1 , B = k. Общее решение, убывающее при x → +∞, получим, взявпроизвольную линейную комбинацию найденных решений(8)Ux = Cke−α1 x + Diα2 e−α2 x ,Uy = −Ciα1 e−α1 x + Dke−α2 x .Подставляя общее решение в граничные условия (6), получим систему уравненийдля определения коэффициентов C и D C0−2kα2iα25,=(9)−P v /µD−2kα1 −iα255где α5 =ω 2 γ 2 + 2k 2 . Определитель матрицы этой системыR(ω, k) = α45 − 4k 2 α1 α2 = (ω 2 γ 2 + 2k 2 )2 − 4k 2(ω 2 + k 2 )(ω 2 γ 2 + k 2 )называется функцией Рэлея. Решая (9), находимC=−P v 2kα2,µR(ω, k)D=−P v iα25.µR(ω, k)Остается подставить C и D в (8), и мы получаем выражения для образов смещенийP v α2 2 −α1 x2k e− α25 e−α2 x ,µR(ω, k)P v ik Uy = −−2α1 α2 e−α1 x + α25 e−α2 x .µR(ω, k)Ux = −Сами смещения получаем, последовательно применяя преобразования, обратные(4) и (3)(10)(11)Vx,y (ω, x, y) =+∞−∞1ux,y (τ, x, y) =2πidk ikye Ux,y (ω, x, k),2πCdω eωτ Vx,y (ω, x, y).АнализПрежде всего сделаем в (10) замену переменной k = iωs.

Тогда(12)Vx,y (ω, x, y) =DP v ids −ωysWx,y (ω, x, s),e2πµконтур D показан на рисунке,√√1 − s2 2 −xω√γ 2 −s22+ (γ 2 − 2s2 )e−xω 1−s ,Wx =2s eR(s)√ 2 2√s 2−2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )e−xω γ −s + (γ 2 − 2s2 )e−xω 1−s ,Wy =R(s)а R(s) = (γ 2 − 2s2 )2 + 4s2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ). Как видно, зависимость от ω теперьосталась только в экспонентах.γ 2 − s2ПодынтегральныефункцииWсодержатдвадвузначныхрадикала√и 1 − s2 , а потому определены на четырехлистной римановой поверхности.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы