lecture4 (1018211)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Математический и физический маятникиМатематический маятникМатематический маятник — это материальная точка массы m, подвешенная на нити длиной l. Пусть движение материальной точки происходитв плоскости xy. Заимствуя выражения для компонент ускорения из первойлекцииax = −ϕ̇2 l cos ϕ − ϕ̈l sin ϕ,ay = −ϕ̇2 l sin ϕ + ϕ̈l cos ϕ(мы только заменили R на l), мы можем записать второй закон Ньютонадля нашей материальной точки в видеm(−ϕ̇2 l cos ϕ − ϕ̈l sin ϕ) = mg − T cos ϕ,m(−ϕ̇2 l sin ϕ + ϕ̈l cos ϕ) = −T sin ϕ.Умножая второе уравнение на cos ϕ и вычитая из него первое, умноженноена sin ϕ (на самом деле это просто преобразование к повернутым осям),получимmlϕ̈ = −mg sin ϕ.Это и есть уравнение движения математического маятника.

Принято записывать его в видеgϕ̈ = − sin ϕ.lyϕTmmgxМатематический маятник45До сих пор наше рассмотрение было точным. Если угол отклонениямаятника от вертикали составляет не более 5–7◦ (около 0.1 радиана), томожно воспользоваться разложением синуса в ряд Тейлораsin ϕ = ϕ −ϕ3+ ...6Относительная величина второго члена в правой части составляет ϕ2/6,что для углов порядка 0.1 радиана дает погрешность менее 0.2%. Приуказанных амплитудах можно ограничиться первым членом в правой части и записатьgϕ̈ = − ϕ.lЭто уравнение называется уравнением гармонических колебаний.

Его решение имеет видϕ(t) = A cos ωt + B sin ωt,где ω = g/l — частота колебаний, A и B — произвольные постоянные.Домашнее задание. Проверьте, что выписанная зависимость ϕ(t) действительноудовлетворяет уравнению движения.ϕCAωt−DКолебания маятникаПоскольку синус и косинус — периодические функции с периодом 2π,то движение математического маятника также является периодическим спериодомT = 2π l/g.Периодическое движение маятника называют еще колебательным, а T —периодом колебаний математического маятника. Колебания, происходящие по закону синуса и косинуса, называются гармоническими.46Замечание. Точное уравнение движения маятника также имеет периодические решения, то есть описывает колебания.

Однако эти колебания происходят по более сложному закону, чем закон синуса и косинуса, то есть уже не являются гармоническими.Постоянные A и B определяются из начальных условий. Имеемϕ(0) = A = ϕ0 ,ϕ̇(0) = ωB = ϕ̇0 .Вместо A и B часто используют амплитуду колебаний C =начальную фазу D, которая определяются из условийcos D = A/C,√A2 + B 2 иsin D = −B/C.Зависимость ϕ(t) переписывается в видеϕ(t) =ABA2 + B 2 √cos ωt + √sin ωt =A2 + B 2A2 + B 2= C(cos D cos ωt − sin D sin ωt) = C cos(ωt + D).Таким образом, C представляет собой максимальное значение ϕ во времядвижения, а D — начальное (при t = 0) значение аргумента косинуса.Физический маятникФизический маятник — это твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси.NOϕaCmgФизический маятник47Пусть масса маятника равна m, момент инерции относительно оси вращения равен Jo , а центр масс отстоит от оси вращения на расстояние a.Тогда уравнение вращательного движения записывается в видеJo ϕ̈ = −mga sin ϕ(мы учли, что ω = ϕ̇, поэтому ω̇ = ϕ̈).

Это уравнение полностью аналогично уравнению движения математического маятника. Для малых колебанийможно написатьmgaϕ̈ = −ϕ,Joоткуда получаем выражение для периода колебаний физического маятникаT = 2π Jo /mga.Тело на пружинеЕще один распространенный случай колебаний — колебания тела напружине. Рассмотрим сперва горизонтальные колебания. Пусть материальная точка лежит на горизонтальном столе и прикреплена пружиной квертикальной стене. Пусть трение об стол отсутствует. Записывая второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось (причем началокоординат соответствует положению материальной точки при недеформированной пружине), находимmẍ = −kx(мы учли, что ax = ẍ).

В отличие от маятников, мы сразу получили уравнение гармонических колебаний, которое в этом случае является “точным”(конечно, ровно настолько, насколько точен закон Гука).Период колебаний равенT = 2πm/k.Рассмотрим теперь материальную точку, которая подвешена за пружину к потолку. Вводя вертикальную ось и выбирая начало координат, каки ранее, найдемmẍ = −kx + mg.Положение равновесия (такое положение тела, когда сумма действующихна него сил равна нулю), определяется из уравнения −kx0 + mg = 0 и48FтрNFтрxmgxmgТело на пружине (горизонтальный и вертикальный случаи)имеет координату x0 = mg/k. Отсчитывая координату y от положенияравновесия y = x − x0 , имеемmÿ = −ky.Это то же самое уравнение, которое мы получили в горизонтальном случае, поэтому и движение материальной точки точно такое же.

Обычносразу отсчитывают координату от положения равновесия, тогда сила тяжести в уравнение не входит.49.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций