lamb2 (1018220), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Деформируя в (18) контур Dв путь Каньяра L1 , переходя к интегрированию только по его верхней половине L+1и делая замену переменной (20), получим ∞2Pvi2s1 − s21 ds1e−ωτ 1dτ,Vx(1) (ω, x, y) = −2Re2πµR(s1 )dττ0 ∞Pvi2s(1 − s21 )(γ 2 − s21 ) ds11Vy(1) (ω, x, y) = 2Ree−ωτdτ,R(s1 )dττ0 2πµгде(21)τ0 =|y| + x γ 2 − 1, γ|y|/r > 1,γ|y|/r < 1.γr,Выполняя обратное преобразование Лапласа (11), найдемP v i 2s21 1 − s21 ds1(1)θ(τ − τ0 )ux (τ, x, y) = −2Re2πµR(s1 )dτ(22)P v i 2s1 (1 − s21 )(γ 2 − s21 ) ds1(1)θ(τ − τ0 ).uy (τ, x, y) = 2Re2πµR(s1 )dτПолное смещение складывается из (17) и (22)(23)(2)ux,y (τ, x, y) = u(1)x,y (τ, x, y) + ux,y (τ, x, y).Хитрые аргументы ступенчатых функций имеют простую геометрическую интерпретацию.

В (17) они определяют фронт√ продольной волны, на котором смещения имеют корневую особенность (∼ 1/ τ − r) из-за множителя ds2 /dτ . Этотфронт имеет форму полуокружности. Фронт поперечной волны в (22) имеет болеесложную форму. Он состоит из полуокружности и отрезков двух прямых, касательных к ней и проходящих через точки пересечения фронта продольной волнысо свободной поверхностью. На полуокружности смещения имеют корневую осо√бенность (∼ 1/ τ − γr) из-за множителя√ds1 /dτ .

На отрезках прямых смещениянепрерывны и имеют особенноститипа τ − τ0 , так как обе компоненты в (22)2включают множители 1 − s1 .Более наглядными являются компоненты смещений в полярных координатахur =xux + yuy,ruϕ =−yux + xuy.r13ySSPxВолновые фронты.Они имеют видP v i −xs1 + y γ 2 − s21 2s1 1 − s21 ds1θ(τ − τ0 ) == 2Re2πµrR(s1 )dτP v i γ 2 r 2 − τ 2 − i0 2s1 1 − s21 ds1= 2Reθ(τ − τ0 ),2πµrR(s1 )dτ22 − s2 2siPvys+xγ11 1 − s1 ds11θ(τ − τ0 ) =(τ,x,y)=2Reu(1)ϕ2πµrR(s1 )dτP v i τ 2s1 (1 − s21 )(γ 2 − s21 ) ds1θ(τ − τ0 ),= 2Re2πµ rR(s1 )dτPvix1 − s22 + ys2 γ 2 − 2s22 ds2θ(τ − r) =(τ,x,y)=−2Reu(2)r2πµrR(s2 ) dτP v i τ γ 2 − 2s22 ds2θ(τ − r),= −2Re2πµ r R(s2 ) dτiPv−y1 − s22 + xs2 γ 2 − 2s22 ds2θ(τ − r) =u(2)(τ,x,y)=−2Reϕ2πµrR(s2 ) dτ√P v i i τ 2 − r 2 γ 2 − 2s22 ds2= −2Reθ(τ − r).2πµrR(s2 ) dτu(1)r (τ, x, y)(при преобразовании u мы воспользовались определениями s1 и s2 ).

Ясно, чторадиальная компонента смещениянепрерывна на фронте поперечной волны и име√− γr, а азимутальная — на фронте продольной иет на нем особенность типа τ √имеет на нем особенность типа τ − r.Смещение на границеСмещение на границе можно получить предельным переходом x → +0 в формулах (17) и (22). При этом предельном переходе путь Каньяра ложится на вещественную ось, так что в игру вступают рэлеевские полюсы. Для упрощениярассуждений далее всюду будем считать y > 0 (при y < 0 картина симметрична).Разберемся сначала с формулой (17).

Из (16) следует, чтоs2 → τ /y + i0,ds2 /dτ → 1/y.14Оказывается удобным по-разному представить функцию Рэлея на интервалах (1, γ]и [γ, +∞). На интервале (1, γ] напишем(γ 2 − 2s2 )2 − 4s2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )(γ 2 − 2s2 )2 + 4is2 (s2 − 1)(γ 2 − s2 )1==.R(s)(γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )(γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )Все корни вещественны,√мнимая часть выделена явно. Знак мнимой части соответствует значению корня 1 − s2 в верхней полуплоскости. Для интервала [γ, +∞),на котором лежит рэлеевский полюс sR , воспользуемся формулой Сохоцкого11iπδ(s − sR )=℘−,R(s)R(s)R (sR )вепричем R(s) = (γ 2 − 2s2 )2 − 4s2 (s2 − 1)(s2 − γ 2 ), где опять-таки все корни√22щественны, мнимая часть выделена явно, а значения корней 1 − s и γ − s2взяты с верхнего берега разрезов.Теперь уже выделение вещественной части в формуле (17) не составляет труда√Pvs2 − 1(γ 2 − 2s2 )3 − πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ) , 1 < s < γ,u(2)√x (τ, 0, y) =Pvs2 − 1(γ 2 − 2s2 ) −℘,γ < s,πµyR(s)P v 4s3 (γ 2 − 2s2 ) (s2 − 1)(γ 2 − s2 ), 1 < s < γ,πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )(2)uy (τ, 0, y) = P v s(γ 2 − 2s2 )πδ(s − sR )−,γ < s.πµyR (s)Всюду нужно подставить s = τ /y.Формула (22) обрабатывается аналогично.

Из (20) находимs1 → τ /y + i0,ds1 /dτ → 1/y,причем из (21) видно, что τ0 = y. Вычисления приводят к результатам√2Pv2ss2 − 1(γ 2 − 2s2 )2 − πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ) , 1 < s < γ,u(1)√x (τ, 0, y) =2Pv2ss2 − 1 −℘,γ < s,πµyR(s)P v 2s (s2 − 1)(γ 2 − s2 )(γ 2 − 2s2 )2 πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ) , 1 < s < γ,(1)uy (τ, 0, y) =Pv(s2 − 1)(s2 − γ 2 )πδ(s − sR )2s−,γ < s.πµyR (s)15Всюду нужно подставить s = τ /y.

Полное смещение в сответствие с формулой (23)имеет вид(24)√P vγ 2 s2 − 1(γ 2 − 2s2 )2 − πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ) , 1 < s < γ,ux (τ, 0, y) =√2Pvγs2 − 1 −℘,γ < s,πµyR(s)P v 2sγ 2 (γ 2 − 2s2 ) (s2 − 1)(γ 2 − s2 ), 1 < s < γ,πµy (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )uy (τ, 0, y) =2 22 − P v γ (γ − 2s )πδ(s − sR ) ,γ < s.πµy2sR (s)При преобразовании последнего равенства использовано уравнение Рэлея R(s) = 0,которое выполняется в точке s = sR .

Видно, что вертикальное смещение имеет√√√особенность типа τ − y, а горизонтальное — особенности τ − y и τ − γy.О немонохроматических рэлеевских волнахИз формулы (24) видно, что горизонтальное смещение в рэлеевской волне имеетвид δ-функции, тогда как вертикальное — вид функции ℘1/t. Между тем каждый,кто имел дело с монохроматическими волнами Рэлея в однородном полупространстве, знает, что вектор поляризации рэлеевских волн не зависит от частоты. Онне зависит и от горизонтальной медленности, поскольку медленность рэлеевскихволн — фиксированная величина, которая определяется из уравнения Рэлея. Такимобразом, вектор поляризации рэлеевских волн определяется исключительно свойствами среды (в наших обозначениях — коэффициентом γ). Следовательно, длямонохроматических волн Рэлея существует определенное отношение между вертикальной и горизонтальной компонентами смещения.

Казалось бы, то же должнобыть справедливо для немонохроматических волн, однако это противоречит формуле (24).Решение парадокса в том, что на самом деле вектор поляризации рэлеевскихволн зависит от частоты. Зависимость эта, правда, довольно хитрая: при изменении знака частоты вектор поляризации комплексно сопрягается. Можно аккуратно проследить указанную зависимость по формулам (использованное в статьепреобразование Лапласа нужно заменить на преобразование Фурье), но она яснаиз общих соображений: после преобразования Фурье мы должны получить вещественное смещение.

Поскольку в рэлеевской волне поляризация эллиптическая, авектор поляризации определен с точностью до множителя, можно считать его горизонтальную компоненту вещественной, а вертикальную — число мнимой. Тогдавектор поляризации имеет видωh, i v ,|ω|где h и v вещественны и зависят только от γ.Покажем, что такой выбор вектора поляризации приводит к формулам для смещения в рэлеевской волне, согласующимся с (24). Пусть спектр определяется функ-16цией G(ω). Горизонтальное смещение равно(25)+∞G(ω)he−iω(t−sy)−∞dω= hg(t − sy),2πгде s — медленность волны Рэлея, g(t) — фурье-образ G(ω). Вертикальное смещение равно+∞(26)G(ω)i−∞ω −iω(t−sy) dωve.|ω|2πРассмотрим интеграл+∞−∞2πie−ωa ,0,eiωt dt =t − ia 0,−2πie−ωa ,w > 0,a > 0,w > 0,w < 0,w < 0,a < 0,a > 0,a < 0.Мы видим, что фурье-образом 1/(t−i0)+1/(t+i0) = 2℘1/t является 2πiω/|ω|.

Применяя теперь к интегралу (26) теорему о свертке, можно записать вертикальноесмещение в виде(27)+∞−∞11℘vg(τ )dτ.π t − sy − τНетрудно видеть, что формулы (25) и (27) согласуются с (24). (Сейсмологи называют формулу (27) преобразованием Гильберта от g(t).)Литература1. H. Lamb, On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid, Phil. Trans. Roy. Soc.London A203 (1904), 1–42.2. В.

И. Смирнов, С. Л. Соболев, Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний,Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1932, № 20, 37 c.3. В. И. Смирнов, С. Л. Соболев, О применении нового метода к изучению упругих колебанийв пространстве при наличии осевой симметрии, Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1933, № 29,с. 43–51.4.

L. Cagniard, Réflexion et réfraction des ondes séismiques progressives, Paris, 1939.5. Г. И. Петрашень, Г. И. Марчук, К. И. Огурцов, О задаче Лэмба в случае полупространства,Уч. зап. ЛГУ, сер. мат., 1950, № 35, вып. 21, с. 71–118.6. J. R. Willis, Self-similar problems in elastodynamics, Phil. Trans.

Roy. Soc. London A274 (1973),no. 1240, 435–491.7. A. T. de Hoop, A modification of Cagniard’s method for solving seismic pulse problems, Appl. Sci.Res. Sect. B 8 (1960), no. 4, 349–356.8. P. G. Richards, Elementary solutions to Lamb’s problem for a point source and their relevanceto three-dimensional studies of spontaneous crack propagation, Bull. Seism. Soc. Amer. 69 (1979),no. 4, 947–956.9. В. Б. Поручиков, Методы динамческой теории упругости, М.: Наука, 1986..

Характеристики

Список файлов учебной работы