6Simulation systems Лекция 19 Монте-Карло (1014327), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Второй путь связан с измерением и статистической обработкой параметров комплектующих изделий. Это накопление статистических сведений производится в рамках формирования информационной базы САПР сотрудниками проектных подразделений. Получаемые данные вследствие устаревания должны регулярно корректироваться.

Таким образом, для реализации статистического анализа в математическом обеспечении САПР должны быть алгоритмы и программы двух групп: первая группа предназначена для статистической обработки результатов измерений, вторая группа - для выполнения собственного статистического анализа с исходными данными, полученными с помощью программ первой группы.

9.2.1. Сущность метода статистических испытаний

Наиболее распространенная постановка задачи решения методом Монте-Карло состоит в следующем:

требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же, как уже говорилось, поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a^* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а^*.

Сущность статистического моделирования заключается в том, что процесс функционирования сложной системы имитируется при помощи арифметических и логических операций на ЭВМ в той последовательности элементарных актов, которая характерна для моделируемого процесса.

Имитация случайных факторов производится при помощи случайных чисел, формируемых в ЭВМ. Таким образом, в качестве математической модели процесса функционирования сложной системы выступает некоторый алгоритм, реализуемый на ЭВМ, позволяющий по заданным значениям параметров системы и начальным условиям вычислять характеристики, необходимые для решения практических задач. Наличие алгоритма принципиально позволяет не только вычислять конкретные значения интересующих нас характеристик, необходимых для количественного исследования, но проводить также и качественные исследования системы. Метод статистического моделирования с практической точки зрения является, в первую очередь, численным методом. Именно как численный метод он был использован для решения широкого круга задач, связанных с исследованием и расчетом сложных систем.

Напомним некоторые термины теории вероятностей и математической статистики.

Математическое ожидание, дисперсия.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Таким образом, дискретная случайная величина  может принимать лишь конечное или счетное множество возможных значений X_i. Каждому возможному значению X_i ставится в соответствие его вероятность Pi

Зависимость вида Pi=Pi(X_i) будем называть законом распределения дискретной случайной величины.

При исследовании дискретных случайных величин пользуются также функцией распределения F(X),которая при каждом Х равна вероятности того, что  < X.

F(X)=P(<X)

Если известен закон распределения Pi=Pi(Xi), всегда можно определить функцию распределения:

F(X)= P(Xi)

и, наоборот, по заданной функции распределения F(X) можно найти закон распределения.

P(Xi)=F(Xi₊₁) - F(Xi)

Пусть, например, (см. таблицу) дискретная случайная величина  принимает значения X_i , каждое из которых появляется с вероятностью P_i

Тогда функция распределения F(X) будет иметь вид

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

,

где Х – случайная величина, - значения, вероятности которых соответственно равны .

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .

Точность оценки, доверительная вероятность. доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если >0 и , то , чем меньше , тем оценка точнее. Положительное число  характеризует точность оценки.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

В качестве примера распределения вероятностей непрерывной случайной величины, приведём так называемое нормальное распределение, которое описывается дифференциальной функцией

.

а - математическое ожидание,  - среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

Центральная идея метода Монте-Карло заключается в следующем.

При помощи более или менее подходящей адекватной вероятностной модели точное решение данной задачи интерпретируется либо как вероятность Р некоторого события, либо как математическое ожидание М некоторой случайной величины и затем проводится достаточно большое число N случайных независимых испытаний. Тогда на основании закона больших чисел за приближенное решение данной задачи принимают относительную частоту события в первом случае, или среднее арифметическое (X₁+X2+...+X_N) во втором случае.

Основной и, по существу, единственный недостаток метода заключается в его сравнительно медленной сходимости. Погрешность, именно статистическая, метода Монте-Карло определяется порядка , где С - некоторая постоянная. Отсюда следует, что увеличение точности, скажем, в 10 раз, приводит к увеличению времени решения в 100 раз. По этой причине решение задачи методом Монте-Карло проводится, когда не требуется очень высокая точность результатов (например, допускается погрешность порядка 5-7%).

Порядок скорости сходимости метода можно увеличить только за счет его модификации путем комбинирования с детерминированными методами.

Основное достоинство метода Монте-Карло заключается в том, что его погрешность по порядку не зависит от размерности задачи.

Иначе говоря, число испытаний N, которое необходимо провести, чтобы получить решение с заданной точностью, не зависит от размерности решаемой задачи.

Для сравнения заметим, что объем вычислений любым детерминированным методом лавинообразно возрастает при увеличении размерности задачи. Именно это “проклятие размерности” (Беллман) привело к созданию динамического программирования, а также других методов, которые, в сущности, сводятся к сведению решения данной многомерной задачи к последовательному решению многих вспомогательных одномерных задач.

9.2.2. Алгоритм метода Монте -Карло

Схема вычислительного процесса при реализации метода Монте-Карло:

Алгоритм включает N-кратное выполнение анализа работы объекта, в каждом варианте анализа задаются случайные значения внутренним параметрам в соответствии с их законами распределения и фиксируются получающиеся значения выходных параметров, т.е. каждый вариант анализа работы объекта и представляет собой очередное статистическое испытание.

Результаты испытаний обрабатываются с целью получения оценок числовых характеристик распределений выходных параметров и графиков статистических распределений, называемых гистограммами.

Обсудим специфические для статистического анализа по методу Монте-Карло вопросы задания значений параметрам Х и q в каждом варианте и вопросы обработки результатов испытаний для получения информации о статистических свойствах выходных параметров.

Значения внешних параметров Х должны выбираться, исходя из требований метода наихудшего случая.

Следовательно, статистический анализ должен начинаться с анализа чувствительности выходных параметров к изменениям внешних параметров. Знаки получаемых коэффициентов влияния характеризуют наихудшие режимы по Х для каждого из выходных параметров. Из-за чрезмерных затрат машинного времени, требуемого на полный анализ чувствительности выходных параметров к входным, полный статистический анализ заменяют статистическими испытаниями либо в номинальном по Х режиме, либо в одном-двух из наихудших по Х режимах. Выбор этих режимов находится в компетенции инженера, который в каждой конкретной ситуации имеет те или иные предположения о наиболее опасных в смысле невыполнения ТЗ режимах.

Выработка случайных значений внутренних параметров q может выполняться с помощью специальной электронной приставкой к компьютеру (датчиком случайных чисел) или с помощью специальных алгоритмов. В любом из этих вариантов для генерирования случайных чисел используется аппаратурная (датчик случайных чисел) или алгоритмическая (специальная программа) модель некоторого случайного процесса, вероятностные характеристики которого известны или могут быть оценены экспериментально. Ранее, до появления ЭВМ, этой цели служили простейшие случайные процессы, такие, как бросание монеты (выпадение герба или решки с вероятностями Р₁=Р₂=0,5), бросание игральной кости Рi=1/6; i=1,2,3,...,6), извлечение карт из тщательно перетасованной колоды (Рi=1/36; i=1,2,3,...,36), вращения рулетки и т.д. (Отсюда происходит и наименование метода по названию столицы княжества Монако, известного своими игорными домами).

Характеристики

Список файлов лекций