Учебно-методическое пособие (1017796), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âû÷èñëèòü ïðåäåë, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ.1lim (1 − x)cos(πx/2)x→1−02lim (2 − x)tg(πx/2)x→137(35limx→0)1/x2arccos xπlim (tg x)2x−π6x→π/2(8x→0+lim (ln x)1/ ln 2xx→+∞lim (x + 2x )1/xx→+∞lim (ln x)1/xÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ7πx )tg(πx/2)lim tgx→14()1/x2limarccos 3xx→0 πlim xsin x491113151719212325272910lim (π − x)cos(x/2)x→π−0)x(2limarctg xx→+∞ π12lim x1/ ln(e −1)x→0+( )arcsin x1limx→0+ x16lim (π − 2 arctg x)1/x20lim (ctg x)sin xx→0+()1/ sin 2x2limarccos xx→0 π( )tg x1limx→0+ x)1/ sin x(12arctglimx→0+ πx(x )tg(πx/4)lim 2 −x→2222xx→+∞x→+∞lim (ctg x)1/ ln xx→0+lim (tg x)sin x141824x→0+)1/ arcsin x2arccos xlimx→0 π(πx )tg(πx/2)lim ctgx→14(x )tg(πx/6)lim 2 −x→33()x1lim lnx→0+x(lim (tg x)tg 2xx→π/4262830lim (ex + x)1/xx→0lim (x ctg x)−1/x2x→0lim (ln 2x)1/ ln xx→+∞38Çàäà÷à 17.1.
Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí 20, à äëèíà îäíîé èç ñòîðîíðàâíà 5. Íàéòè äëèíû äðóãèõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, ïðè êîòîðûõ åãî ïëîùàäü áóäåò íàèáîëüøåé. Íàéòè ýòó íàèáîëüøóþïëîùàäü.ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ2.  ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòîðîí 15, 15 è 18âïèñàí ïàðàëëåëîãðàìì òàê, ÷òî óãîë ïðè îñíîâàíèè ó íèõ îáùèé.
Êàêîâû äîëæíû áûòü ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà, ÷òîáûåãî ïëîùàäü áûëà íàèáîëüøåé? Íàéòè ýòó íàèáîëüøóþ ïëîùàäü.3.  ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ ãèïîòåíóçîé 8 è óãëîì 60◦âïèñàí ïðÿìîóãîëüíèê íàèáîëüøåé ïëîùàäè òàê, ÷òî îäíà èçåãî ñòîðîí ëåæèò íà ãèïîòåíóçå. Íàéòè áîëüøóþ èç ñòîðîíïðÿìîóãîëüíèêà.4.  ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ìåíüøåå îñíîâàíèå è áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíû 4. Ïðè êàêîé äëèíå áîëüøåãî îñíîâàíèÿ ïëîùàäüòðàïåöèè áóäåò íàèáîëüøåé?5. Ïëîùàäü ñôåðû ðàâíà 27π . Íàéòè âûñîòó öèëèíäðà íàèáîëüøåãî îáúåìà, âïèñàííîãî â ýòó ñôåðó.6. Íàéòè, êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ äëèíó ìîæåò èìåòü âûñîòà, îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëèäëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê îäíîìó èç êàòåòîâ, ðàâíà 12.7.
 êîíóñ âïèñàí öèëèíäð íàèáîëüøåãî îáúåìà òàê, ÷òî îäíîèç îñíîâàíèé öèëèíäðà ëåæèò íà îñíîâàíèè êîíóñà, à îêðóæíîñòü äðóãîãî îñíîâàíèÿ ëåæèò íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà êîíóñà ê îáúåìó öèëèíäðà.8. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ñëóæèò êâàäðàò.Îäíî èç áîêîâûõ ðåáåð ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ.
Êàêóþ äëèíó äîëæíà èìåòü âûñîòà ïèðàìèäû, ÷òîáûðàäèóñ øàðà, îïèñàííîãî îêîëî ïèðàìèäû áûë íàèìåíüøèì,åñëè îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí 72?399. Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíûõ ïèðàìèä, îïèñàííûõîêîëî øàðà ðàäèóñà 2.5, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèìåíüøèé îáúåì. Â îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ýòîé ïèðàìèäû.10.
Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ ÷åòûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, îïèñàííûõ îêîëî øàðà ðàäèóñà 6, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèìåíüøèé îáúåì.  îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ïèðàìèäû.ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ11. Íàéòè âûñîòó öèëèíäðà ñ íàèáîëüøåé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ,âïèñàííîãî â øàð, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ðàâíà 2π .12. Áîêîâàÿ ãðàíü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû èìååò ïîñòîÿííóþ çàäàííóþ ïëîùàäü è íàêëîíåíà ê ïëîñêîñòèîñíîâàíèÿ ïîä óãëîì α.
Ïðè êàêîì çíà÷åíèè α îáúåì ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì?13. Íàéòè âûñîòó ïðÿìîãî êîíóñà ñ íàèìåíüøèì îáúåìîì, îïèñàííîãî îêîëî øàðà äàííîãî ðàäèóñà.14. Ïðè êàêèõ ðàçìåðàõ îòêðûòàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ âàííà ñ ïîëóêðóãëûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì èìååò íàèáîëüøóþ âìåñòèìîñòü? Ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü âàííû äàíà.15. Ïåðèìåòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí 2p.
Êàêîéäëèíû äîëæíû áûòü åãî ñòîðîíû, ÷òîáû îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì ýòîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã åãî îñíîâàíèÿ,áûë íàèáîëüøèì?16. Íàéòè íàèáîëüøèé îáúåì êîíóñà ñ äëèíîé îáðàçóþùåé l.17. Ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïðèçìà è ïðàâèëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïèðàìèäà ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî îäíî èç îñíîâàíèéïðèçìû ëåæèò â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, à âåðøèíû äðóãîãî îñíîâàíèÿ ëåæàò íà áîêîâûõ ðåáðàõ ïèðàìèäû. Êàêîé íàèìåíüøèé îáúåì ìîæåò èìåòü ïèðàìèäà, åñëè ñòîðîíà îñíîâàíèÿïðèçìû ðàâíà a, à áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 2a?4018. Íàéòè äëèíû ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà íàèáîëüøåãî ïåðèìåòðà, âïèñàííîãî â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñà R òàê, ÷òî îäíà èçåãî ñòîðîí ëåæèò íà äèàìåòðå îêðóæíîñòè.19.
Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ðàäèóñà îñíîâàíèÿ è âûñîòû îáúåìöèëèíäðà, áóäåò íàèáîëüøèì, åñëè äàíà åãî ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü?ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ20. Îïðåäåëèòü ðàçìåðû îòêðûòîãî áàññåéíà ñ êâàäðàòíûì äíîì,îáúåì êîòîðîãî ðàâåí V , òàêîãî, ÷òîáû íà îáëèöîâêó ñòåí èäíà ïîøëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà.  îòâåòå çàïèñàòü îòíîøåíèå ñòîðîíû êâàäðàòà (äíà áàññåéíà) ê ãëóáèíåáàññåéíà.21.
Ñóììà äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíà 2, à óãîë ìåæäó íèìèðàâåí 30◦ . Êàêóþ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ìîæåò èìåòü òàêîéòðåóãîëüíèê.22.  øàð ðàäèóñà R âïèñàí öèëèíäð íàèáîëüøåãî îáúåìà. Íàéòè åãî ðàäèóñ.23. Ñðåäè âñåõ êîíóñîâ, ïåðèìåòð îñåâîãî ñå÷åíèÿ êîòîðûõ ðàâåí 8, íàéòè êîíóñ ñ íàèáîëüøèì îáúåìîì è âû÷èñëèòü ýòîòîáúåì.24. Îïðåäåëèòü âûñîòó êîíóñà, âïèñàííîãî â øàð ðàäèóñà R, èèìåþùåãî íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè.25. Òåëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð, çàâåðøåííûé ñâåðõó ïîëóøàðîì.
Êàêóþ íàèìåíüøóþ ïëîùàäüïîëíîé ïîâåðõíîñòè ìîæåò èìåòü ýòî òåëî, åñëè åãî îáúåìðàâåí V ?26. Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíûõ ïèðàìèä, âïèñàííûõ âøàð ðàäèóñà 3, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèáîëüøèé îáúåì. îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ýòîé ïèðàìèäû.4127. Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ ÷åòûðåõóãîëüíûõ ïèðàìèä, âïèñàííûõ â øàð ðàäèóñà 3, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèáîëüøèéîáúåì.  îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ýòîé ïèðàìèäû.28.
Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíûõ ïèðàìèä, âïèñàííûõâ øàð ðàäèóñà 3, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèáîëüøèé îáúåì. îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ýòîé ïèðàìèäû.7ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ29. Ñðåäè âñåõ ïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíûõ ïèðàìèä, îïèñàííûõîêîëî øàðà ðàäèóñà 5, íàéòè òó, êîòîðàÿ èìååò íàèìåíüøèéîáúåì.  îòâåòå çàïèñàòü äëèíó âûñîòû ïèðàìèäû.3x − 4x−5249sin(4x − 3)15 10 cos2 (x + 2)30. Òðåáóåòñÿ èçãîòîâèòü ÿùèê ñ êðûøêîé, îáúåì êîòîðîãî áûëáû ðàâåí 72 (êóá.åä.), ïðè÷åì ñòîðîíû îñíîâàíèÿ îòíîñèëèñüáû, êàê 1:2.
Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû âñåõ ñòîðîí, ÷òîáû ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü áûëà íàèìåíüøåé.Çàäà÷à 18. Ôóíêöèþ y = f (x) ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðàâ îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 äî o((x − x0 )n ). f (x)1352x + 34x − 5sin2 (2x + 1)√33x + 5x0n f (x)242−1 5x0n(x + 2) ln(3x − 7)344(x − 2) cos(x − 3)25146(2x + 5)e2x + 38( 2)x + x ln(2x + 1)−2 405−1 54211√44x + 12x2 − 4132x + 11224 12 (x + 2)ex + x√34 14 x ln 5 − 2x15 (2x − 3) sin(x + 3) −2 5 16 cos2 (2x + 6)24−4 5ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ√−1 444 18 (x − 7)e4x − 2153x + 2x−654 20 (2x − 9) ln(4x + 1)1421 sin2 (3x − 2)25 22 (3x + 4) cos(2x − 1)35164 2415( 2)−1 4 26 x + 7x ln(4x + 3)1425 28 (2x + 1) cos(3x − 5)2544 30 (−x + 4)ex + 317 (x + 2) 3x + 41923√32x − 5x2 − 4252x + 127 (x + 2) sin(x + 2)29√4x + 12( 2)2x + 5 e3x − 2−2 5Çàäà÷à 19.
Âû÷èñëèòü ïðåäåë, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà1a1 + tg 5x − cos xlim √√x→01 − x2 − 5 1 + x4321bex − ex − sin x√lim √x→01 + x − 1 + x2 − ln(2 + x) + ln 22aln(1 − 2x) + sin 3x√x→0 2 − e4x − 3 1 + xlim√√ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀe − cos x +x2blimx→01 + 2x1ln(2 + x) − ln(2 + x2 ) − sin x2xex − ln(1 − x)√limx→0 cos 2x −1 − x23a√33b1 + 2x2 −limx→01+x−√1 + 2x + ln(3 + 2x) − ln 3cos 2x − cos 3x4a1 − sin x2 − cos 3x)lim (√x→0 x 4 1 + x − e2x4bsin x + sin x2 + ln(1 − x)√lim √x→04 + x − 4 + x2 − ln(4 + x) + ln 45a√5ln(1 + x) − x 1 − x + x28lim2x→0xtg x − x −35bcos x − ex + ln(1 + x)√lim √x→0 3 8 + x − 3 8 + x2 − ln(12 + x) + ln 12446a6blim(√5x→+∞x5 + x4 −√5x5 − x4)√cos 2x − 1 + 2x + sin x√limx→0 e2x − 3 1 + 3x − sin x7b(1 + x)200 − (1 + x)100 − ln(1 + 100x)√lim √x→01 + 200x − 1 + 100x − ln(1 + 50x)8a()2sin 4x − ln 1 − 3xlimx→01 − cos(x/2)8b√(1 + x)100 − 1 + 200xlimx→0 ln(1 + 10x) − sin 10x9ax tg 3x − sin2 xlimx→0 x2 ex/4 + cos 5x − 19b√31 + 9x − cos x − ln(1 + 3x)lim √x→0 4 1 + 16x − cos 2x − ln(1 + 4x)10ax + sin 2xx→0 ln(1 − 3x) + xex10b√e3x − e2x − ex + 1 + x2√limx→0 x + cos 3x − cos 2x − cos x +1 − 2xÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ7a()√14lim x2 cos − x2 + 1x→+∞x2lim4511ax − sin 3x√x→0 ex −1−x11bcos x − e3x + arctg 3xlimx→0 x sin x + ln(1 − 2x) + arctg 2xlim2ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀex − cos 2xlimx→0 sin x − ln(1 + x)12a√1 + 100x + sin x − arctg 2x − cos x12b lim (x )100xx→01++ arctg x − sin 2x − cos10010√31 + 2x − cos x13alimx→0 ln(1 − x) − ln(1 + x)100√513be − 1 + 20x + sin 3x√x→0 e3x − 4 1 + 12x + ln(1 − 5x2 )14ae2x − e5xlimx→0 sin 3x + ln(1 − x)14b√sin x + arcsin x + 3 1 − 6x − cos 3x√limx→0 sin x − arcsin x − 3 1 − 6x + e−2x15ax cos x − sin 2x√x→0 1 − 4 1 + 2x15b√sin 2x + cos 3x − arcsin x − 17 1 + 17x√limx→0 sin 2x − cos 3x − arcsin x + 15 1 − 15xxlimlim46216a2 − cos x − exlimx→0 x − ln(1 + x)16bex + e2x − 2 cos x − 3 sin x√lim √x→01 + 2x + 3 1 − 3x − 2 cos x17b√arcsin 2x + 4 1 − 8x − cos 3x√limx→0 arctg 2x + 5 1 − 10x − cos 5x18a√ex − 1 + 2x√limx→0 e−x −1 − 2x18b√ln(2 + x) − ln 2 − 1 + x + cos 2x√limx→0 ln(3 + x) − ln 3 − 3 1 + x + cos 3x19a√(1 + x)5 − 1 + 10xlimx→0 ln(1 + 7x) − sin 7x19bln(1 + 2x) − sin x − ex + cos 3xlimx→0 ln(1 + 5x) − sin 2x − e3x + cos 6x20aex − cos x − ln(1 + x)limx→0e2x − (1 + x)220bln(1 + 3x) − arctg x − e2x + cos 2xlimx→0 ln(1 + 5x) − arcsin 2x − e3x + cos 6xÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ17a√e−x − 1 + 2x√limx→0 ex −1 − 2x4721aln(1 + 8x) − sin xx→0cos x + x − 121b3x + cos 2x + sin 2x − cos 5x − sin 5xx→0 e2x − e5x − ln(1 + 2x) − ln(1 + 5x)limlim22b√(1 + x)10 − 10 1 + 10x − ln(1 + 9x)limx→0cos 2x − sin 10x − e−10x23aex − cos x − sin xlimx→0x − ln(1 + x)23b√arctg 2x − 1 + 6x + ln(1 + x) + cos 2x√limx→0 arcsin 3x − 3 1 + 6x + ln(1 − x) + cos x24aln(1 − x) + ln(1 + x)√x→0ex − 1 + 2x24b√e − 3 1 + 9x + ln(1 − 2x2 )√limx→0 e4x − 4 1 + 16x + ln(1 − 9x2 )25a√(1 + x)2 − 1 + 4xlimx→0cos x − ex225bsin 2x + cos 3x − e4x − ln(1 − 2x)√limx→0arctg 4x + 1 + 4x − e6xÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ22a(1 + x)10 − (1 + x)9limx→01 + sin 2x − exlim3x4826a1 + 25x − (1 + x)24limx→0 ln(1 − x) + sin 2x26barcsin x + sin 2x + ln(1 − 3x)x→0arctg x + cos 2x − exlim27b√√1 + 2x − 3 1 + 3x + ln(1 − x2 )limx→0cos 2x − cos 3x + e2x2 − e3x2ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ27aex − sin x − 1limx→0 ln(1 + x) + ln(1 − x)√1 + 4x − cos x + ln(1 − 2x)lim √xx→04 + x − 2 cos x − sin4√31 + 9x − ex − ln(1 + 2x)limx→0cos 2x + sin 3x − e3x2829√arcsin x + 4 1 + 16x − e5x√limx→0 arctg x + 3 1 + 9x − e4x30Çàäà÷à 20.
Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèèax3 + bx2 + cx + d.y=x2 + px + qabcdpq1110−10−12120−20−1493110−40−4411−32−32511−1−26−10002171−200−218−10002191−10021101331−2111 −120−60−312 −220−60−3−1020−220−60−3ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ−1 −213214 −3153−2020−1162−1−161−617 −21−1−2−1 −1183−3−6−1 −2−4241−611−21−222−41−2−3−232319 −3 −420121 −122 −1 −1232−13−2−322421−43−4325 −2 −123−2 −326 −2 −4−8122−327 −2 −3 −12−94328 −2 −2−12 −5106502934−4301315−24 −1 −61856Çàäà÷à 21. Ïîñòðîèòü ãðàôèê√ ôóíêöèè:(x2 − a)β + b;√äëÿ âàðèàíòîâ 11-20: y = C α |x2 − a|β + b;√äëÿ âàðèàíòîâ 21-30: y = Cxβ α (x − a)2 + b.αÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀäëÿ âàðèàíòîâ 1-10: y = C αβabc αβabc13210123291−133211−34544−2155430−264312−174340283420−19324−2210 32911 4341212 43113 6540114 21915 2141316 4310117 4390−118 2110219 651−1 −220 6590−121 31−21−122 3 −1 −41123 32−11−224 3 −25−1225 51−12−126 5 −12−3227 52−1 −128 5 −2 −301−20129 3 −3403−230 53−1 −20−1−2 −151Çàäà÷à 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
