Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Руденко Е. А.

Внимание!!!

Не редактированная версия. Содержатся опечатки.

Прогнозирование состояния динамических систем

В курсе две задачи:

1. Прогнозирование состояние динамического объекта (ЛА)

2. Прогнозирование временных рядов (Экономика)

Литература:

1. Тихонов В. И., Харигов В. Н. «Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем»

2. Баласанов Ю. Г. и др. «Прикладной анализ временных рядов с программой ЭВРИСТА»

3. Лукашин Ю. П. «Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования»

4. Бокс Дж., Дженкинс Г. «Анализ временных рядов: прогноз и управление» том 1

5. Льюис К-Д. «Методы прогнозирования экономических показателей»

6. Ллойд Э., Ледерман У. «Справочник по прикладной статистике» том 2

7. Дюк В. «Обработка данных на ПК в примерах»

Постановка задачи оценивания случайной последовательности.

Дано:

1. Уравнение объекта - состояния объекта.

2. Уравнение измерителя - наблюдения

Если m<n , то измерения косвенные.

1. Начальное состояние

2. - дискретные белые шумы

3. - статистически связаны

ОН измеритель ?

формир. фильтр (среда)

Найти по

Критерий

Функция потерь - квадратичная

В зависимости от связи L и N три вида задач оценивания:

1. Задача фильтрации L = N

2. Задача прогнозирования L > N

3. Задача сглаживания L < N

Задача прогнозирования подразделяется на три класса:

1. Прогнозирование по фиксированной выборке N = const, L = k = Var

2. Прогнозирование с фиксированным упреждением N, L = Var, L – N = j = const j – Лаг (длительность прогноза)

3. Прогнозирование в фиксированной точке L = const , N = k = Var

Решение задачи абсолютно оптимального прогнозирования по фиксированной выборке

Дано:

- зависимы.

Ищем

Найти: - ? - функция оценивания.

Т. к. - зависимы (даже при

Обозначим: .

- марковский в-р.

*

• априорная плоскость

Если , то

- предикторная плоскость на несколько шагов

(1)

Начальные условия: ???????? плотность вероятности (определяется из уравнения Б.-С.)

Если учитывать зависимость возмущений, то уравнение Б.-С. запишется в следующем виде:

Формула Байса

k < N :

Т. к.

(2) Уравнения Б.-С.

(3)

Начальные условия:

Последовательность вычислений пл-тей вероятности (послед. синтеза предиктора)

АО предиктор по фиксированной выборке содержит внутри себя АОФ для обработки на отрезке времени поступающих измерений. После этого информация обрабатывается по рекурентной формуле (1)

АОП с фиксированным упреждением

Аналогично:

Рекурентности нет, следовательно приходится использовать предиктор с фиксированной выборкой, значит использовать (1), (2), (3) по схеме:

Следовательно в отличие от АОП с фиксированной выборкой случай фиксированного упреждения требует работы фильтра на каждом такте.

АОП в фиксированной точке

Рекурентности нет, значит используем предиктор с фиксированной выборкой

На каждом такте необходимо сделать один шаг фильтрации и несколько шагов прогнозирования с фиксированной выборкой

Субоптимальный предиктор с фиксированной выборке

Необходим в следствии сложности преобразования плотностей по рекурентной формуле - необходимо вычислять N -мерные интегралы. Основан на методе достаточных статистик.

Определить вектор предикт. дост. стат.:

и вектор апост. дост.стат.:

связи и

=> - уравнение прогноза но один шаг

- уравнение коррекции прогноза по послед. измер.

=> если , где

тогда приближенная система уравнений:

- это уже конечная система

Число L - порядок фильтра - размерность вектора состояния - число разностных уравнений 1-ого порядка. Аналогично, на основании рекурентной формулы для

=> =>

Гауссовское приближение к АОП с фиксированной выборкой

Сгенерировать

Гауссовское приближение к АОФ при зависимых помехах

1. Апроксимируем гауссовской плотностью числитель Б.-С.:

условие апроксимации - равенство двух первых моментов:

=>

2. Выразим , и через и

(=)

Т.к. и связ. с => зависит от ,

н о и независимы , т.к. , - БШ и

=>

(=)

Аналогично для , :

- , , - структурные функции коррекции прогноза, которые находятся с помощью статистической линеаризации двух нелинейностей и - усл. сред?? функции.

Уравнения измерителя:

На структуре функции коррекции зависимость помех не оказывает

3. Установим связь вектора апостериорных достаточных статистик с параметрами апроксимирующей гауссовской плотностью.

=> исключая , , => уравнения коррекции:

- прогноз и корректируется в ,

4. Найдем зависимость между апостериорными параметрами и предиктом на следующем шаге:

А налогично: уравнения прогноза:

Из-за зависимости помех имеют дополнительный аргумент

, - структурные функции прогноза - характеристики статистической линеаризации усл. средних и .

=> изменяем порядок интегрирования:

Если , - независимы =>

Аналогично :

Особенности линеаризованного приближения к гауссовскому АОФ при зависимых помехах (ОФК)

Если и - дифференцируемые, то используют разложение в ряд Тейлора в окрестности оценки или прогноза, ограничиваясь линейными членами.

1) Вычислим линеаризов. функции коррекции , , :

= > ,

2) Вычислим линеаризованные функции прогноза:

(!)

=> можно получить , где

, где

Гауссовское приближение к собственно предиктору с фиксированной выборкой

, где ;

=> т.к.

можно получить

нач. условие: =>

=> ;

Уравнения гауссовского предиктора совпадают с уравнениями прогноза гауссовского фильтра, полученные при условии независимости помех.

Другие типы предикторов

АО алгоритмы являются бесконечномерными, а их приближения имеют высокий порядок (для гаусс. ), что препятствует их реализации, особенно в задачах с фиксированным упреждением и фиксированной точкой, т.к. в них требуется осуществить обработку нового измерения до момента появления следующего измерения. => Актуальны методы синтеза предикторов малого порядка. (условно-оптимальный предиктор Пугачева)

Условно Оптимальный Предиктор с фиксированным упреждением

Ищем уравнение предиктора в виде разностного уравнения первого порядка:

, где -стр. функция - задана

=> Требуется получить и из условия оптимальности:

= > Аналогично УОФ:

=>

Параметры могут быть вычислены методом статистического моделирования;

Порядок предиктора . Недостаток - отсутствие связи между выбор. структурной функцией и условием оптимальности.

Предиктор оптимальной структуры с фиксированным упреждением

-? из

Аналогично синтезу фильтра оптимальной структуры:

1. Устанавливается связь с соответствующей плотностью вероятности

2. Определяется рекурентное уравнение для нахождения этой плотности; т.к. вычисления с плотностями достаточно сложные, то строится гауссовское приближение, уравнения которого содержат те же структурные функции, что и в АОП:

, , , , , к которым добавляются числовые параметры:

, , (вычисляется методом статистического моделирования по m, D)

Прогнозирование временных рядов

Временной ряд - последовательные значения некоторого показателя во времени.

- дано. Требуется спрогнозировать на будущее.

l - лаг прогноза

Если - краткосрочный прогноз

- среднесрочный прогноз

- долгосрочный прогноз

Временной ряд может быть многомерным: - пакет временного ряда.

Между компонентами временного ряда могут быть коррелиров. ????????????

Принципиальное отличие - отсутствие математической модели. => Нужно построить математическую модель.

Явные математические модели временных рядов

1) Систематическая составляющая временного ряда (нек. среднее) - тренд .

2) Случайная составляющая временного ряда - шум ,

сезонный (периодический) , L - период сезона

т ренд

несезонный (непериодический) g(t) полиномиальный

… экспоненциальный

Выбор математической модели осуществляется визуально.

Для облегчения этого процесса производится сглаживание временных рядов - их цель -удаление шума и выделение тренда - задача фильтрации.

После этого - задача нахождения параметров тренда, тип которого уже выбран.

Пусть

Тогда

1) по имеющимся значениям временного ряда получить оценки

, , , ,

Предположим - анализ (идентификация)

2)

Прогнозирование осуществляется экстраполяц. тренда.

Неявные математические модели временных рядов

Представляют собой описание временного ряда с помощью стохастических разностных уравнений, содержащих шум:

Опр. кон. разности:

=>

Линейное разностное уравнение: уравнение авторегрессии (порядка р):

A P(p)(AR(p)): параметры ,..., ,

Оператор сдвига назад: => AP(p):

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций