Учебно-методическое пособие (1017796), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , n.Ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 èìååò âèäf ′′ (x0 )P (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + · · · +2!f (n) (x0 )(x − x0 )n .+n!′8.2. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìóëå ÒåéëîðàÐàçíîñòü Rn (x) = f (x) − P (x) ìåæäó ôóíêöèåé f (x) è å¼ ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà íàçûâàåòñÿ n-ì îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì.121Ôîðìóëàf ′′ (x0 )f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + · · · +2!f (n) (x0 )+(x − x0 )n + Rn (x).n!íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 .Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èìååò íåïðåðûâíóþ (n + 1)-þ ïðîèçâîäíóþ. Òîãäà′ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀRn (x) = f (x) − P (x) = o ((x − x0 )n ) .Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç o ((x − x0 )n ) îáîçíà÷àåòñÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ìàëîñòè, ÷åì (x − x0 )n , ò.å. òàêàÿôóíêöèÿ, ÷òîo ((x − x0 )n )lim= 0.x→x0 (x − x0 )n ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò âèäf ′′ (x0 )′f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + · · · +2!f (n) (x0 )+(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ) .n!Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî.Ïóñòü ïðè âñåõ x ∈ (x0 −δ; x0 +δ) ñóùåñòâóåò (n+1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ f (n+1) (x).
Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ñóùåñòâóåò òî÷êà ξ , ëåæàùàÿìåæäó x0 è x, òàêàÿ, ÷òîf (n+1) (ξ)Rn (x) =(x − x0 )n+1 .(n + 1)!Èñïîëüçóÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà, ïîëó÷àåìôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæàf ′′ (x0 )f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + · · · +2!(n)f (n+1) (ξ)f (x0 )n(x − x0 ) +(x − x0 )n+1 .+n!(n + 1)!′122Èç ôîðìóëû Òåéëîðà ïðè x → x0 ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæ¼ííàÿôîðìóëàf ′′ (x0 )f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 + · · · +2!f (n) (x0 )+(x − x0 )n ,n!êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü ïðèáëèæ¼ííîãî íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x) äëÿ çíà÷åíèé x áëèçêèõ ê x0 .Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî (n + 1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ îãðàíè÷åíà: (n+1) f(x) < M .Òîãäà èç ôîðìóëû Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìåËàãðàíæà ïîëó÷àåì îöåíêó ïîãðåøíîñòèÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ′|f (x) − P (x)| <M(x − x0 )n+1 .(n + 1)!8.3.
Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõôóíêöèéÐàññìîòðèì íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè è íàéä¼ì äëÿíèõ ìíîãî÷ëåíû Òåéëîðà ïðè x0 = 0.1. f (x) = ex . Âñå ïðîèçâîäíûå ýòîé ôóíêöèè ñîâïàäàþò ñ íåé:f (k) (x) = ex , ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû Òåéëîðà â òî÷êå x0 =0 ðàâíûf (k) (0) e01ak === , k = 0, 1, 2, . . . , n.k!k! k!Ïîýòîìó ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ýêñïîíåíòû òàêîâà:xnx2 x3++ ··· ++ Rn (x).e =1+x+2!3!n!x2.
f (x) = sin x. ż ïðîèçâîäíûå ÷åðåäóþòñÿ â òàêîì ïîðÿäêå:f ′ (x) = cos x, f ′′ (x) = − sin x, f ′′′ (x) = − cos x, f (4) (x) = sin x,123à çàòåì öèêë ïîâòîðÿåòñÿ. Ïîýòîìó ïðè òàêæå âîçíèêàåò ïîâòîðåíèå:f (0) = sin 0 = 0, f ′ (0) = cos 0 = 1, f ′′ (0) = − sin 0 = 0,f ′′′ (0) = − cos 0 = −1, f (4) (0) = sin 0 = 0,ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀè, ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïðîèçâîäíûå ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè ðàâíû 0,à ïðîèçâîäíûå ñ íå÷¼òíûìè íîìåðàìè ðàâíû 1.Ïîëó÷àåì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ñèíóñà:2k−1x3 x5k−1 xsin x = x −++ · · · + (−1)+ R2k (x).3!5!(2k − 1)!Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí R2k (x) âìåñòîR2k−1 (x), ïîñêîëüêó ñëàãàåìîå ïîðÿäêà 2k ðàâíî 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âûâîäÿòñÿ ðàçëîæåíèÿ ïî ôîðìóëå Òåéëîðà äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
Ïðèâåäåì ÷àñòî èñïîëüçóåìóþ òàáëèöó îñíîâíûõ ðàçëîæåíèé.x2 x3xne =1+x+++ ··· ++ Rn (x).2!3!n!x2k−1x3 x5 x7k−1 xsin x = x −+−+ · · · + (−1)+ R2k (x).3!5!7!(2k − 1)!2kx2 x4 x6k xcos x = 1 −+−+ · · · + (−1)+ R2k+1 (x).2!4!6!(2k)!nx2 x3 x4n−1 xln(1 + x) = x −+−+ · · · + (−1)+ Rn (x).234nα(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3x +x + ···+(1 + x)α = 1 + αx +2!3!α(α − 1) . . . (α − n + 1) n+x + Rn (x).n!1= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + Rn (x).1−x1= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + Rn (x).1+x124x3 x5 x7x2k−1sh x = x ++++ ··· ++ R2k (x).3!5!7!(2k − 1)!x2kx2 x4 x6ch x = 1 ++++ ··· ++ R2k+1 (x).2!4!6!(2k)!Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëó Òåéëîðà ïðè x0 = 0 ÷àñòî íàçûâàþòôîðìóëîé Ìàêëîðåíà.8.4.
Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû ÒåéëîðàÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÐàññìîòðèì îñíîâíûå òèïû çàäà÷, ñâÿçàííûå ñ ôîðìóëîé Òåéëîðà.8.4.1. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé ïî ôîðìóëå Òåéëîðà âîêðåñòíîñòè òî÷êè x02Ïðèìåð 8.1. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) = xex â îêðåñòíîñòèòî÷êè x0 = 0.Ðåøåíèå: Íàïèøåì ðàçëîæåíèå äëÿ ýêñïîíåíòûz2 z3zne = 1 + z + + + ··· ++ Rn (z)2! 3!n!è ïîëîæèì â í¼ì z = x2 :x4 x6x2nx22e =1+x +++ ··· ++ Rn (x2 ).2!3!n!Óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû íà x:zx2n+1x5 x7++ ··· ++ R2n+2 (x).xe = x + x +2!3!n!1Ïðèìåð 8.2. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) =â îêðåñòíîñòè7x + 2òî÷êè x0 = 1.Ðåøåíèå: Ïðîâåäåì âñïîìîãàòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ çàäàííîéôóíêöèè ñ öåëüþ âûäåëåíèÿ ñòåïåíè ðàçëîæåíèÿ (x − 1)x2f (x) =31111== ·.7x + 2 7(x − 1) + 9 9 7(x − 1) + 19125Äàëåå, èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå ôóíêöèèÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ1= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + Rn (x),1+xïîëó÷àåì{[]211177= · 1 − (x − 1) + (x − 1) + · · · +·9 7999(x − 1) + 19]n }[7+ Rn (x − 1).+(−1)n (x − 1)98.4.2.
Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ (ðàñêðûòèåíåîïðåäåëåííîñòåé)Ðàçáåð¼ì òåïåðü ïðèìåð òîãî, êàê ïîëó÷åííûå ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñêðûòèÿ íåêîòîðûõ íåîïðåäåë¼ííîñòåé.sin x − x.x→0x3Ðåøåíèå: Çàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ f (x) = sin x:Ïðèìåð 8.3. Âû÷èñëèòü lim( )x3sin x = x −+ o x4 .3!Îòñþäà()( 4)x3x−+o x−xsin x − x3!= lim=limx→0x→0x3x3 [( 4) ]ox111= lim − +=−=.x→03!x33! 61268.4.3. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿÇàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïðèáëèæåííûìè âû÷èñëåíèÿìè óæå áûëèðàññìîòðåíû â ðàçäåëå 4.2. Ôîðìóëà Òåéëîðà äàåò âîçìîæíîñòüîöåíèòü ïîãðåøíîñòü â òàêèõ âû÷èñëåíèÿõ. Ýòî ñâÿçàíî ñ îöåíêîéîñòàòî÷íîãî ÷ëåíà.ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀ√Ïðèìåð 8.4.
Îöåíèòü òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ3,996 â ðàçäåëå 4.2.Ðåøåíèå: Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) =√x. Çàïèøåì ôîðìóëóÒåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæàf ′′ (ξ)f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +(x − x0 )2 ,2!′ãäå ξ íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó x0 = 4 è x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãðåøíîñòü â ïðèáëèæåííîì ðàâåíñòâåf (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆xíå ïðåâîñõîäèò ′′ f (ξ) 1110,004222√|Rn (x)| = (x − x0 ) = · √ · (∆x) < ·<2!2 4ξ ξ8 3,99 3,991 0,0042< ·< 0,0000003.8 3,99 · 1,9Òàêèì îáðàçîì, èìååì√√√13,996 = 4 − 0,004 ≈ 4 + √ = 1,999 ± 0,0000003.2 4127ÊàÌôåäÃÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÐÝÀÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅÒåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû ê ýêçàìåíó (çà÷åòó) . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Ïðàêòè÷åñêèå çàäàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ïðèëîæåíèå . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.1. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 591.2. Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3. Ýëåìåíòàðíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà . . . . . . . . . . . . . . . 621.4. Ïåðâûé è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû . . . . . . . . . . .
. . . . . . 641.5. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.6. Ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . 661.7. Ïðèìåíåíèå ýêâèâàëåíòíûõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ êâû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè. Ñâîéñòâàíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3. Òî÷êè ðàçðûâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 713. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé . . .743.1. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 743.3. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4. Âû÷èñëåíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . 773.5. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè, çàäàííîéïàðàìåòðè÷åñêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 783.6. Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè, çàäàííîé íåÿâíî . . . . . .783.7. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.8. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
