Учебно-методическое пособие (1017796), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïðè ðàñêðûòèè íåîïðåäåëåííîñòè âèäà∞Ëîïèòàëÿ ñïðàâåäëèâî è äëÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâx → x0 −, x → x0 +è äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäàx → ∞, x → −∞, x → +∞.ln xx→+∞ x2Ðåøåíèå: Ïîäñòàíîâêà ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ x = +∞ ïðèâî∞. Ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿäèò ê íåîïðåäåëåííîñòè âèäà∞Ïðèìåð 4.12. Âû÷èñëèòü ïðåäåë limln x(ln x)′x−11lim=lim=lim= 0.=limx→+∞ x2x→+∞ (x2 )′x→+∞ 2x2x→+∞ 2xÐàâåíñòâîln x= 0.x→+∞ x2lim93îçíà÷àåò, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðè x → +∞ ðàñòåò áûñòðååëîãàðèôìè÷åñêîé.Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé äðóãèõ âèäîâ(∞0 · ∞; 0 ; 1 ; ∞ ; ∞ − ∞00)1.
Íåîïðåäåëåííîñòü âèäà 0 · ∞. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x)îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè O(x0 ) òî÷êè x0èÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀlim f (x) = 0, lim g(x) = ∞.x→x0x→x0Òîãäàf (x)lim f (x) · g(x) = (0 · ∞) = lim=x→x0x→x0 1g(x)( )0.00, ðàññìîòðåííîé ðàíåå. Èëè0(∞)g(x)=lim f (x) · g(x) = (0 · ∞) = lim.1x→x0x→x0∞f (x)Çàäà÷à ñâåäåíà ê íåîïðåäåëåííîñòè∞, ðàññìîòðåííîé ðàíåå.∞2.
Íåîïðåäåëåííîñòè âèäà 00 ; 1∞ ; ∞0 . Ïóñòü ôóíêöèè f (x) èg(x) îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè O(x0 ) òî÷êèx0 , f (x) > 0. ÒîãäàÇàäà÷à ñâåäåíà ê íåîïðåäåëåííîñòèlim g(x) ln f (x)lim f (x)g(x) = lim eg(x) ln f (x) = ex→x0x→x0x→x0.è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðàñêðûòèþ íåîïðåäåëåííîñòè ñîîòâåòñòâåííîâèäà 0 · ∞; ∞ · 0; 0 · ∞.3. Íåîïðåäåëåííîñòè âèäà ∞ − ∞. Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x)îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè O(x0 ) òî÷êè x0èlim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞.x→x0x→x094Òîãäà âû÷èñëåíèå ïðåäåëàlim {f (x) − g(x)}.x→x0ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùèì ñëó÷àÿì.Ïðèìåð 4.13. Âû÷èñëèòü ïðåäåë lim x2 e−3x .x→+∞ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÐåøåíèå:  äàííîì ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòü âèäà 0 · ∞.
Çà-x2ïèøåì ôóíêöèþ ïîä çíàêîì ïðåäåëà â âèäå lim 3x . Âîçíèêàåòx→+∞ e∞íåîïðåäåëåííîñòü âèäà. Ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ èìååì∞(∞)2x2x2==lim= 0.lim 3x = limx→+∞ 3e3xx→+∞ 9e3xx→+∞ e∞Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ýêñïîíåíòà ðàñòåò áûñòðåå, ÷åì êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ýêñïîíåíòà ðàñòåòáûñòðåå, ÷åì ëþáîé ìíîãî÷ëåí.(Ïðèìåð 4.14. Âû÷èñëèòü ïðåäåë limx→0)11−.x ex − 1Ðåøåíèå:  äàííîì ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòü âèäà ∞−∞.
Ïðèâåäåì ôóíêöèþ ïîä çíàêîì ïðåäåëà ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ(limx→011− xx e −1)ex − 1 − x= lim.x→0 x (ex − 1)00Âîçíèêàåò íåîïðåäåëåííîñòü âèäà . Ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ èìååìex − 1 − xex − 10ex1lim=lim==lim=.x→0 x (ex − 1)x→0 ex − 1 + xex0 x→0 2ex + xex2955. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè: âîçðàñòàíèå, óáûâàíèå,ýêñòðåìóìû5.1. Ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè íàèíòåðâàëåÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (a, b).ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÃîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ íå óáûâàåò (íå âîçðàñòàåò) íà (a, b), åñëè èç òîãî, ÷òî x1 , x2 ∈ (a, b) è x1 < x2 ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) 6f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ).
Íåóáûâàþùèå è íåâîçðàñòàþùèå ôóíêöèèíàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè. Åñëè èç òîãî, ÷òî x1 , x2 ∈ (a, b) èx1 < x2 ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ), òî ãîâîðÿò,÷òî ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò). Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííûìè.Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ñâÿçàíîñî çíàêîì å¼ ïðîèçâîäíîé.Òåîðåìà 5.1 Äëÿ òîãî ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f (x)â èíòåðâàëå (a, b) áûëà íåóáûâàþùåé ( íåâîçðàñòàþùåé ), íåîá-õîäèìî è äîñòàòî÷íî f ′ (x) > 0 (f ′ (x) 6 0) äëÿ ëþáîãî x èç (a, b).y6..........................................................................0y=f(x)-xÐèñ.
5. Âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿy.. 6.................................................................................0-xy=f(x)Ðèñ. 6. Óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ96yy66............................................................................................. .............................................................................................................................................y=f(x)x0xy=f(x)ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ0Ðèñ. 7. Íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿÐèñ. 8. Íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ5.2. Ýêñòðåìóìû ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå D.Íàçîâ¼ì òî÷êó x0 ∈ D òî÷êîé (ëîêàëüíîãî) ìàêñèìóìà ôóíêöèèf (x), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 , ÷òî ïðè âñåõx ̸= x0 èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîf (x) 6 f (x0 )è, ñîîòâåòñòâåííî, òî÷êîé (ëîêàëüíîãî) ìèíèìóìà, åñëèf (x) > f (x0 )Òî÷êà x0 , ÿâëÿþùàÿñÿ ëèáî òî÷êîé ìàêñèìóìà, ëèáî òî÷êîé ìèíèìóìà, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé (ëîêàëüíîãî) ýêñòðåìóìà.
Ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f (x).Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìàÒåîðåìà 5.2 Åñëè òî÷êà x0 ýòî òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðå-ìóìà ôóíêöèè f (x), è ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êåf ′ (x0 ), òî f ′ (x0 ) = 0.Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè ôóíêöèÿ f (x) èìååò ëîêàëüíûé ýêñòðåìóìâ òî÷êå x0 , òî ëèáî f ′ (x0 ) = 0, ëèáî f ′ (x0 ) = ∞, ëèáî f ′ (x0 ) íåñóùåñòâóåò.Ñëåäóþùèå ïðèìåðû èëëþñòðèðóþò îïèñàííûå ñëó÷àè.  ïðèìåðàõ x0 = 0.97yy6....................................................................................2............................. ................................................................................................................. ......
...................-Ðèñ. 9. f ′ (x0 ) = 0Ðèñ. 10. f ′ (x0 ) = ∞y =y=xx0√3x2xÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ06y6y= |x |.............................................................................. ............-0xÐèñ. 11. @f ′ (x0 )Îïðåäåëåíèå 5.1 Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿãî ðîäàêðèòè÷åñêîé òî÷êîé 1-ôóíêöèè f (x), åñëè f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â ýòîéòî÷êå è ëèáî f ′ (x0 ) = 0, ëèáî f ′ (x0 ) íå ñóùåñòâóåò (â ÷àñòíîñòè, f ′ (x0 ) = ∞).Åñëè f ′ (x0 ) = 0, òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òàêæå ñòàöèîíàðíîéòî÷êîé ôóíêöèè f (x).Çàìå÷àíèå. Ôîðìàëüíî ñëó÷àé f ′ (x0 ) = ∞ ìîæíî òðàêòîâàòüêàê ÷àñòíûé ñëó÷àé òîãî, ÷òî f ′ (x0 ) íå ñóùåñòâóåò.
Îäíàêî ãåîìåòðè÷åñêè ýòè äâà ñëó÷àÿ óäîáíî ðàçäåëÿòü, ïîñêîëüêó â ïåðâîìñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé, à âî âòîðîìêàñàòåëüíîé íå ñóùåñòâóåò (õîòÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü îäíîñòîðîííèå êàñàòåëüíûå).98Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìàÒåîðåìà 5.3 Ïóñòü x0 êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà 1-ãî ðîäà íåïðåðûâ-ôóíêöèè f (x) è ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) â íåêîòîðîéïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè (x0 −δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ). Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó (ñëåâà íàïðàâî) ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåòçíàê ñ ìèíóñà íà ïëþñ, òî x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, ñïëþñà íà ìèíóñ - òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.íîéÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÇàìå÷àíèå 1.
Åñëè ïðîèçâîäíàÿ íå ìåíÿåò çíàê, òî òî÷êà x0 íåÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà.Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ{−x − 1, x 6 0f (x) =x + 1,x>0 òî÷êå x0 = 0 ïðîèçâîäíàÿ f ′ (x) íå ñóùåñòâóåò (ôóíêöèÿ äàæåíå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ýòîé òî÷êå). Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x0 = 0 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê, íî â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóìàíåò. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå òåîðåìû áåç ïðåäïîëîæåíèÿ îíåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x) ïåðåñòàåò áûòü âåðíûì.Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íàîòðåçêåÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà íåêîòîðîìîòðåçêå [a, b].
Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà f (x) äîñòèãàåò ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé.Ïóñòü òðåáóåòñÿ îòûñêàòü ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x), íåïðåðûâíîé íà çàìêíóòîì îòðåçêå [a, b]. Åñëèòî÷êà ýêñòðåìóìà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ýêñòðåìóìà íà [a,b] ýòîëèáî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, ëèáî îäèí èç êîíöîâ îòðåçêà.Ïðèìåð 5.1. Îïðåäåëèòü ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, óêàçàòü èíòåðâàëû ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè2f (x) = x3 + x2 − 4x + 5.399Ðåøåíèå: Ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè âñåõ x.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèè, íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè I ðîäà, ò.å. òî÷êè, â êîòîðûõ ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò.  äàííîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåòî íàõîæäåíèè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ:()2· 3 · x2 + 2 · x − 4 = 2 x2 + x − 2 = 2(x − 1)(x + 2).3Ñòàöèîíàðíûå òî÷êè x1 = 1 è x2 = −2. Äëÿ èññëåäîâàíèÿïîâåäåíèÿ ôóíêöèè ñîñòàâèì òàáëèöó.ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀf ′ (x) =f ′ (x)f (x)x ∈ (−∞; −2)+âîçðàñòàåòx = −20x ∈ (−2; 1)−x=10x ∈ (1; +∞)+òî÷êà ìàêñèìóìà f (−2) = 723óáûâàåòòî÷êà ìèíèìóìà f (1) = 423âîçðàñòàåòÎòâåò: Íà ïðîìåæóòêàõ (−∞; −2) è (1; +∞) ôóíêöèÿ( âîçðàñ)òàåò; íà ïðîìåæóòêå (−2; 1) ôóíêöèÿ óáûâàåò; òî÷êà−2; 723)(2òî÷êà ìàêñèìóìà; òî÷êà 1; 4 òî÷êà ìèíèìóìà.3Ïðèìåð 5.2.
Îïðåäåëèòü ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, óêàçàòü èíòåðâàëû ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f (x) = x3 ex .Ðåøåíèå: Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ çàäàííîé ôóíêöèè:f ′ (x) = 3x2 ex + x3 ex = x2 ex (3 + x).Ñòàöèîíàðíûå òî÷êè x1 = 0 è x2 = −3.100f ′ (x)f (x)x ∈ (−∞; −3)−óáûâàåòx = −30òî÷êà ìèíèìóìà f (−3) = −27e−3x ∈ (−3; 0)+âîçðàñòàåòx=00íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîéëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìàâîçðàñòàåò+ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀx ∈ (0; +∞)Îòâåò: Ïðè x ∈ (−∞; −3)ïðè x ∈ (−3; +∞)( ôóíêöèÿ−3óáûâàåò;)ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; òî÷êà −3; −27e òî÷êà ìèíèìóìà. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñëåäóþùèì ãðàôèêîì.y6........................................-3.............................................................................................................................................................................................................. .
........................................0y=x3 e x-xÐèñ. 12.Ïðèìåð 5.3. Îïðåäåëèòü ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, óêàçàòü èí-√3x2 .Ðåøåíèå: Ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïðè x ∈ R. Ðàññìàòðèâàåìàÿôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè âñåõ x ̸= 0. Äëÿíàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèè, íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè Iðîäà, ò.å. òî÷êè, â êîòîðûõ ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ èëèíå ñóùåñòâóåò.  òî÷êå x = 0 ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò, òî÷íåå2f ′ (0) = ∞. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïðè x ̸= 0: f ′ (x) = √.33xÇíà÷èò, åäèíñòâåííàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè ýòî x = 0.òåðâàëû ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè f (x) =101f ′ (x)f (x)x ∈ (−∞; 0)−óáûâàåòx=0∞òî÷êà ìèíèìóìà f (0) = 0x ∈ (0; +∞)+âîçðàñòàåòÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÎòâåò: Ïðè x ∈ (−∞; 0) ôóíêöèÿ óáûâàåò; ïðè x ∈ (0; +∞)ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; òî÷êà (0; 0) òî÷êà ìèíèìóìà.
Ïîâåäåíèåôóíêöèè ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñëåäóþùèì ãðàôèêîì.y6y =√3x2............................................................................................................ ........ ..................-0xÐèñ. 13.Ïðèìåð 5.4. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíê-23Ðåøåíèå: Ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè âñåõ x. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèè, íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè I ðîäà.  äàííîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î íàõîæäåíèè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê.
Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ:öèè f (x) = x3 + x2 − 4x + 5 íà îòðåçêå [0; 5].f ′ (x) =()2· 3 · x2 + 2 · x − 4 = 2 x2 + x − 2 = 2(x − 1)(x + 2).3Ñòàöèîíàðíûå òî÷êè x1 = 1 è x2 = −2. Ðàññìàòðèâàåìîìó îòðåçêó ïðèíàäëåæèò òîëüêî òî÷êà x1 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, íàäîñðàâíèâàòü çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êàõ x0 = 0, x1 = 1, x2 = 5.1022313Ïîñêîëüêó f (0) = 5, f (1) = 4 , f (5) = 103 , òî max f (x) =x∈[0;5]ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ21f (5) = 103 , min f (x) = f (1) = 4 .3 x∈[0;5]312Îòâåò: max f (x) = f (5) = 103 , min f (x) = f (1) = 4 .3 x∈[0;5]3x∈[0;5]Ïðèìåð 5.5.
Êàêîé èç ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ çàäàííûì ïåðèìåòðîì p èìååò íàèáîëüøóþ ïëîùàäü? Íàéòè ýòó ïëîùàäü.Ðåøåíèå: Îáîçíà÷èì êàòåòû òðåóãîëüíèêà a è b, à ãèïîòåíóçóc. Çàïèøåì, èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ïèôàãîðà è óñëîâèå çàäà÷è:{{222a +b =ca2 + b2 = c2⇒⇒a+b+c=pc=p−a−bp(2a − p)2(a − p)Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïîabôîðìóëå: S = . Ïîäñòàâèì â íåå çíà÷åíèå äëÿ b:2ab ap(2a − p)S==24(a − p)Ìû ïîëó÷èëè ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò a. Âåëè÷èíà p ÿâëÿåòñÿïàðàìåòðîì. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèèíàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè I ðîäà, ò.å. òå òî÷êè, â êîòîðûõ ïåðâàÿïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò:()′a(2a−p)pp 4a(a − p) − a(2a − p)S ′ (a) = ·= ·=24a−p4(a−p)a⇒ a2 + b2 = (p − a − b)2 ⇒ b =p 2a2 − 4ap + p2= ·4(a − p)2√2±2è íå ñóùåñòâóåò ïðè a3 = p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
