Прогноз сост ДС (1014555), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

=> => AP

Уравнение скользящего среднего порядка q CC(q) (MA(q))

параметры ,..., ,

- белый шум - цветной шум - формирующий фильтр цветного шума

Е сли =>

=>

Если соединить АР и СС, то получится уравнение авторегрессии -ск.ср????

APCC(p,q) (ARMA(p,q))

Дифференцирующее свойство конечной разности

=>

=> Вычисление конечной разности используется для удаления полиномиального тренда

Уравнение АР Проинтегр.СС (p,d,q) (ARIMA(p,d,q))

При d=1: -? - известное начальное условие

=> => =>

Решение задачи прогнозирования при использовании неявных АРСС моделей состоит из двух действий:

1. Построение модели на известной реализации

- выбор порядков p, d, q -?

- выбор параметров ,..., , ,…, , -?

2. Построение наилучшего (оптимального) прогноза на имеющейся математической модели методами ТСП (построение линейного оптимального предиктора с фиксированной выборкой)

Методы сглаживания временных рядов

Используются для выделения тренда с целью визуального выбора типа тренда. Это простейшие (эвристические) методы фильтрации.

1. Скользящее среднее:

Получающаяся кривая более гладкая.

Параметр n - ширина окна суммирования

для день

n=5 - недельное среднее

n=25 - месячное среднее

Преимущество: можно получить рекурентную формулу

т.е. скользящее среднее не учитывает старения информации

2. Взвешенное среднее:

Сумма весовых коэффициентов равна 1.

Недостатки - отсутствует рекурентная формула.

3. Экспоненциально взвешенное среднее

Взвешенное скользящее среднее, в котором весовые коэффициенты убывают по закону бесконечно убывающей геометрической прогрессии: ,…, ; 0 < q <1

=>

=>

=>

- управляет сглаживаемостью.

Аналогия с ФК:

=> ЭВС соотв. ФК, если уравнения состояния

Эвристические методы прогнозирования

Основаны на применении метода ЭВС к оцениванию параметров явных м. м. Временного ряда. В основном рассматриваются временные ряды с линейным трендом и возможной сезонной компонентой.

1. Методы прогнозирования временных рядов с линейным трендом

Пусть . Тогда прогнозирование - определяется с помощью ЭВС.

А) Метод двойного сглаживания Брауна (Brown, 1959)

Основан на последовательном вычислении двух величин:

Если :

Оценки вычисляются:

t=1,…,T

Достоинство: - ! параметр сглаживания

Недостатки: относительная сложность оценок от параметров осреднения

Б) Двухпараметрический фильтр Хольта (Holt, 1957)

Осуществляет непосредственное оценивания параметров линейного тренда с помощью ЭВС

1. Прогнозирование чисто сезонных трендов

t=L,…,T

3. Прогнозирование временного ряда, содержащего аддитивно-сезонный мультипликативный тренд

Метод Винтера (Winter’s)

Трехпараметрический предиктор, основанный на предикторе Хольта:

Во всех перечисленных методах параметры сглаживания можно:

• задавать

• выбирать , , оптимальным образом.

Меры точности прогноза :

С редний квадрат ошибки:

Средняя ошибка:

Среднее абсолютное отклонение:

Средняя процентная ошибка:

Средняя абсолютная процентная ошибка:

Если MADE <10% - высокая точность оценивания.

Если 10%< MADE <20% - хорошая точность оценивания.

Если 20%< MADE <50% - удовлетворительная точность оценивания.

Выбор оптимального параметра ЭВС

-?

=> =1 ???

Статистический метод анализа и прогнозирования Бокса-Джеккинса

Основан на описании временных рядов линейными разностными уравнениями авторегресии и скользящего среднего.

Основой применения этих уравнений являются свойства решений линейных разностных уравнений, которые аналогичны ЛДУ.

( ) - линейное однородное разностное уравнение порядка р. Тогда его характ. уравнение:

О бщее решение: , если

, если крат. M

Если => М-ли авторегресии охватывает множество трендов, которое представляет собой линейные комбинации трех типов функций: полиномы, экспоненты (показательные функции), синусоиды, а так же все их возможные произведения; тип тренда из этого набора определяется параметрами самого разностного уравнения.

1. Определение порядка и параметров АРСС модели:

- параметры -?

Требуется подобрать параметры по ! реализации ряда – анализ временного ряда.

Решение базируется на предположении, что имеющейся временной ряд является одной из реализаций стационарного СП, описываемого АРСС уравнением.

Тогда используя методы ТУ и ТСП можно получить уравнение для ковариационной (собств.) функции этого СП:

1. Анализ уравнения АР(р): ;

, где - БШ с 0 математическим ожиданием.

k=0,1,…

=> =>

Аналогично:

-система из р лин. уравнений, относительно р неизвестных.

Эти уравнения принято записывать через коэффициенты корреляционной функции:

, к=0,1,… - автокорреляционная функция

=> - система уравнений Юла-Уокера.

А – симметричная теплицева матрица с постоянными диагоналями.

Есть специальный алгоритм Левинсона-Дарбу для быстрого решения таких уравнений. Из этих уравнений можно получить заменив истинные значения АКФ выборочными значениями

Если Х – СВ, - множество реализаций

Если - эргодический стационарный СП, то

2) Анализ уравнения СС(q):

=>

=>

= > - автокорреляции скользящего среднего обрываются на лаге номер q. Это свойство используется для идентификации порядка СС – q.

Частная автокорреляционная функция

Служит для определения порядка процесса чистой авторегрессии, аналогично тому, как сама автокорреляционная функция позволяет определить порядок скользящего среднего.

- решение урезанной системы уравнений Ю.-У.:

Если в этой системе рассмотрим первые два уравнения (к=2):

=> ;

Последовательность значений частной автокорреляционной функции обрываются на лаге р.

Вероятностный смысл

Если процесс описывается моделью АРСС(p,q) и q>p => при k > q – p представляет собой сумму затухающих экспонент и синусоид, тогда как начальные значения этим свойством не обладают:

Если p>q, то аналогичным свойством обладает частная корреляция.

Эти свойства следуют из свойств разностных уравнений, которым удовлетворяют эти величины.

Определение периода сезонности

Осуществляется с помощью спектрального анализа имеющейся единственной реализации случайной последовательности;

Периодограмма , где - дискретное преобразование Фурье.

- круг. Частота, - просто частота

Свойства:

?? - реализации случайной функции

L – выборочный аналог спектральной плотности случайного процесса;

Обладает свойствами

1. - ассим. Несмещенная оценка спектральной плотности:

1. Не является самостоятельной оценкой

, т.е.

=> график сильно флуктуирует, особенно при больших Т

Для получения состоятельной оценки спектральной плотности на периодограмме необходимо выполнить дополнительную операцию сглаживания периодограммы; используется метод взвешенной средней: , где

Сезонная модель АРСС

Если есть временной ряд, содержащий сезонную компоненту с пер. L. Для описания этого процесса уравнением потребуются большие порядки . Поэтому используется другая модель, использующая малое число , : L – известно => => рассм. : Эти значения описываются моделью АРСС (P,Q)

Параметры: : , :

- не БШ – цветной Ш (коррел. СП):

= > Сезонная модель:

• С АРСС (P,Q)(p,q) – всего P+p+Q+q параметров

• САРПСС(P,D,Q)(p,d,q) :

АРСС уравнение с константой

=>

Построение наилучшего прогноза по АРСС модели

Известно уравнение АРСС(p,q) :

Требуется получить оценки: , обеспечив минимум среднеквадратичной ошибки

Известно, что наилучшей среднеквадратичной оценкой является условное математическое ожидание:

Box & Jenkins предложили рекурентный способ вычисления этого мат. ожидания:

Пример: АРСС(3,2)

Об ассимптотической оптимальности прогноза Box & Jenkins -а

Приведенные выше формулы описывают линейный рекурентный предиктор, построенный для прогнозирования значения переменной , заданной линейным разностным уравнением АРСС высокого порядка. Однако, известно, что оптимальным в том же самом смысле минимума среднего квадрата ошибки линейным предиктором является предиктор Калмана, являющийся обобщением ЛФК. А предиктор Калмана основан на мат. модели объекта наблюдения в виде системы разностных уравнений первого порядка (уравнения состояния) о связи Box & Jenkins и ЛПК => рассмотрим Box & Jenkins подробнее в плане обоснованных формул для вычисления условных мат. ожиданий.

Рассмотрим на примере АРСС(1,1):

- БШ

: из условия

=> предиктор B-J – не точный, т.к. не учитывает взаимосвязь между определенными случайными величинами => он не является оптимальным.

Характеристики

Список файлов лекций