lecture1 (1018207)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Предмет механикиМеханика изучает механическое движение тел. Механическое движение— это изменение положения тела с течением времени. Собственно механика имеет дело с такими системами, движение которых можно описатьконечным числом функций времени q1 (t), .

. . , qn (t). Число n необходимыхфункций называют числом степеней свободы системы.Замечание. Таким образом, собственно механика изучает системы с конечным числом степеней свободы. Иногда сферу действия механики расширяют, включая в неетечение жидкости и колебания упругих тел.Сами величины q1 , . . . , qn называют координатами.

Зависимость координат от времени называют законом движения. Основная задача механики состоит в определении закона движения данной механической системыпри данных начальных условиях.Основные модели механики — материальная точка и твердое тело.Материальная точка — это модель тела, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь. (Размерами тела можно пренебречь, еслиони много меньше каких-то других характерных размеров задачи. Например, если вы бросаете камень размером 5 см на расстояние 20 м, то каменьможно, очевидно, считать материальной точкой.) По самому смыслу, материальная точка имеет три степени свободы.Твердое тело — это система материальных точек и связей, таких чторасстояние между двумя любыми материальными точками остается неизменным.

Хотя твердое тело может состоять из большого или даже бесконечного (сплошное тело) числа материальных точек, наличие связей приводит к тому, что число степеней свободы конечно и равно шести.Кинематика материальной точкиСистемы координатДля описания движения материальной точки нужно ввести какую-либосистему координат. Ниже мы рассмотрим наиболее употребительные системы.Декартова система координат. Движение материальной точки описывается функциями x(t), y(t), z(t).Полярная система координат (на плоскости). Движение материальной точки описывается функциями r(t), ϕ(t).Связь с декартовыми координатамиx = r cos ϕ,y = r sin ϕ.1zzzMyyxxxy“Правая” декартова система координат“Левая” (не будем пользоваться)yMrϕxПолярная система координатЦилиндрическая система координат (в пространстве).

Движениематериальной точки описывается функциями r(t), ϕ(t), z(t).zzzMMθϕryϕxryxЦилиндрическая система координатСферическая система координатСвязь с декартовыми координатами такая же, как для полярной системы координат.2Сферическая система координат. Движение материальной точкиописывается функциями r(t), θ(t), ϕ(t).

Связь с декартовыми координатамиx = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Выбор той или иной системы координат для описания движения материальной точки диктуется соображениями удобства.Скорость и ускорениеРассмотрим сначала движение точки по прямой. Положение ее характеризуется функцией x(t).Средней скоростью на интервале [t1 , t2 ] называетсяvср =x(t2 ) − x(t1 ).t2 − t1Мгновенной скоростью (или просто скоростью) в момент времени t1называется предел средней скорости на [t1 , t2 ] при t2 → t1v(t1 ) = limt2 →t1x(t2 ) − x(t1 ).t2 − t1Немного математики. Производная.

Таблица производных. Правила дифференцирования. Как известно, такой предел называется производной функции x(t)v(t) = x (t) = ẋ(t) =dxdt(это все разные обозначения производной). Приведем тут же маленькую таблицу производных и некоторые правила дифференцирования для дальнейших ссылок.Таблица производныхфункцияxasin xcos xln xexпроизводнаяaxa−1cos x− sin x1/xexПравила дифференцирования(f + g) = f + g ;(f g)=f gg f+[g(f (x))] = g (y)|y=f (x) f (x)(cf ) = cf ,c = const;(правило Лейбница);(производная сложной функции).3Ускорение определяется аналогично скоростиa = limt2 →t1v(t2 ) − v(t1 )= v = xt2 − t1(вторая производная от координаты x, другие обозначения ẍ и d2 x/dt2 ).Немного математики.

Интегрирование. Первообразная. Определенный интеграл. Пусть дана функция f (x) и нужно найти такую функцию F (x), что F (x) =f (x). Функция F (x) называется первообразной функции f (x), а сама операция, обратнаядифференцированию, называется интегрированием и обозначаетсяF (x) =f (x) dx.Таблица первообразных и правила интегрирования следуют из таблицы производных иправил дифференцирования.Таблица интеграловфункцияxa , a = −1sin xcos x1/xexинтегралxa+1 /(a + 1) + c− cos x + csin x + cln x + cex + cСразу отметим, что интегрирование — неоднозначная операция. Функции F (x) иF (x) + c, где c = const, имеют одну и ту же производную, а потому обе являютсяпервообразными для f (x).Правила интегрирования[f (x) + g(x)] dx =f (x) dx + g(x) dx;[cf (x)] dx = c f (x) dx, c = const;f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − g (x)f (x) dx (интегрирование по частям);g(y) dy = G(f (x)) (замена переменной в интеграле).g(f (x))f (x) dx =y=f (x)В последней формуле через G(x) обозначена первообразная функции g(x).Наряду с введенным выше так называемым неопределенным интегралом в математическом анализе используется понятие определенного интеграла.

Пусть задана функция f (x) на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на несколько меньших отрезков, пустьих длины равны ∆x1 , ∆x2 , . . . , длину наибольшего отрезка обозначим через ∆. На каждом отрезке выберем по точке ξ1 , ξ2 , . . . и составим сумму f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + . . .Геометрически эта сумма равна площади ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределэтой суммы при измельчении разбиения bf (x) dx = lim f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + . . .a∆→04y∆x1a ξ1∆x2ξ2∆x3ξ3 bxОпределенный интеграл(геометрически определенный интеграл равен площади под графиком функции f (x)).Оказывается, что определенный интеграл просто связан с неопределенным (или спервообразной).

Именно, имеет место формула Ньютона—Лейбницаbaf (x) dx = F (b) − F (a).В механике чаще встречается интегрирование, чем дифференцирование. Причинаэтого в том, что основной задачей является получение закона движения, то есть зависимость координат от времени, а из уравнений движения (подробнее ниже) обычноопределяется ускорение. Координаты же должны быть затем восстановлены интегрированием.Домашнее задание. Вспомнить формулы для скорости v координаты x при прямолинейном равномерном и прямолинейном равноускоренном движении.Рассмотрим теперь общий трехмерный случай.

Пусть x, y, z — декартовы координаты точки M .Вектор r = (x, y, z) называется радиус-вектором точки M .Вектор v = (x , y , z ) называется скоростью точки M (иначе записывается как v = r ).Вектор a = (x , y , z ) называется ускорением точки M (иначе записывается как a = v = r ).Немного математики. Операции над векторами. Математики, которые будут читать вам линейную алгебру, объяснят, что вектор b характеризуется своимипроекциями на оси некоторой декартовой системы координат, в нашем случае тройкой (bx , by , bz ). При замене системы координат проекции изменяются по определеннымправилам, которые следуют из геометрической интерпретации вектора.Домашнее задание.

Написать формулы преобразования проекций вектора при повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси z.5yyyyz, z cMxxbϕaxxПоворот системы координатВекторное произведениеДля векторов определены умножение на число, сложение, скалярное и векторноепроизведения.Вектор c называется произведением вектора b на число a, еслиcx = abx ,cy = aby ,cz = abz(записывается c = ab).Вектор c называется суммой векторов a и b, еслиcx = ax + bx ,cy = ay + by ,cz = az + bz(записывается c = a + b).Число c называется скалярным произведением векторов a и b, еслиc = ax bx + ay by + az bz(записывается c = ab, иногда применяются обозначения c = a·b или c = (a, b)).

Как васучили в школе, величина скалярного произведения равна произведению модулей векторов на косинус угла между ними. В частности, скалярное произведение двух взаимноперпендикулярных векторов равно нулю.Вектор c называется векторным произведением векторов a и b, еслиcx = ay bz − az by ,cy = az bx − ax bz ,cz = ax by − ay bx(записывается c = a×b, иногда встречается обозначение c = [a, b] или даже c = [a×b]).Правила расстановки индексов в этих на первый взгляд сложных формулах на самомделе просты. Первые три индекса (индекс в левой части и индексы в первом произведении в правой части) всегда идут в порядке x → y → z → x. Индексы во второмпроизведении в правой части получаются перестановкой индексов в первом произведении.

Отметим, что эти формулы справедливы только для “правой” системы координат(“левые” мы уже договорились не использовать). Геометрически вектор c перпендикулярен векторам a и b, а его направление определяется правилом правого винта: есликрутить винт от вектора a к вектору b, то он будет ввинчиваться по направлению вектора c. Абсолютная же величина вектора c равна произведению модулей векторов a и bна синус угла между ними. В частности, векторное произведение двух параллельныхвекторов равно нулю.6Движение по окружностиЕстественно воспользоваться полярными координатами. Тогдаx = R cos ϕ,y = R sin ϕ,причем от времени зависит только ϕ.yvMaϕaτanRrxДвижение по окружностиЧтобы найти скорость, продифференцируем координаты по времениvx = −ϕ̇R sin ϕ,vy = ϕ̇R cos ϕ.Величина ϕ̇ = ω называется угловой скоростью движения материальнойточки.

С помощью прямого вычисления убеждаемся, что rv = 0, то естьскорость перпендикулярна радиус-вектору, следовательно, она направленапо касательной к окружности. Модуль скорости|v|2 = vx2 + vy2 = R2 ω 2 .Таким образом линейная скорость связана с угловой равенствомv = ωR.7Для определения ускорения дифференцируем дальшеax = −ϕ̇2 R cos ϕ − ϕ̈R sin ϕ,ay = −ϕ̇2 R sin ϕ + ϕ̈R cos ϕ.Величину ϕ̈ = ω̇ = ε называют угловым ускорением движения материальной точки. (Иногда угловое ускорение обозначают буквой β.) Для анализаудобно разбить ускорение на две части a = an + aτ , гдеan = (−Rω 2 cos ϕ, −Rω 2 sin ϕ) = −ω 2 rназывается нормальным ускорением (оно сонаправлено с r, а потому перпендикулярно к скорости), аaτ = (−Rε sin ϕ, Rε cos ϕ)называется тангенциальным ускорением (оно сонаправлено со скоростью).Абсолютная величина нормального ускорения может быть выраженачерез ω или van = ω 2 R = v 2/R.Используя уже полученное равенство v = ωR, найдем dv/dt = εR, послечего проекция тангенциального ускорения на направление скорости такжеможет быть выражена двумя способамиaτ = εR = dv/dt(подчеркнем, что в этой формуле стоит производная абсолютной величиныскорости).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций