lamb2 (1018220), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Этуриманову поверхность мы получим, взяв четыре экземпляра комплексной плоскости, проведя на каждом разрезы от точек ветвления ±1, ±γ до бесконечности исклеив разные листы по разрезам так, что получится поверхность с топологией√ то22ра. Листы будем различать по значениям, которые принимают γ − s и 1 − s26arg ω−γ−11γDКонтур интегрирования в комплексной плоскости s.√в точке s = 0.

Такимобразом, на листе (+, +) γ 2 − s2 = γ, 1 − s2 = 1 при√s = 0, на листе (−, +) γ 2 − s2 = −γ, 1 − s2 = 1 при s = 0, и так далее.Выясним поведение радикалов на бесконечности. Возьмем для примера лист(+, +) и будем двигаться от точки s = 0 вправо, обходя точки ветвления сверху.

Полуокружность, пройденная по часовой стрелке вокруг точки ветвления, дастмножитель −i, справа от точек ветвления радикалы примут значения −i s2 − γ 2√√и −i s2 − 1, поэтому на бесконечностиγ 2 − s2 → −is, 1 − s2 → −is. Тоже верно для всей√ верхней полуплоскости. В нижней полуплоскости, наоборот,γ 2 − s2 → is, 1 − s2 → is. Чтобы получить поведение радикалов на другихлистах, нужнознаки. Например, на листе (−, +) в верхней полу только изменить√22плоскости γ − s → is, 1 − s2 → −is.Определим, на каком листе должен лежать контур D, чтобы обеспечить сходимость интеграла по s.

Для этого прежде всего выясним более детально вид контура D. Как известно, контур C в обратном преобразовании Лапласа (11) лежитв правой полуплоскости, справа от всех особенностей подынтегрального выражения. Поэтому −π/2 < arg ω < π/2. Это означает, что контур D всегда идет изверхней полуплоскости в нижнюю. Далее, экспоненциальный множитель в (12)на контуре D чисто мнимый ((12) получена из (10) заменой переменной, а в (10)это заведомо так), поэтому сходимость интеграла обеспечивается экспоненциальным множителем в W .

В верхней полуплоскостиarg s = π/2 − arg ω, поэтому для√листа (+, +) arg(xω γ 2 − s2 ) → 0, arg(xω 1 − s2 ) → 0 при s → ∞.В нижней полуплоскостиarg s = −π/2 − arg ω, поэтому для листа (+, +) arg(xω γ 2 − s2 ) → 0,√arg(xω 1 − s2 ) → 0 при s → ∞. Итак, и в верхней и в нижней полуплоскостяхлиста (+, +) показатели экспонент в W имеют большие отрицательные вещественные части при s → ∞, что обеспечивает сходимость интеграла. Иная ситуация надругих√листах. На листе (−, +) в верхней полуплоскости arg(xω γ 2 − s2 ) → π,arg(xω1 − s2 ) → 0 при s → ∞, так что показатель экспоненты, содержащийγ 2 − s2 , имеет большую положительную вещественную часть, и интеграл расходится.Мы пришли к выводу, что контур D лежит на листе (+, +), который в этойсвязи называется физическим.

Прочие листы называются нефизическими. Ясно7также, что пара радикалов α1 –α3 (а также α2 –α4 ) не может одновременно присутствовать в решении, так как всегда будет приводить к расходящимся интегралам.Именно поэтому в разделе “Алгебра” мы отбросили α3 и α4 .Выясним теперь, по каким еще направлениям (кроме направления контура D)полный экспоненциальный множитель (включающий также e−ωys из (12)) на физическом листе убывает,обеспечивая сходимость интеграла. В верхней полуплоско2сти arg(ω(ys+x γ −s2 )) → arg ω+arg(y−ix)+arg s при s → ∞. Условие сходимости есть | arg(ω(ys+x γ 2 − s2 ))| < π/2, что дает −π/2 < arg s+arg ω−arg(y+ix) <π/2.

Отметим, что этот интервал всегда включает направления в диапазонеот направления контура D до направления y + ix. В нижней полуплоскостиarg(ω(ys + x γ 2 − s2 )) → arg ω + arg(y + ix) + arg s при s → ∞. Условие сходимости записывается в виде −π/2 < arg s + arg ω − arg(y − ix) < π/2. Отметим,что этот интервал всегда включает направления в диапазоне от направления контура D до направленияy − ix. Аналогичные выводы справедливы для экспоненты√с радикалом 1 − s2 .Подынтегральное выражение в (12) имеет, помимо рассмотренных точек ветвления, полюсные особенности, связанные с нулями функции √Рэлея R(s). Поскольку2функция Рэлея зависит только от произведения радикалов 1 − s и γ 2 − s2 , тона листах (+, +) и (−, −) (а также на листах (−, +) и (+, −)) она принимает одинаковые значения.

На листе (+, +) для определения нулей R(s) мы должны решатьуравнение(γ 2 − 2s2 )2 + 4s2(13)(1 − s2 )(γ 2 − s2 ) = 0,а на листе (−, +) — уравнение(γ 2 − 2s2 )2 − 4s2(14)(1 − s2 )(γ 2 − s2 ) = 0.Таким образом, нули R(s) на всей четырехлистной поверхности определяются изуравнения[(γ 2 − 2s2 )2 + 4s2(1 − s2 )(γ 2 − s2 )][(γ 2 − 2s2 )2 − 4s2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )] == (γ 2 − 2s2 )4 − 16s4 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ) = 0.Это бикубическое уравнение относительно s (члены s8 сокращаются). Чтобы качественно проанализировать его решение, введем функциюΦ(γ, q) = (γ 2 − 2q)4 − 16q 2 (1 − q)(γ 2 − q) = 16(γ 2 − 1)q 3 − 8γ 2 (3γ 2 − 2)q 2 + 8γ 6 q − γ 8 .Из условия устойчивости упругого тела относительно деформаций (положительности упругой энергии при любых деформациях) следует, что γ 2 > 4/3. Следовательно, коэффициент при q 3 в функции Φ положителен, и Φ → +∞, когда q → +∞.Частные значенияΦ(γ, 0) = −γ 8 ,Φ(γ, γ 2) = −γ 8 ,∂Φ(γ, 0) = 8γ 6∂q8говорят нам, что Φ имеет локальный максимум между точками 0 и γ 2 , а такжеединственный нуль на интервале [γ 2 , +∞).

Нулю q ∈ [γ 2 , +∞) соответствуют два√нуля s = ± q функции Рэлея, которые называются рэлеевскими. (Напомним, чтофункция Рэлея является определителем системы линейных уравнений (9). Еслиопределитель этой системы равен нулю, то соответствующая однородная системаимеет нетривиальное решение — рэлеевскую волну, отсюда и название.) Наличиедругих вещественных нулей Φ зависит от ее значения в локальном максимуме. Если значение Φ в локальном максимуме положительно, то на отрезке [0, γ 2] имеетсядва нуля.

Им соответствуют четыре нуля функции Рэлея на отрезке [−γ, γ]. Из(13) и (14) следует, что эти нули лежат на самом деле на отрезках [−1, 1] листов(+, −) и (−, +). Поскольку положение нулей функции Рэлея непрерывно зависитот параметра γ, они остаются на листах (+, −) и (−, +), даже когда перестаютбыть вещественными.Φγ2q−γ 8К определению нулей функции Рэлея.(+, +)−sR −γ(+, −)−11γsR−γ−11γНули функции Рэлея на физическом и нефизическом листах.Более детально поведение нулей может быть исследовано численно.

Вывод жесостоит в том, что по четыре нуля R(s) лежат на нефизических листах (+, −)9и (−, +). Что касается рэлеевских нулей, то, поскольку они попадают на разрезы,их можно по желанию считать лежащими на любых листах (в этом проявляетсяусловность деления римановой поверхности на листы). Для определенности будем говорить, что по два рэлеевских нуля лежат на физическом листе (+, +) и нанефизическом листе (−, −) сверху от разрезов. Как следует из предыдущего анализа контура D и будет видно из последующего анализа пути Каньяра, рэлеевскиеполюсы вступают в игру только на свободной поверхности тела.

Рассмотрениюэтого случая мы отвели специальный раздел “Смещение на границе”. До концаэтого раздела будем считать x > 0.Основная идея метода Каньяра состоит в деформацииконтура D в такой кон√222тур L, что на нем ys + x γ − s или ys + x 1 − s являются вещественными иположительными, а (12) приобретает смысл прямого преобразования Лапласа. Последующее обратное преобразование Лапласа (11) возвращает нас к подынтегральной функции в (12), которая и дает искомую координатно-временную зависимостьсмещения.(+, +)(+, −)Линии вещественного τ в комплексной плоскости s.Для применения метода Каньяра нужносперва определить√ контуры на римано22вой поверхности s, на которых ys + x γ − s или ys + x 1 −√s2 вещественны.

Ксчастью, это можно сделать явно. Начнем с выражения ys + x 1 − s2 . Напишем(15)τ = ys + x 1 − s2и решим это уравнение относительно s. Мы получим√τ y ± x r2 − τ 2s=,r2где r 2 = x2 + y 2 . При |τ | < r это отрезок вещественной оси [−1, 1], при |τ | > rэто√гиперболы. Действительно, полагая s = s + is , имеем s = τ y/r 2 , s =±x τ 2 − r 2 /r 2 , поэтому(s r/y)2 − (s r/x)2 = 1.При y = 0 гипербола вырождается в мнимую ось.

Ветви гипербол имеют асимптоты в направлениях ±y ±ix. Как следует из нашего анализа поведения радикалов на10бесконечности, на физическом листе лежит только одна ветвь гиперболы: праваяпри y > 0 и левая при y < 0. Вторая же ветвь лежит на нефизическом листе (+, −)(при этом листы (−, +) и (−, −) воспроизводят листы (+, +) и (+, −), поскольку(15) зависит только от одного радикала).

Ветвь гиперболы, лежащая на физическом листе, и будет тем контуром L2 , который используется в методе Каньяра.Будем называть его путем Каньяра. Обозначим√τ y + ix τ 2 − r 2, τ > r.(16)s2 =r2Нетрудно видеть, что s2 пробегает верхнюю половину пути Каньяра, которую мыбудем обозначать L+2.L2DКонтур D и путь Каньяра L2 .√Рассмотрим слагаемые в (12) с ys + x 1 − s2 в экспоненте√√Pvids1 − s2 (γ 2 − 2s2 )2e−ω(ys−x 1−s ),Vx(2) (ω, x, y) =R(s)D 2πµP v ids −ω(ys−x√1−s2 ) s(γ 2 − 2s2 )(2)Vy (ω, x, y) =e.R(s)D 2πµМы можем деформировать контур D в путь Каньяра, так как между ними нетникаких особенностей, а интегралы по дугам на бесконечности стремятся к нулю.Далее мы замечаем, что вещественные части интегралов по верхней и нижнейчастям пути Каньяра совпадают, а потому√P v ids −ω(ys−x√1−s2 ) 1 − s2 (γ 2 − 2s2 )(2)e,Vx (ω, x, y) = 2Re2πµR(s)L+2P v ids −ω(ys−x√1−s2 ) s(γ 2 − 2s2 )(2)e.Vy (ω, x, y) = 2Re2πµR(s)L+2Делая замену переменной (16), получим ∞Pvi1 − s22 (γ 2 − 2s22 ) ds2Vx(2) (ω, x, y) = −2Ree−ωτdτ,2πµR(s2 )dτr ∞P v i −ωτ s2 (γ 2 − 2s22 ) ds2(2)edτ.Vy (ω, x, y) = −2Re2πµR(s2 )dτr11Выполняя обратное преобразование Лапласа (11), найдемP v i 1 − s22 (γ 2 − 2s22 ) ds2(2)ux (τ, x, y) = −2Reθ(τ − r),2πµR(s2 )dτ(17)P v i s2 (γ 2 − 2s22 ) ds2θ(τ − r).(τ,x,y)=−2Reu(2)y2πµR(s2 )dτАнализ выражений(18)√P v ids −ω(ys−x√γ 2 −s2 ) 2s2 1 − s2=e,R(s)D 2πµP v ids −ω(ys−x√γ 2 −s2 ) 2s (1 − s2 )(γ 2 − s2 )(1)Vy (ω, x, y) = −eR(s)D 2πµVx(1) (ω, x, y)производится аналогично.

Уравнениеτ = ys + xимеет решениеγ 2 − s2γ 2 r2 − τ 2.r2При |τ | < γr это отрезок вещественной оси [−γ, γ], при |τ | > γr это гиперболыs=τy ± x(s r/γy)2 − (s r/γx)2 = 1.√Точно так же, как в случае радикала 1 − s2 на физическом листе лежит праваяветвь гиперболы при y > 0 и левая ветвь при y < 0. Имеется, однако, дополнительная тонкость, связанная с тем, что при γ|y|/r > 1 гипербола пересекает вещественную ось справа от точки ветвления s = 1 (или слева от точки ветвления s = −1).Путь Каньяра L1 при γ|y|/r < 1 совпадает с ветвью гиперболы (19), лежащей нафизическом листе, а при γ|y|/r > 1 состоит из нижней половины этой гиперболы,нижнего берега разреза от точки пересечения гиперболы с вещественной осью доточки ветвления s = 1 (или s = −1), верхнего берега от точки ветвления до точкипересечения гиперболы с вещественной осью и верхней половины гиперболы.(19)L1DL1DПуть Каньяра L1 в случаях γ|y|/r < 1 и γ|y|/r > 1.12Определимτ y − x γ 2 r2 − τ 2,r2τ y + x γ 2 r2 − τ 2(20) s1 =,r2 τ y + ix τ 2 − γ 2 r 2 ,r2γ|y|/r > 1,y > 0,|y| + xγ|y|/r > 1,y < 0,|y| + xγ 2 − 1 < τ < γr,γ 2 − 1 < τ < γr,γr < τ.Тогда s1 пробегает верхнюю половину пути Каньяра.

Характеристики

Список файлов учебной работы