Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Следует отметить, что программы выработки случайных значений равномерно распределенной в интервале [0,1] величины  имеются в составе общего программного обеспечения любой современной вычислительной системы.

Возможности такой программы можно расширить в направлении выработки значений независимых случайных величин, распределенных по любому закону.

Наибольший интерес представляет нормальный закон распределения. По этому закону распределены параметры многих технических объектов. При статистическом анализе для тех параметров, для которых отсутствуют сведения о законе распределения, часто предполагается именно нормальное распределение.

9.2.3.Обработка результатов статистического анализа

Результаты статистического анализа должны быть представлены в виде гистограмм выходных параметров y_i и оценок числовых характеристик их распределений (оценки математического ожидания М_i и среднеквадратичного отклонения ).

После выполнения N испытаний М_i и оцениваются по формулам:

M_i = ;

При постановке задачи статистического анализа важен правильный выбор числа испытаний N; при большом N увеличиваются затраты времени; малые N приводят к недостаточной точности анализа.

При использовании алгоритмических математических моделей главным фактором, определяющим число испытаний N, является машинное время статистического анализа, и количество вариантов N обычно выбирается в пределах 500-2000. В случае более простых аналитических моделей число испытаний N чаще назначают, исходя из точностных соображений.

9.3. Моделирование методом Монте-Карло задач вычисление интегралов

9.3.1. Способ усреднения подынтегральной функции.

В качестве оценки определённого интеграла принимают

,

где n – число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , их разыгрывают по формуле , где - случайное число.

Дисперсия усредняемой функции равна

,

где , . Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30) , или исправленную дисперсию (при n<30) , где .

Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату , , принимают

, (*)

где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять ; в этом случае формула (*) имеет вид

,

где n – число испытаний.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу , , , принимают , где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (**) имеет вид , где n – число испытаний.

Задача: найти оценку определённого интеграла .

Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка , где возможные значения разыгрывается по формуле .

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.

Случайные числа взяты из таблицы приложения.

Таблица 1.

Из таблицы 1 находим . Искомая оценка

9.3.2.Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения».

В качестве оценки интеграла принимают , где n – число испытаний; f(x) – плотность распределения «вспомогательной» случайной величины X, причём ; - возможные значения X, которые разыгрывают по формуле .

Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение при различных значениях x изменялось незначительно. В частности, если , то получим оценку .

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как , то в качестве плотности распределения «вспомогательной» случайной величины X примем функцию . Из условия найдём . Итак, .

Запишем искомый интеграл так:

.

Таким образом, интеграл I представлен в виде математического ожидания функции . В качестве искомой оценки примем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):

,

где - возможные значения X, которые надо разыграть по известной плотности . По правилу (для того, чтобы разыграть возможное значение непрерывной случайной величины X, зная её плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение

, или уравнение ,

где a – наименьшее конечно возможное значение X), имеем . Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X:

.

В таблице 2 приведены результаты 10 испытаний.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим . Искомая оценка равна .

Таблица 2.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим . Искомая оценка равна .

9.3.3. Способ «выделения главной части».

В качестве оценки интеграла принимают

,

где - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , которые разыгрывают по формуле ; функция , причём интеграл можно вычислить обычными методами.

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как , то примем . Тогда, полагая число испытаний n=10, имеем оценку

.

Выполнив элементарные преобразования, получим

.

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения разыграем по формуле . Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Сложив числа последнего столбца таблицы 4, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение , получим искомую оценку интеграла

Характеристики

Список файлов лекций