6Simulation systems Лекция 19 Монте-Карло (1014327), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вычисляя кратный исходный интеграл, как среднее значение функции, поступаем следующим образом. Выбираем последовательность N чисел

R^{( j )}=(R₁^{( j )}, R₂^{( j )}, ... , R_n^{( j )} )

равномерно распределенных в интервале (0,1), причем точки R^{( j )}, не принадлежащие области , в расчет не принимаются. Получив N точек R^{( j )}, принадлежащих области , вычисляем среднее значение интеграла

fср=

функции f по области . Затем определяем значение интеграла

S=

где S_ - объем области .

9.3.8. Требуемое количество операций

Рассматривая различные способы вычисления интеграла методом статистических испытаний, мы ввели число N -число испытаний, оговаривая каждый раз, что N достаточно велико. Какую же величину N можно считать достаточной для вычисления интеграла с заданной точностью? Будем говорить, что равенство   имеет точность  с достоверностью , если вероятность Р[ ( -) <  ]=

Проследим это на примере второго способа вычислений интеграла на ЭВМ. В качестве приближенного значения S интеграла S мы брали величину . Если рассмотреть S= как случайную величину, можно вычислить математическое ожидание

M(S)=M( )=P и дисперсию P(S )=

Тогда средняя квадратичная ошибка: =

Свяжем величины  и  числом испытаний N при помощи неравенства Чебышева: Р[( S- S ) < ]  1- (2)

Заменив левую часть этого неравенства с помощью исходного равенства

  1- и подставив вместо  ² его значения, получаем:

  1 - , откуда N 

Эта формула, полученная на основании неравенства Чебышева, дает только верхнюю границу величины N. Более точно количество испытаний N можно подсчитать, учитывая, что в рассматриваемом примере величина P= асимптотически (при N   ) подчиняется нормальному закону распределения.

Основываясь на этом факте перепишем выражение

Р[(  -  )< ] =  следующим образом:

Р , где t_ выбирается из таблиц нормального распределения для заданного . Сопоставив последнее равенство с (2) находим

 = t_- или =t_ , отсюда: N =

Теперь рассмотрим приемы вычислений многомерных интегралов с точки зрения сравнения этих примеров с обычными кубатурными формулами. Выясним трудоемкость вычисления кратных интегралов методом статистических испытаний. Полное число операций k=N, где  - число операций, затрачиваемых на вычисление одного значения подынтегральной функции. Число операций также зависит от того, какую точность мы хотим получить, и, следовательно,

k=k()

Обычно используются кубатурные формула вида

= A₁f(Q₁)+ A₂f(Q₂)+.. + Ar(Qr)

где Q_1, Q_{2, ...,}Qr- точки n-мерного куба, для вычисления которых требуется L=r операций, где L - также зависит от заданной точности результата L=L().

Очевидно, что сравнивать объемы вычислений методом статистических испытаний и с помощью кубатурных формул необходимо, соблюдая одинаковую точность .

Выясним сначала зависимость k().

На основании N = можно записать N 

Если говорить о максимальной ошибке, то t_=3 (из таблиц). Так как максимум значения P(1-P) достигается при P=0,5 и равен 0,25, можно приблизительно оценить величину N.

N 

Следовательно k имеет порядок k() ~

Для кубатурных формул L() ~

где q - зависит от гладкости функции, а n - число измерений. Таким образом, отношение числа операций k()/L() составляет:

Из этой формулы следует, что метод статистических испытаний имеет преимущества уже при >2 для малых .

В следующей таблице приводятся сравнительные данные о количестве операций, необходимых для вычисления кратного интеграла по кубатурным формулам и методом статистических испытаний, в зависимости от кратности интеграла n.

При расчете этой таблицы условно принято, что интервал интегрирования разбит на 10 частей по каждой из n осей координат.

35

Характеристики

Список файлов лекций